The algorithm for determining the optimal parameters of thin-walled spatial structures

Kolesnikov Aleksandr Georgievich PhD in Technical Science Associate Professor, Department of Urban, Road Construction and Structural Mechanics, Southwestern State University 305054, Russia, Kurskaya Oblast' oblast', g. Kursk, ul. 50 Let Oktyabrya, 94 ag-kolesnikov@mail.ru Other publications by this author

В строительстве вопросы снижения стоимости несущих конструкций и повышения их эксплуатационных характеристик выходят в настоящее время на первый план.

Существенный вклад в решение этих задач вносит использование в конструкторских решениях элементов типа пологих оболочек ^[1-3], которые уже нашли широкое применение в строительстве, машиностроении и других областях техники (рисунок 1).

Рисунок 1 – Оболочка на упругом основании.

Развитие методов оптимального проектирования пологих оболочек, помогающих отыскать формы конструкций минимального веса, максимальной несущей способности и т.д., а также внедрение их в практику позволит получить ощутимый эффект при дальнейшем решении поставленных задач.

Наибольшую трудность вызывает подбор алгоритмов оптимизации таких конструкций и адаптация их к решению задач нахождения оптимальных форм конструкций типа пологих оболочек с учетом нелинейности работы материала.

Известны два основных вида задач оптимизации: задачи с ограничениями 1-го рода и 2-го рода. Под ограничениями 1-го рода будем понимать физические ограничения, наложенные на параметры проектирования: ограничения на толщину оболочки, ограничения на показатель степени ξ, который характеризуют форму оболочки, ограничения на параметр формы толщины t, на параметр k, характеризующий отношение толщины в центре оболочки и на краях ^{[4, 12, 13]}.

Необходимо решить следующие задачи оптимизации: определение формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема (V(ξ, t) → min), оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузк (p(ξ, t) → max), оболочки, имеющей минимальные напряжения (σ(ξ, t) → min) на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей и постоянных толщин оболочек.

Алгоритм определения оптимальных форм конструкций типа пологих оболочек при ограничениях 1-го рода рассмотрим на примере поиска минимума объема оболочки на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей оболочки.

В основу алгоритма определения оптимальных форм положен алгоритм определения локального минимума функции. Ввиду того, что функция объема оболочки V(x_i) монотонная, вогнутая и гладкая на всей области изменения параметров x = (ξ, t) ^[5-6], то можно утверждать, что найденный локальный экстремум будет являться и глобальным.

Итерационный алгоритм решения поставленной задачи включает в себя три метода поиска: градиентный спуск, случайный поиск и метод оврагов.

Перед началом поиска производится нормировка, устраняющая "простые" овраги, возникающие из-за разницы в размерности параметров или разной степени зависимости функций V(x_i) и p(x_i) от аргументов. Перейдем к новым безразмерным параметрам:

x_i=X_i/x_хар, i=1,n (1)

где x_i - новое пространство безразмерных параметров, X_i - старое пространство параметров, x_хар - характерные размеры.

В начале поиска для получения первого приближения экстремума использовалась одна из модификаций гради­ентного спуска наискорейший спуск ^{[7, с. 48]}. Происходила замена многомерного поиска последовательностью одномерных, причем в качестве направлений для одномерных поисков выбирались направ­ления антиградиента минимизируемой функции.

Для ускорения поиска вводились акселерации, то есть движения вдоль выбранного направления не с постоянным шагом, а с увеличением каждого последующего шага в α раз по сравнению с предыдущим. Это позволяет ускорить поиск, по крайней мере, на порядок, Коэффициент α подбирается опытным путем.

На следующем этапе поиска экстремума используется метод "наказания случайностью". Многомерный поиск сводится к последовательности одномерных. Направления для них выбираются случайным образом. Использование в ходе поиска элемента случайности делает итерационный процесс нахождения минимума более устойчивым и нечувствительным к мелкому рельефу поверхности V(x_i).

Шаг поиска в методе "наказания случайностью" делается следующим образом:

∆x_i^k+1= α∆x_i^k, V_x<V_x^k-1, x^k Ω ; -∆x_i^k+hς, V_x≥V_x^k-1, x^{k `!in`} Ω ; (2)

Здесь h – параметр, определяющий степень локализации случайного поиска,

ς - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке (-1, 1) .

Если при очередном шаге критерий качества V(x_i) уменьшился и точка не вышла за границы области Ω, следующий шаг делается в том же направлении, что и предыдущий, но в α раз больший по величине. В случае увеличения V(x_i) или выхода точки за границу Ω, поиск возвращается в предыдущую точку, после чего следует "наказание случайностью": экстремум ищется на множестве точек, равномерно распределенных внутри куба со стороной 2h и центром в точке, имеющей наименьшее значение критерия. После определения точки с еще меньшим значением V(x), центр куба перемещается в эту точку. В каждой очередной серии из N проб происходит уменьшение размеров куба

h^k = ch^k-1, (3)

где с - коэффициент локализации (0<c<1). Таким образом, случайный дрейф куба к минимуму сочетается с локализацией поиска.

На завершающей стадии определяется экстремум в услови­ях овражных ситуаций, когда градиентные методы становятся неэффективными или перестают работать. Случайные перемещения центра куба вдоль дна оврага усредняются. Направление среднего перемещения принимается за направление для очередного одномерного поиска. Для этого запоминается положение центра куба в начале и конце очередной серии из N случайных проб, усредняются перемещения и делается первый шаг в предполагаемом направлении дна оврага

∆x_i^k+1 = α[x_i^k- x_i^k-N]h/N, i=1,n (4)

После проведения заданного числа серий из N случайных проб поиск прекращается.

Максимизация функции f(x), очевидно, эквивалентна минимизации функции - f(x). Следовательно, с помощью описанного алгоритма можно решать задачу об определении как минимума объема оболочки V(x_i) и минимума значений напряжений σ(x_i), так и максимума критической нагрузки p(x_i) на всем множестве допустимых форм оболочек.

Алгоритм определения оптимальной формы оболочки рассмотрим на примере отыскания минимума объема оболочки при ограничении на величину критической нагрузки Поставленная задача относится к весьма сложному для решения типу задач нелинейного программирования, когда целевая функция и ограничения нелинейны. Выпуклость ^[8] функций критической нагрузки p(x_i), напряжений σ(x_i) и объема V(x_i) позволяет применить для ее решения алгоритмы метода штрафных функций или метод скользящего допуска ^{[7, с. 50]}. Функция, описывающая величины критических нагрузок p(x_i) не может быть вычислена вне области поиска П поэтому для реше­ния задачи используется метод внутренних штрафных функций. В этом методе поиск экстремума ведется внутри области поиска. В случае нарушения ограничений штрафная функция возвращает поиск внутрь области.

Допустим, ограничения выполняются с точностью до некоторого малого ε_R, то есть

p(x_i)≤ ε_R, (5)

Тогда критерий качества можно представить в виде:

V(x_i) = V(x)+ `sum_(k=1)^m` L_R(p_k)V_k(x), (6)

где L_R(V_R) - штрафные коэффициенты, которые выбираются сле­дующим образом:

L_R(V_R) = L_R, если V_R>0; 0, если V_R≤0. (7)

В этом случае для выполнения ограничений достаточно, чтобы сумма штрафов не превышала положительную величину V^*. В качестве V^* можно принять характерное значение функции V(x_i), то есть, ее абсолютную величину в начальной точке поиска (рисунок 2).

Рисунок 2 – Иллюстрация нахождения оптимальной формы и толщины пологой оболочки

Алгоритм опробован для решения задач об определении формы срединной поверхности и толщины пологой оболочки минимального объема при ограничении на критическую нагрузку и величину напряжений ^[9-11]:

V(ξ, t)→V_min; p(ξ, t) – p₀≥0, (8)

V(ξ, t)→V_min; σ(ξ, t) – σ₀≤0, (9)

а также, оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку или напряжения в которой не превышают допустимые значения при ограниче­нии на величину объема:

p(ξ, t) →p_max; V(ξ, t) – V₀≤0, (10)

σ(ξ, t)→σ_min; V(ξ, t) – V₀≤0. (11)

В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданной критической нагрузке, экономия объема (веса) составляет 6%-12% по сравнению с традиционной сферической формой.

В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданном значении напряжений, экономия объема (веса) составляет 4%-9%.

В задачах оптимизации формы оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку при заданной величине объема, возрастание критической нагрузки составляет 5-10%.

В задачах оптимизации формы оболочек, имеющих минимальные напряжения при заданной величине объема, уменьшение напряжений составляет 3-7%.

Алгоритм определения оптимальных параметров тонкостенных пространственных конструкций может быть использован для определения критической силы и напряжений для геометрически нелинейных пологих оболочек на упругом основании с переменной формой срединной поверхности при различных ограничениях. Апробация алгоритма показала, что за счет оптимизации достигается значительная экономия веса (объема) конструкций и увеличение несущей способности.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-9203.2016.8