Study of geometric parameters defining the area of allowed configurations when changing the position of restricted areas

Pritykin Fedor Nikolaevich Doctor of Technical Science Professor, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Prospekt Mira, 11, aud. Zv-516 pritykin@mail.ru Other publications by this author

Nefedov Dmitrii Igorevich Graduate student, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Prospekt Mira, 11 3demon@bk.ru Other publications by this author

Введение

С развитием технологий автоматизации в промышленности массово распространяется практика использования автономных роботов для выполнения различных задач. Чтобы удовлетворить все более возрастающие требования, необходимо совершенствовать способы анализа окружающей среды роботом и модифицировать алгоритмы, отражающие работу и последовательность действий автономного робота при решении поставленных задач. В связи с этим в настоящее время интенсивно ведутся работы по созданию интеллектуальных роботов ^[1-4]. Предметом интеллектуального управления движением робота является определение его текущего, целевого и промежуточных положений механизма манипулятора в пространстве. Поэтому определение траектории движения робота с учетом окружающей внешней среды, это задача оптимизации выполнения операций по перемещению ВЗ из начального положения в целевое.

Одним из способов интеллектуального управления движением манипулятора в сложно организованной среде является способ, основанный на использовании алгоритма построения движения по вектору скоростей ^[5-7]. Построение движения механизма манипулятора этим способом может быть основано на анализе текущих ситуаций с исследованием совокупностей разрешенных и запрещенных конфигураций ^[8,9]. В работе ^[10] был предложен способ анализа взаимного положения механизма манипулятора и запретных зон, основанный на использовании области разрешенных конфигураций при виртуальном моделировании движений роботов. С этой целью указанная область задается аналитически, а полученный мат. аппарат используется для модификации траектории движения манипулятора в пространстве обобщенных координат. Область разрешенных конфигураций при этом выступает в качестве базы знаний, характеризующей прошлый опыт построения дискретных положений механизма манипулятора с учетом заранее известных запретных зон.

Таким образом, интеллектуальное управление («поведение») робота можно улучшить использованием базы знаний о конечном числе стандартных ситуаций. Эти ситуации определяют положением запретных зон, траекторий движения центра ВЗ, и др. Базы знаний представлены в виде зависимостей параметров, определяющих области разрешенных конфигураций в пространстве обобщенных координат и параметров, задающих ограничения на положения механизма манипулятора.

Постановка задачи исследования

На рисунке 1 изображена кинематическая схема механизма манипулятора мобильного робота «Варан» и положение запретных зон P₁ и P₂. Высота нижнего уровня проема для рассматриваемого примера в системе координат O₁ принята равной zn = 500 мм, а высота самого проема может изменяться (для тестового задания данная высота определяется параметром z_оp = 500 мм), минимальное безопасное удаление основания манипулятора от препятствия принято равным x_ор = 800 мм (см. рис. 1). Геометрические параметры, задающие механизм манипулятора представлены в работе ^[11]. Обобщенные координаты на рисунке обозначены q_i. Для того чтобы оценить влияние положения запретной зоны Р₁ на форму области разрешенных конфигураций, необходимо рассмотреть два случая расположения запретных зон.

В первом случае запретная зона пусть задана в виде горизонтальной плоскости уровня, а во втором - в виде нескольких фронтально проецирующих плоскостей, которые в совокупности на фронтальной проекции изображаются в виде четырёх угольника Р₁ (см. рис. 1). Движения звеньев механизма будем исследовать в плоскости параллельной фронтальной плоскости проекций при q₁ = 0.

Очевидно, что запретная зона, заданная горизонтальной плоскостью уровня Δ (см. рис. 1), создает в пространстве обобщенных координат Lq область разрешенных конфигураций Λ. Эту область Λ рационально задать с помощью использования нескольких кинематических поверхностей, образующими которой являются прямые или эллипсы li. Параметры формы образующих фрагментов эллипсов этих поверхностей, определяемые размерами большой и малой полуосей, изменяются в различных сечениях, при изменении обобщенной координатой q₂.

Обозначения параметров положения и формы эллипсов l₇ и l₈ являющихся фрагментами образующих кинематических поверхностей представлены на рисунке 2аб (для задания границ сечений используется восемь различных линий l_i ^[12]) .

Рис.1. Кинематическая схема механизма манипулятора мобильного робота «Варан» и положение запретных зон

В настоящей работе предложен параметрический способ задания области разрешенных конфигураций L, который использован при создании базы знаний о прошлом опыте синтеза движений механизма манипулятора при различных произвольных значениях параметров z_ор и x_ор (см. рис. 1). Параметры z_ор и x_ор определяют при этом положение запретной зоны Р₁.

Параметрический способ задания области разрешенных конфигураций

Условимся область запрещенных конфигураций, заданную фрагментами кинематических поверхностей с образующими l₇ и l₈, обозначать Ω₇ и Ω₈ (см. рис. 2аб). Методика задания области разрешенных конфигураций ранее была предложена в работах ^[10-12], где используются так же области Ω₁ – Ω₆. При этом область L получают на основе использования операций объединения и вычитания теории множеств, выполняемых с областями Ωi ^[13]. На рисунке 2аб представлены сечения области разрешенных конфигураций L соответственно при значении обобщенной координаты q₂ равной сорока и двадцати градусов при этом z_op = 1000мм. На данном рисунке изображены эллипсы l₇ и l₈ используемые для задания фрагментов наружного контура сечений области L.

а б

Рис. 2 – Определение параметров положения и формы эллипсов l₇ и l₈ фрагментов наружного контура сечения области L при наличии запретной зоны, заданной в виде горизонтальной плоскости уровня при z_op = 1000мм : а – эллипс l₇ при q₂ = 40^o ; б – эллипс l₈ при q₂ = 20^o

Параметры на рисунке 2аб определяют положение центров эллипсов l₇ и l₈, а параметры задают значения большой и малой полуосей соответственно эллипсов l₇ и l₈. Значения указанных параметров вычисляют с помощью функций от значений обобщенной координаты q₂. С этой целью используются полиномы третей степени. Зависимости указанных параметров формы и положения эллипса l₇ имеют следующий вид:

На основе использования уравнений (1) для эллипса l₇ и аналогичных уравнений для эллипса l₈ неравенства, определяющие точки принадлежащие областям Ω₇ и Ω₈ пространства L_q и задающие запрещенные конфигурации для этого случая имеют следующий вид:

Неравенства (2-3) получают на основе использования преобразований координат при переходе от систем и связанных с эллипсами к системе задающей репер плоскости сечения в пространстве обобщенных координат L_q (см. рис. 2аб). Центры систем координат О_эл и О ^/_эл совпадают с центрами эллипсов l₇ и l₈ .

Для определения коэффициентов неравенства (2-3) для случая, когда запретная зона задана горизонтальной плоскостью уровня Δ зависимости коэффициентов =f₁(z_оp), = f₂(z_оp), …, = f₄(z_оp), = f₉(z_оp), = f₁₀(z_оp), …, =f₁₃(z_оp), =f₁₄(z_оp), …. представим в виде интерполяционных полиномов третей степени. Для решения этой задачи используем полиномы, которые склеиваются в узловых точках. Пусть на отрезке заданы узлы ,а также l+1 значений параметра , , (определяющих коэффициент полинома задающего значение координаты центра эллипса l₇ (см. рис. 2а)) по направлению оси q₃. Значения параметра , определяются экспериментальными исследованиями построенных сечений для различных положений запретной зоны Р₁. Для решения указанной задачи используем полином третьей степени:

На основе изложенной методики, возможно, определять значения для других коэффициентов неравенства (1). Коэффициенты неравенств (1-2) в этом случае в соответствии с описанным выше методом определяются следующими шестнадцатью зависимостями:

Расчетные значения коэффициентов полиномов определяют на основе задания совокупностей узловых точек, полученных в результате вычислительных экспериментов с различными значениями параметра z_ор. Полученные зависимости (4-7) позволяют для различных высот туннеля или значений параметра z_oр рассчитывать значения коэффициентов полиномов используемых в неравенствах (1-2). Аналогичным образом значения коэффициентов неравенства (2) могут быть определены для нахождения положения центра эллипса l₈ и параметров его формы (соотношения =f₁(z_оp), = f₂(z_оp), …, = f₄(z_оp), = f₅(z_оp), …, = f₆(z_оp), … , =f₁₃(z_оp), =f₁₄(z_оp), …. ) (см. рис. 2б).

На рисунке 3абв приведены результаты расчетов коэффициентов соотношений (4-7) и на основе этого графическое представление функций = f₁₅(q₂, z_oр), = f₁₆(q₂, z_oр),и = f₁₇(q₂, z_oр) определяющих положение и форму эллипса l₇ в различных сечениях. Всвязи с тем, что смещение центра эллипса по направлению оси q₄ незначительное функция = f₁₈(q₂, z_oр) имеет отображение на графике близкое к плоскости. Поэтому в данной работе график указанной функции не приводится.

Определим аналогичным образом положения центров эллипсов и значения длин большой и малой полуосей для случая, когда запретная зона ограничивается фронтально проецирующими плоскостями (образующими контур прямоугольника Р₁ см. рис. 1) в зависимости от значений x_op и z_op. Результаты вычислительных экспириментов и расчета графиков функций = f₁₉(q₂, z_oр), = f₂₀(q₂, z_oр)и = f₂₁(q₂, z_oр) для трех различных значений параметра x_ор представлены на рисунке 4абв.

Рис. 3 – Изображение графиков-функций: а - = f₁₅(q₂, z_oр);

б - = f₁₆(q₂, z_oр); в - = f₁₇(q₂, z_oр)

Рис. 4 - Графики-функции a – = f₁₉ (q₂, z_ор ); б – = f₂₀ (q₂, z_ор) :

в – = f₂₁(q₂, z_ор )

Анализ графиков, представленных на рисунках 3абв и 4абв показывает, закономерности изменения значений параметров, определяющих положение и форму фрагментов эллипсов используемых для задания границ сечений области разрешенных конфигураций Λ, от значений z_ор и x_op, задающих положение запретной зоны Р₁.

С целью определения закономерностей изменения значений , и в зависимости от положения запретной зоны, которое задано параметрами x_op и z_op, а так же от координаты q₂, найдены значение данных параметров для различных точек пространства обобщенных координат.

Результаты расчётов для десяти различных точек с некоторым шагом представлены в таблице. Для моделирования гиперповерхностей в трех четырёхмерных пространствах, определяемых параметрами (x_op, z_op, q₂, ) , (x_op, z_op, q₂, ) и (x_op, z_op, q₂, ) выбираем для первого пространства узловую точку A_a1 (x_op, z_op, q₂, ) → A _a1 (75см, 75см, 110°, 58°) (cм. табл.) ^[14]. Через данную точку проведём по три перпендикулярные 3-плоскости αj (j = 1, 2, 3) и αi (i = 1, 2, 3).

Таблица

Значения координат узловых точек интерполирования

В каждой из 3-плоскостей αj моделируем интерполирующие кривые данных массивов точек, которые будут являться одномерными образующими моделируемой гиперповерхности. Уравнения трех гиперповерхностей в трех различных четырёх мерных пространствах будут следующие:

(9)

В качестве одномерных образующих пространства с координатами x_op, z_op, q₂ и а⁷, выбираем интерполирующие полиномы третьего порядка. Для этого в каждой из плоскостей αi выбираем по четыре узла интерполирования

Первые и вторые компаненты списка координат x_op и zopточек A₁^/ и т.п. заданы в сантиметрах, а третья q₂ и четвертая в градусах. Уравнения интерполирующих полиномов располагающих в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях α₁, α₂ и α₃ будут следующие:

(10)

Коэффициенты уравнений (10) вычисляют решением трёх систем состоящих из четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Первое уравнение получают при подстановке в первое уранение системы (10) координат точек A₁^/, A₂^/, A₃^/ и A₄^/.

Решая данную систему (вместо ci подставляя поочередно координату xop точек A₁^/, A₂^/, A₃^/ и A₄^/), получаем коэффициенты x₀, x₁, x₂ и x₃ первого уравнения системы (10) для переменной а⁷. Подставляя поочередно координату zop точек A₁^//, A₂^//, A₃^// и A₄^//, получаем коэффициенты x₀, x₁, x₂ и x₃ второго уравнения (10). Анологичным образом определяются уравнения (10) для переменных b⁷ и m_3⁷. Для получения первого уравнения моделирующей гиперповерхности (9), необходимо суммировать уравнения (10) и сумму поделить на три ^[14]. Уравнения гиперповерхностей третьего порядка после этого принимают следующий вид:

(12)

Уравнения (12) позволяют в приближенном виде определять значения , и в зависимости от значения переменных x_op, z_op и q₂. Относительная максимальная погрешность определения параметров , и в заданной области (см. табл.) на основе использования соотношений (12) составляет 10-15 процентов.

Моделирование движения манипулятора с использованием области разрешенных конфигураций

В работе по результатам теоретических исследований выполнено решение тестовой задачи связанной с перемещения центра ВЗ при наличии запретной зоны P₁ (см. рис. 5абв). При этом использовался алгоритм виртуального моделирования движения механизма манипулятора на основе синтеза движений по вектору скоростей изложенный в работе ^[11]. Значения обобщенных координат определялись на основе использования параметрического способа задания области разрешенных конфигураций L. Моделирование движения выполнено в системе САПР ACAD с использованием алгоритмического языка программирования AutoLISP. На рисунке 5а представлены результаты моделирования движения механизма манипулятора при отсутствии запретных зон. Соответственно на рисунке 5бв показан синтез движений при наличии запретных зон с использованием разработанного алгоритма анализа текущих ситуаций. При моделировании движений представленных на рисунках 5б и 5в использовался масштаб отображения вектора L_qh, который был принят равным h = 1 и h = 2 ^[11]. По результатам синтеза движений определены графики функций q = f(t), отражающие изменение обобщенных координат q_i (см. рис. 6аб). Где t определяет текущий параметр движения. Анализ графиков показывает, что использование масштаба отображения L_qh позволяет уменьшить кривизну траекторий, что позволяет так же уменьшить динамические нагрузки на исполнительный механизм.

Рис. 5. Результаты синтеза движений манипулятора: а - синтез по критерию минимизации объема движения при отсутствии запретных зон, б - синтез при значении h =1; в - синтез при значении h =2

Рис. 6 Графики изменения обобщенных координат при синтезе движений манипулятора с анализом пересечения вектора L_qh и области L:

а - при значении h =1; б – при значении h =2

.

Заключение и выводы

Полученные зависимости позволяют построить область разрешенных конфигураций, являющейся базой знаний при интеллектуальном управлении движением механизма манипулятора в заранее известной внешней среде. Использование полученной области при синтезе траектории в конфигурационном пространстве Q позволяет проводить коррекцию движения манипулятора с целью предвидения и исключения тупиковых ситуаций при синтезе движений по вектору скоростей.

Использование разработанного алгоритма оценки текущих ситуаций, позволяет на виртуальном уровне синтезировать траекторию движения от начальной до целевой точки ВЗ. Время расчета тестового задания при использовании разработанного метода сокращается на порядок по сравнению со способом, при котором для каждой итерации определяется пересечение примитивов задающих звенья механизма манипулятора и запретных зон.