Design of linear surfaces that restrict the range of permissible positions of links of the manipulator mechanisms in implementation of instantaneous states

Pritykin Fedor Nikolaevich Doctor of Technical Science Professor, Department of Engineering Geometry and CAD, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Pr. Mira, 11 pritykin@mail.ru Other publications by this author

Nebritov Valeriy Ivanovich Postgraduate Student, Department of Engineering Geometry and CAD, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, pr. Mira, 11 vnebritov@gmail.com Other publications by this author

Введение

Линейчатые поверхности используются в различных областях деятельности человека. Конструкторы и инженеры используют их при проектировании и изготовлении различных технических устройств, архитекторы при проектировании зданий, сооружений и другое ^[1-5]. Конструирование линейчатых поверхностей, может осуществляться различными способами ^[6-11]. Одним из распространенных способов является конструирование линейчатых поверхностей с помощью задания трех направляющих кривых. В некоторых случаях одна из этих направляющих кривых непосредственно не задается, а заменяется каким-либо геометрическим условием, накладываемым на образующие поверхности. Это геометрическое условие может быть задано в виде некоторого точечного соответствия, устанавливаемого между точками двух оставшихся направляющих кривых. Задание линейчатой поверхности двумя направляющими с установлением между их точками взаимно-однозначного соответствия называется инженерным способом задания линейчатых поверхностей ^[12-13]. Рассмотрим пример конструирования указанных поверхностей, которые в приближенном виде будут ограничивать область D_m, которая задает допустимые положения звеньев механизма манипулятора некоторой заданной конфигурации при реализации допустимых мгновенных состояний.

Допустимые мгновенные состояния механизма манипулятора определяют вектором обобщенных скоростей из области допустимых значений (которые соответственно обозначим Q_N и `Omega` ^Q) ^[14-19]. Заметим, что в дальнейшем в представленном исследовании принимается допущение равенства обобщенных скоростей q̇_i и приращений обобщенных координат `Delta` q_i за одну итерацию. В этом случае компоненты вектора будут следующие Q_N (q̇₁≈`Delta` q₁, q̇₂≈`Delta` q₂, … , q̇_n≈`Delta` q_n). Где n определяет число обобщенных координат механизма. Верхний индекс обозначений ^Q определяет принадлежность геометрического объекта многомерному пространству обобщенных скоростей Q. Следовательно, область `Omega` ^Q принадлежит пространству Q.

Постановка задачи

Пусть задан пространственный механизм манипулятора массивами длин звеньев, кодов кинематических преобразователей, смещениями вдоль осей координат ^[16,20,23]. В качестве примера моделирования линейчатых поверхностей рассмотрим механизм андроидного робота ^[17,23]. Кинематическая схема указанного механизма изображена на рисунке 1а. Число обобщенных координат этого механизма n = 5. Синтез движений данного механизма осуществляется с обеспечением движения центра выходного звена (ВЗ) по заданной траектории при произвольной его ориентации. В этом случае размерность вектора скоростей ВЗ будет равна трем r = 3, V(V_х, V_y, V_z). При синтезе движений исследуемого механизма существует двигательная избыточность равная р = n – r = 2 ^[16,24]. При реализации значений вектора Q_N из области `Omega` ^Q звенья механизма андроидного робота в неподвижной системе координат располагаются в определенной окрестности около исходной конфигурации. Эта допустимая области возможных положений звеньев в работах ^[16,24] обозначена D_m. Размеры указанной области D_m зависят от заданной точности позиционирования центра ВЗ `delta` на траектории его движения. Для конструирования линейчатых поверхностей в приближенном виде, ограничивающих указанные допустимые области D_m , исследуем положения узловых точек О₁÷О₁₂ механизма манипулятора в исходном положении (см. рис. 1а) и при реализации значений вектора Q_N^[24]. Под реализацией мгновенного состояния или значения вектора Q_N будем понимать новое положение механизма манипулятора, определяемого обобщенными координатами:

q₁ = q₁ + `Delta` q₁,

q₂ = q₂ + `Delta` q₂,

… ,

q_n = q_n + `Delta` q_n. (1)

На рисунке 1аб представлены точки О₁, О₂, …, О_j, которые задают положения узловых точек совпадающих с центрами систем координат, связанных со звеньями механизма манипулятора. Для рассматриваемого примера количество узловых точек j = 12 ^[16]. Некоторые узловые точки могут совпадать между собой. Данное количество узловых точек равно числу систем координат, используемых при задании модели кинематической цепи механизма манипулятора. На рисунке 1б изображена сфера `Sigma` единичного радиуса и положение сферической кривой l_сф на этой сфере, определяющей телесный угол сервиса ^[21,25,26]. Телесный угол сервиса при этом определяют образующие линейчатой поверхности `Psi` ₁. Каждая образующая линейчатой поверхности `Psi` ₁ определяется точками О₁₂ и О'₁₁. Множество положений точки О'₁₁ при реализации мгновенных состояний находятся на поверхности сферы `Sigma` _сф с центром в точке О₁₂ и радиусом равным отрезку О₁₂О'₁₁. Указанная сфера на рисунке 1б не показана. Точка О'₁₁ полученная реализацией (1) в общем случае может занимать произвольные положения на сфере `Sigma` _сф. Положение точки О'₁₁ на сфере `Sigma` _сф определяется углами `alpha` и `beta` (см. рис. 1аб). Способ определения данных углов и образующих конической поверхности `Psi` ₁ задающих телесный угол сервиса изложен в работах ^{[25, 26]}. Положение точки О'₁₁ может быть задано углами `alpha` _р = `alpha` и `beta` _р = `beta` на условной развертке сферы `Sigma` (см. рис. 1в). Поверхность сферы `Sigma` единичного радиуса (см. рис. 1в) на условной развертке разделена на 12 равных секторов.

а

б

в

Рис. 1 Моделирование линейчатой конической поверхности `Psi` ₁, образованной положениями отрезка О'₁₁О₁₂ звена механизма руки и туловища андроидного робота реализацией мгновенных состояний: а – кинематическая схема механизма; б – положения образующих конической поверхности `Psi` ₁ задающей телесный угол сервиса; в – условная развертка сферы `Sigma` единичного радиуса

Метод построения направляющих кривых и образующих линейчатых поверхностей

Зададим положение плоскостей `alpha` ₃, `alpha` ₆, `alpha` ₇, …, `alpha` _j (см. рис. 2), где j – номер плоскости α_j, проходящей через j-ю узловую точку О_j. Плоскости `alpha` ₃, `alpha` ₆, `alpha` ₇, …, `alpha` ₁₁ проходят через точки О₃, О₆, …, О₁₁ и перпендикулярны осям звеньев О₃О₄, О₅О₆, О₇О₈ и т. п. (О₃`in` α₃, α₃`_|_` О₃О₄, О₆`in` α₆, α₆`_|_`О₅О₆, О₇`in` α₇, α₇`_|_`О₇О₈, О₁₀`in`α₁₀, α_{10`_|_`} О₉О₁₀, О₁₁`in` α₁₁, α₁₁`_|_`O₁₁О₁₂, О₁₂`in` α₁₂, α₁₂`_|_` О₁₁О₁₂). Знак `in` определяет принадлежность точки геометрическому объекту `alpha` j. Заметим, что узловые точки О₈ и О₉ находятся в центре вращательной кинематической пары, ось которой совпадает с осями звеньев. Поэтому звенья задаваемые узловыми точками О₈О₇ и О₁₀О₉ определяются положением отрезка прямой О₇О₁₀.

Рис. 2 Определение положения и формы направляющих линий `mu` _{`alpha` 3}, `mu` _{`alpha` 6}, `mu` _{`alpha` 7}, и `mu`_{`alpha` 10} линейчатых поверхностей `Psi`₂ и `Psi`₃

Следовательно, через заданные точки нет необходимости строить плоскости `alpha`₈ и `alpha`₉ (О₈`in``alpha`₈, `alpha`₈`_|_`О₈О₇ и О₉`in`` ``alpha`₉, `alpha`₉`_|_`О₉О₁₀). Аналогичным образом также нет необходимости построения плоскостей `alpha`₄ и `alpha`₅ (О₄`in``alpha`₄, `alpha`₄`_|_`О₄О₃ и О₅`in``alpha`₅, `alpha`₅`_|_`О₅О₆). На рисунке 2 плоскости `alpha`₆, `alpha`₁₁ не изображены с целью уменьшения геометрической информации, представленной на этом рисунке.

Пусть при реализации значений вектора Q_N из области допустимых значений `Omega`^Q точки О₃÷О₁₂ из начального положения смещаются в положения О'₃÷О'₁₂. Заметим, что точки О₁₂ и О'₁₂ имеют между собой расстояние d меньшее заданной допустимой точности позиционирования `delta` ^[20,24]. В тестовых расчетах значение данного параметра принято `delta` = 2 мм. Спроецируем с помощью ортогонального проецирования точки О'₃÷О'₁₂ соответственно на плоскости `alpha`₃, `alpha`₆, `alpha`₇, …, `alpha`_j по направлениям проецирования, определяемым отрезками О₃О₄, О₅О₆, О₇О₈ и т. п. Указанные проекции точек О'₃÷О'₁₂ на плоскостях `alpha`₃, `alpha`₆, `alpha`₇, …, `alpha`_j определяют соответственно точки О_`alpha`3, О_`alpha`6, О_`alpha`7, …, О_`alpha`11 (см. рис. 2). Разделим плоскости `alpha`₆, …, `alpha`₁₁ на несколько равных секторов (в рассматриваемом примере указанные плоскости разделены на двенадцать равных секторов, определяемых углом 30°). Для нахождения положения первого сектора (I) в указанных плоскостях зададим оси х_`alpha`6, х_`alpha`7, х_`alpha`10 и х_`alpha`12. Данные оси задают начала отсчета первого сектора. Ось х_`alpha`12 совпадает с осью х_n системы координат О_nх_ny_nz_n связанной с ВЗ (см. рис. 2). Зададим точку А_`alpha`12 `in` х_`alpha`12.

Для определения положения оси х_`alpha`11 необходимо найти проекцию точки А_`alpha`12 на плоскости `alpha`₁₁ по направлению проецирования, заданного отрезком О₁₁О₁₂. Эту точку определяет проекция А_`alpha`11. Далее точку А_`alpha`11 необходимо спроецировать на плоскость α₁₀ по направлению проецирования заданного отрезком О₉О₁₀. Полученную проекцию обозначим А_`alpha`10. Ось х_`alpha`10 проходит через точки О₁₀ и А_`alpha`10 (см. рис. 2). Положение осей х_`alpha`6 и х_`alpha`7 определяется аналогичным образом. При этом вначале точка А_`alpha`10 проецируется по направлению, заданному отрезком О₉О₁₀ на плоскость `alpha`₇, а затем точка А_`alpha`7 проецируется по направлению, заданному отрезком О₆О₅ на плоскость `alpha`₆.

Пусть первый сектор плоскостей `alpha`₇ и `alpha`₁₀ определяется углом 30° отложенном от осей х_`alpha`7, и х_`alpha`10 по часовой стрелки при направлении взгляда от точки О₁₁ к О₁₂, от точки О₉ к О₁₀ и т. п. Полученные сектора на рисунке показаны в заштрихованном виде. При реализации значений вектора обобщенных скоростей Q_N из области `Omega`^Q определим в каждом секторе такие точки О^max_`alpha`3, О^max_`alpha`6, …, О^max_`alpha`11 которые будут иметь максимальное удаление соответственно от точек О₃, О₆, …, О₁₁. Заметим, что каждая точка О^max_`alpha`j заносится в базу данных определенного сектора плоскостей `alpha`₇ и `alpha`₁₀ если выполняются условия:

d_{`mu alpha`10(k+1)} > d_{`mu alpha`10(ki)}^max,

d_{`mu alpha`7(k+1)} > d_{`mu alpha`10(k+1)} / 2, (2)

где d_{`mu alpha`10(k+1)} - расстояние от точки О_`alpha`10 до узловой точки О₁₀ в плоскости `alpha`₁₀ соответствующего сектора для следующей расчетной конфигурации k+1, d_{`mu alpha`10(ki)}^max – максимальное расстояние полученное на предыдущих итерациях связанных с расчетом положения конфигурации с номером k_i, d_{`mu alpha`7(k+1)} - соответственно расстояние между точками О_`alpha`7 и О₇ в плоскости `alpha`₇ соответствующего сектора.

Совокупность данных точек в различных секторах определяет кривые `mu`_`alpha`6, `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 принадлежащие соответственно плоскостям `alpha`₆, `alpha`₇, и `alpha`₁₀ (см. рис. 2). В качестве направляющей линии в плоскости `alpha`₃ выступает отрезок прямой `mu`_`alpha`3. Кривые `mu`_`alpha`6, `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 могут быть построены более точно, если увеличить количество исследуемых секторов. Сконструируем линейчатые поверхности `Psi`₂ и `Psi`₃, в качестве направляющих кривых, которых будут выступать отрезок `mu`_`alpha`3 и кривая `mu`_`alpha`6, а также кривые `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10. По аналогии с инженерным способом задания линейчатых поверхностей соответствия между точками линий `mu`_`alpha`3 и `mu`_`alpha`6, а также кривых `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 будет задавать принадлежность точек О^max_`alpha`3, О^max_`alpha`6, О^max_`alpha`7, и О^max_`alpha`10 кривых соответствующим секторам плоскостей `alpha`₆, `alpha`₇ и `alpha`₁₀. Для установления соответствия точек направляющих линий линейчатой поверхности `Psi`₃ на отрезке `mu`_`alpha`3 задаются точки 1_`alpha`3, 2_`alpha`3, … , (см. рис. 2в). У линейчатой конической поверхности `Psi`₁, определяющей положениями звена ограниченного точками О₁₁О₁₂ (это звено называют осью схватоносителя) вершиной будет являться точка О₁₂, а направляющей кривой `mu`_`alpha`11`sub``alpha`₁₁. Указанная кривая `mu`_`alpha`11 и плоскость `alpha`₁₁ на данном рисунке не показаны. При этом принято допущение о том, что точки О₁₂ и О'₁₂ совпадают. Хотя на самом деле данные точки не могут совпадать, но расстояние между ними не превышает заданную минимальную величину равную заданной точности позиционирования `delta`^[25]. Линейчатую поверхность `Psi`₂ ограничивающую допустимые положения звеньев О₇О₈ и О₉О₁₀ задают соответственно направляющие кривые `mu`_`alpha`7`sub``alpha`₇ и `mu`_`alpha`10`sub``alpha`₁₀.

Образующую l_`Psi`2 линейчатой поверхности `Psi`₂ зададим уравнениями двух проекций этой прямой:

`{(y = ax + b),(z = cx+ d):}` (3)

Пусть направляющую кривую `mu`_`alpha`7 определяют зависимости:

x = f₁(`beta`),

y = f₂(`beta`), (4)

z = f₃(`beta`),

где `beta` определяет угол, который задает положения точек О^max_`alpha`3, О^max_`alpha`6, …, О^max_`alpha`11 в плоскостях `alpha`₆, `alpha`₇ и `alpha`₁₀ в полярных координатах в каждом секторе (см. рис. 2). Угол `beta` задается в базе данных B_`alpha`j точек направляющих кривых `mu`_`alpha`j. Координаты точек О^max_`alpha`6, О^max_`alpha`7, и О^max_`alpha`10 в неподвижной системе координат могут быть рассчитаны с использованием матриц М_0,k задающих переход от системы координат связанной с k-ым звеном к неподвижной системе координат.

Условие пересечения образующей l_`Psi`2 линейчатой поверхности `Psi`₂ с направляющей кривой `mu`_`alpha`7 записывается следующим образом:

f₂(`beta`) = а(f₁(`beta`)) + b,

f₃(`beta`) = с(f₁(`beta`)) + d.(5)

При задании значения параметра `beta` получаем функцию f(а,b,с,d) = 0. Вторая направляющая кривая `mu`_`alpha`10 задается функциями :

х = f₄(`beta`),

y = f₅(`beta`),(6)

z = f₆(`beta`).

Условие пересечения образующей со второй направляющей кривой `mu`_`alpha`10 будет следующим:

f₅(`beta`) = а(f₄(`beta`)) + b,

f₆(`beta`) = с(f₄(`beta`)) + d.(7)

Тогда при задании значения `beta` определяются положения соответствующих точек О^max_`alpha`6, и О^max_`alpha`11 (4) (6) в каком либо секторе на кривых `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 и уравнения (4) и (6). Уравнения (5) и (7) задают значения коэффициентов а, b, с и d проекций образующей линейчатой поверхности, так как получаем линейную систему уравнений с четырьмя неизвестными а, b, с и d. Следовательно, для каждого значения параметра `beta` определяется положение прямолинейной образующей l_`Psi`2 поверхности `Psi`₂. На рисунке 3а представлены изображения кривых, располагающихся в соответствующих плоскостях `mu`_`alpha`7`sub``alpha`₇ и `mu`_`alpha`10`sub``alpha`₁₀ для конфигурации заданной вектором L_t (25°, 20°, -35°, -25°, -65°).

а б

Рис. 3 Положения направляющих линий `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 поверхности `Psi`₂ для конфигурации заданной вектором L_t (25°, 20°, -35°, -25°, -65°): а – кривая `mu`_`alpha`7 `sub``alpha`₇; б – кривая `mu`_`alpha`10`sub``alpha`₁₀

На кривых `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 обозначены точки 1_`alpha`7, 2_`alpha`7, …, 12_`alpha`7, 1_`alpha`10, 2_`alpha`10, …, 12_`alpha`10, которые соответствуют положению точек О^max_`alpha`3, О^max_`alpha`6, …, О^max_`alpha`11 в каждом из двенадцати секторов. Между точками двух кривых `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 существует однозначное соответствие. Точке 1_`alpha`7 на кривой `mu`_`alpha`7 соответствует точка 1_`alpha`10 на кривой `mu`_`alpha`10. По аналогии с инженерным способом задания линейчатых поверхностей, направляющие кривые `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 и соответствие точек этих кривых определяют линейчатую поверхность `Psi`₂ (см. рис. 4а). Эта поверхность приближенно ограничивает область допустимых положений звена определяемого опорными точками О₇ и О₁₀ при реализации допустимых значений вектора Q_N из области `Omega`^Q. Аналогичным образом находится линейчатая поверхность `Psi`₃, ограничивающая допустимые положения звеньев заданных узловыми точками О₃ и О₆. При этом в качестве направляющей линии в плоскости `alpha`₃ выступает отрезок прямой, на котором заданы точки 1_`alpha`3, 2_`alpha`3, …, 12_`alpha`3 (см. рис. 4б). На рисунке 4в представлена линейчатая поверхность `Psi`₁.

а

в

Рис. 4 Положения образующих линейчатых поверхностей `Psi`₁, `Psi`₂, и `Psi`₃ для конфигурации заданной вектором L_t (25°, 20°, -35°, -25°, -65°): а - положение образующих l_`Psi`2 линейчатой поверхности `Psi`₂ ; б – положение образующих l_`Psi`3 линейчатой поверхности `Psi`₃ ; в - положение образующих l_`Psi`1 линейчатой поверхности `Psi`₁; г – положения звена О₇О₁₀ при реализации мгновенных состояний

Множество положений звена О₇О₁₀ при реализациях мгновенных состояний на трех плоскостях проекций представлено на рисунке 4г. Пусть при синтезе движений механизма манипулятора возникает тупиковая ситуация. Заметим, что при синтезе движений при возникновении пересечения, каково либо из звеньев с запретной зоной с целью сокращения времени расчетов исследуется ограниченное число конфигураций задающих вектором приращений Q_N и значениями `Delta`k_i (в тестовых примерах данное максимальное количество конфигураций равно двадцати)^[24]. Параметры k_i определяют положение точки N^Q заданной вектором Q_N в р-плоскости Г^Q, которая задана линейной системой уравнений ^[16,22-24]:

V = JAQ_N, (8)

где J – определяет матрицу частных передаточных отношений, А – матрицу диагонального вида, задающую значения весовых коэффициентов обобщенных скоростей. Учитывая то, что общее количество допустимых конфигураций заданных областью `Omega`` `^Q может достигать несколько сотен, целесообразно исследовать ограниченное их число при возникновении пересечения механизма с запретной зоной. Это объясняется необходимостью сокращения времени расчетов. Например, когда все допустимые значения вектора Q^N из двадцати исследованы, которые задают конфигурации, пересекающие запретные зоны, то данное положение механизма принимается за тупиковую ситуацию. Для этого случая необходимо вычислить положения линейчатых поверхностей `Psi`₁, `Psi`₂ и `Psi`₃. При этом для каждой из точек 1_`alpha`7, 2_`alpha`7, …, 12_`alpha`7, 1_`alpha`10, 2_`alpha`10, …, 12_`alpha`10 кривых `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 в базе данных сохраняются значения обобщенных координат q_i и угол `beta`, который задает положение точек в полярных координатах в плоскостях `alpha`_j. Для сокращения времени расчета положения линейчатых поверхностей `Psi`₁, `Psi`₂ и `Psi`₃ условие пересечения конфигураций с запретными зонами не определяется.

Алгоритм моделирования движений с выходом механизма манипулятора из тупиковой ситуации

После вычисления направляющих кривых `mu`_`alpha`3, `mu`_`alpha`6, `mu`_`alpha`7, `mu`_`alpha`10 и `mu`_`alpha`11, а также линейчатых поверхностей `Psi`₁, `Psi`₂ и `Psi`₃, определяются пересечения образующих этих поверхностей с запретными зонами. Пусть образующая l_`Psi`2 поверхности `Psi`₂ соответствующая сектору 11 пересекает запретную зону. Данная образующая проходит через точки 11_`alpha`7 и 11_`alpha`10. Для этого случая противоположным сектором по отношению к сектору 11 будет сектор с номером 5. Тогда из базы данных точек направляющих кривых `mu`_`alpha`7 и `mu`_`alpha`10 необходимо исследовать конфигурации заданные точками 5_`alpha`7 и 5_`alpha`10. Данные точки 5_`alpha`7 и 5_`alpha`10 находятся на противоположных сторонах секторов 11 плоскостей `alpha`₇ и `alpha`₁₀.

Следует отметить, что реальные положения отрезка, заданного узловыми точками О₇О₁₀ звеньев О₇О₈ и О₉О₁₀ при реализации мгновенных состояний, не будут совпадать с положением образующих линейчатой поверхности `Psi`₂ (например, проходящих через точки 5_`alpha`7 и 5_`alpha`10 или точки 11_`alpha`7 и 11_`alpha`10). Однако каждая из указанных двух точек 5_`alpha`7 и 5_`alpha`10 будет задавать в базе данных два значения вектора L_t(q₁, q₂, …, q_n) обобщенных координат, которые будут задавать две конфигурации проекции узловых точек которой О₇ и О₁₀ будут принадлежать сектору 5 противоположному сектору 11. А следовательно указанные конфигурации находятся на большем удалении от запретной зоны чем конфигурации проекции узловых точек О₇ и О₁₀ которых будут принадлежать сектору 11. Это объясняется тем, что образующая линейчатой поверхности `Psi`₂ сектора 11 пересекает запретную зону. Использование указанных двух конфигураций проходящих через точки 5_`alpha`7 и 5_`alpha`11 позволяет исключить итерационный поиск значения вектора Q_N с определением пересечения каждой полученной конфигурации (количество которых может достигать нескольких сотен) с запретными зонами. Это позволяет сократить время вычислений на 50 – 60 процентов.

На рисунке 5 представлена схема алгоритма вычисления конфигураций, не пересекающих запретные зоны при возникновении тупиковых ситуаций и использовании образующих линейчатых поверхностей `Psi`₁, `Psi`₂ и `Psi`₃.

Рис. 5 Алгоритм вычисления конфигураций, не пересекающих запретные зоны с использованием анализа положения образующих линейчатых поверхностей `Psi`_i

Результаты моделирования движений механизма манипулятора с выходом из тупиковой ситуации

На рисунке 5 приняты следующие обозначения: 1 – ввод исходных данных q_i - исходные значения обобщенных координат, l_i -длины звеньев механизмов, n_kod - коды преобразований систем координат ^[16]), l_smi - смещения вдоль осей координат связанных со звеньями механизма, А_ц – координаты целевой точки центра ВЗ механизма, n – максимальное число обобщенных координат, К_т^max = 20 – максимальное число конфигураций определяющих тупиковую ситуацию, К_т = 0, k = 0, dd_min - минимально заданное расстояние центра ВЗ от целевой точки А_ц, `Delta`k_i^T - интервал изменения значения параметра k_i при построении движения по заданной траектории цента ВЗ ^[23], `Delta`k_i^Л - интервал изменения значения параметра k_i при вычислении положения направляющих кривых `mu`_`alpha`j линейчатых поверхностей `Psi`j. Данный интервал на порядок меньше значения `Delta`k_i^T; 2 – вычисление V(V_х, V_y, V_z) - вектора определяющего скорости простейших движений центра ВЗ, расчет J - матрицы частных передаточных отношений (7)^[16,23], вычисление Q_M - вектора обобщенных скоростей соответствующего критерию минимизации объема движения ^[16,23]; 3 – вычисление следующей конфигурации L_t+1 (q₁ + `Delta`q₁, q₂ + `Delta`q₂, … , q_n + `Delta`q_n) (1) , где `Delta`q_i компоненты вектора Q_M или Q_N; 4 – определение условия пересечения конфигурации L_t+1 с запретной зоной Р; 5 - сохранение в базе данных конфигурации L_t+1 как разрешенной и переход к расчету следующей конфигурации на заданной траектории центра ВЗ; 6 – цель достигнута dd < dd_min (где dd – текущее расстояние центра ВЗ от заданной целевой точки А_ц); 7 - К_т < К_т^max; 8 - вычисление вектора Q_N (при значении приращения `Delta`k_i^T), К_т = К_т + 1; 9 – вычисление положения плоскостей `alpha`_j и точек кривых `mu`_`alpha`j (при значении приращения `Delta`k_i^Л), задание в базе данных точек В_`alpha`j`->`1_`alpha`j - q_i^`alpha`j (q₁^`alpha`jq₂^`alpha`j, … , q_n^`alpha`), `beta`₁^`alpha`j, 2_a`alpha`j- q_i^`alpha` (q₁^`alpha`jq₂^`alpha`j, … , q_n^`alpha`j) `beta`₂^`alpha`j, где В_`alpha`j база данных точек 1_`alpha`j, 2_`alpha`j кривых `mu`_`alpha`j, принадлежащих плоскостям `alpha`_j; 10 – вычисление положения образующих l_`Psi`i поверхностей `Psi`_i (4)(6); 11 – определение образующих l_`Psi`, пересекающих запретную зону Р, и точек B_l базы данных В_`alpha`j,через которые проходят данные образующие. Определение номеров секторов, которым принадлежат точки B_l, задающие образующие пересекающие препятствия Р_з; 12 – определение образующих линейчатых поверхностей l'_`Psi` и точек направляющих кривых `mu`_`alpha`j, располагающихся на противоположных секторах плоскостей `alpha`_j, выбор конфигураций из базы данных В_`alpha`j соответствующих точкам, через которые проходят образующие l'_`Psi`.

На рисунке 6 представлены результаты расчета промежуточных конфигураций при использовании линейчатых поверхностей `Psi`₁, `Psi`₂, `Psi`₃ и алгоритма, представленного на рисунке 5, с целью преодоления тупиковых ситуаций.

Рис. 6 Результаты компьютерного моделирования движений механизма андроидного робота с использованием линейчатых поверхностей при анализе взаимного положения манипулятора и запретных зон

На рисунке 6 проекции точек О_ц¹, О_ц², О_ц³ и О_н¹, О_н², О_н³ определяют соответственно положение начальной и целевой точек. Проекции Р¹, Р² и Р³ задают положение запретной зоны.

Выводы и заключение

Результаты компьютерного моделирования движений механизма руки и туловища андроидного робота показывают, что использование линейчатых поверхностей при анализе взаимного положения манипулятора и запретных зон в тупиковых ситуациях позволяет сократить время вычислений на 50-60 процентов. Полученное сокращение времени расчета является наиболее востребованным при компьютерном управлении движением руки и туловища андроидного робота в реальном масштабе времени.