Design of K-W-NET model of turbulence based on K-W/V2-F models with the neural network component

Pekunov Vladimir Viktorovich Doctor of Technical Science Software Engineer, JSC "Informatika" 153000, Russia, Ivanovskaya oblast', g. Ivanovo, ul. Tashkentskaya, 90 pekunov@mail.ru Other publications by this author

Введение

Известно, что большинство течений газа и жидкости в технических и естественных процессах являются турбулентными. При этом фактор турбулентности оказывает весьма существенное влияние на структуру и скорости потоков. Соответственно, очень важно, при моделировании различных течений учитывать данный фактор наиболее точным и быстрым методом. Однако единой общепринятой модели турбулентности до сих пор не существует, обычно применяется или прямое моделирование течений на очень подробной сетке (DNS, ^{[1, 2]}), или различные полуэмпирические модели, использующие или замыкающие соотношения для рейнольдсовых напряжений ^[3], или приближение Буссинеска, в рамках которого записывается специальная подмодель (например, Абрамовича-Секундова ^[4], Спаларта-Аллмараса ^[5], K-E ^{[2, 6]}, K-W ^{[3, 7]}, Ментера ^{[3, 5]}, V2-F ^[3] и другие) для турбулентной вязкости. При этом, чем точнее подход, тем большее количество вычислений требуется, что особенно характерно как для DNS-подхода в чистом виде, так и для компромиссных подходов (LES ^{[1, 3, 8]}, DES ^[3], PANS ^{[7, 9]}), использующих DNS-моделирование в сочетании с полуэмпирическими моделями (наименее трудоемким здесь является, вероятно, подход PANS, автоматически использующий DNS лишь на участках с подробной сеткой и сводящийся к одной из стандартных полуэмпирических моделей на прочих участках). Поэтому для практических расчетов наиболее часто используются приемлемые по времени счета полуэмпирические модели с одним, двумя и более параметрами (чем больше параметров, тем выше точность расчета и его вычислительная сложность).

Актуальна задача разработки такого полуэмпирического подхода, который при высокой точности имеет относительно невысокую трудоемкость. В данном случае можно попытаться, выбрав базовую полуэмпирическую модель, применить нейронные сети прямого распространения, которые могут использоваться в качестве простых интерполяционных замен для отдельных коэффициентов, иных членов уравнений и даже для некоторых отдельных уравнений целиком ^[10]. В случае, если сложность такой замещающей сети невысока, время ее расчета может быть меньше времени счета заменяемых выражений/уравнений, в результате получаем снижение вычислительной сложности. Если сеть при этом дает хорошее приближение, то можем получить достаточную точность при сниженной трудоемкости.

Итак, целью данной работы является повышение скорости счета фактора турбулентности при сохранении достаточной точности. При этом целесообразно в качестве базовой выбрать одну из наиболее точных полуэмпирических моделей с большим количеством уравнений (на ее основе будет обучаться нейронная сеть) и получить из нее требуемую более простую модель последовательной заменой уравнений на более подходящие, в том числе нейросетевые аналоги. Это приводит нас к идее выбора в качестве базовой модели Дурбина V2-F ^[3], содержащей четыре уравнения и не менее точной, чем, например, K-E-RNG, что было показано сравнением результатов численного моделирования затопленной струи с аналитическим решением.

Для достижения данной цели поставим следующие задачи:

а) заменить K-E компонент модели Дурбина K-W компонентом, как более устойчивым (менее чувствительным к искажениям, вносимым нейросетевым компонентом);

б) предложить адекватную коррекцию для K-W компонента путем замены подмодели для V2 и F нейросетевым интерполятором, обученным по модели Дурбина;

в) сравнить время счета и точность полученной модели с аналогичными показателями исходной V2-F модели, K-E модели, K-W модели и с прямым расчетом турбулентной вязкости нейронной сетью ^[11]. При этом будем использовать контроль погрешности с динамическим шагом интегрирования по времени.

Построение новой модели на базе модели Дурбина

Приведем исходную модель Дурбина ^[3];

где U – вектор скорости среды, – молекулярная вязкость,

Достаточно очевидно, что K-E компонент данной модели относительно независим от V2-F компонента, который является адекватной заменой вспомогательным функциям (damping functions), обычно используемым для «подгонки» решения под реальную картину течений. Отсюда можно сделать предположение о возможности аддитивного приближения для оценки турбулентной вязкости

где нейронная сеть , фактически, моделирует влияние V2-F компонента, а рассчитывается по стандартной K-W модели (выбрана по соображениям достаточной исходной точности в сочетании с хорошей устойчивостью). При этом обучение сети проводится по значениям различных переменных в различных точках (x₁, x₂) течения, рассчитанного по исходной модели Дурбина. Строится набор обучающих пар , где

где L_min – минимальное расстояние до твердой стенки.

Нейронная сеть прямого распространения обучается методом обратного распространения ошибки, имеет три слоя с 4х3х1 нейронами, в первых двух слоях активационная функция «экспоненциальная сигмоида», выходной нейрон является линейным.

Получаем нейросетевую функцию , которая (в члене ) используется в модифицированной K-W модели для расчетов:

где

Апробация

В качестве моделируемого течения было выбрано двумерное обтекание прямоугольного препятствия (схема расчетной области показана на рис. 1, на верхней границе присутствует постоянный воздушный поток со скоростью U).

Рис.1. Схема расчетной области

Математическая модель включала уравнения Навье-Стокса для несжимаемой среды, к которым присоединялась одна из перечисленных ниже моделей турбулентности. Для интегрирования применялась неявная разностная схема первого-второго порядков точности как по пространству, так и по времени.

Нейронная сеть обучалась по данным, полученным с применением модели Дурбина. В качестве образцовых были взяты данные, полученные по PANS-варианту (более точному) модели Дурбина. Сравнение проводилось как для предложенной модели, так и для стандартных моделей Дурбина, K-E и K-W, а также для простой нейросетевой модели ^[11], непосредственно предсказывающей значение турбулентной вязкости). Поскольку нас интересовали не «чистые» вычислительные затраты моделей, а скорость схождения к решению, вычисления проводились с динамическим шагом интегрирования, увеличивающимся при незначительности текущей погрешности и уменьшающимся при ее существенной величине. Результаты расчетов сведены в таблицу 1.

Таблица 1. Результаты расчетов

Достаточно очевидно, что один из лучших результатов по всем показателям точности был продемонстрирован предложенной моделью, которая при этом оказалась несколько более медленной лишь в сравнении с прямым нейросетевым расчетом турбулентной вязкости (давшим наибольшую погрешность) и существенно более быстрой в сравнении со всеми более точными вариантами модели Дурбина. Это позволяет утверждать, что цель данной работы достигнута.

Выводы

Итак, в данной работе на базе V2-F модели Дурбина была построена аддитивная K-W-NET модель, имеющая несколько меньшую точность, но и при этом значительно менее трудоемкая (в условиях счета с контролем погрешности) в сравнении с моделью Дурбина. Показано ее преимущество перед прочими дополнительными моделями (либо в скорости схождения к решению, либо в точности решения) на примере решения задачи численного моделирования обтекания одиночного препятствия в двумерной области.