Building an analytical model of the lip seal profile

Zvonov Aleksandr Olegovich Senior Lecturer of the Department of Informatics and Computer Engineering, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Pr. Mira, 11 13rock@bk.ru

Yanishevskaya Anna Genrikhovna Doctor of Technical Science Professor of the Department of Engineering Geometry and CAD, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Pr. Mira, 11 anna-yanish@mail.ru

Введение

В современных машинах имеются десятки и сотни подвижных соединений, многие из которых являются уплотняемыми. Вследствие этого надёжность каждого даже небольшого уплотнения вносит свой вклад в надежность машины в целом. Одной из актуальных задач, которые должны быть решены при совершенствовании уплотнительных элементов, является расширение диапазона допустимых температур с целью улучшения работоспособности в условиях крайнего севера ^[1]. Однако данная задача относится преимущественно к совершентвованию рецептур материалов. Другой актуальной задачей является увеличение допустимых взаимных перемещений деталей уплотняемого соединения. Для уплотнения больших зазоров традиционно применяются уплотнения манжетного типа (рис. 1). Они имеют длинный деформируемый выступ (будем называть его рабочей частью), длина которого обеспечивает работоспособность уплотнения при перемещении деталей. Таким образом, увеличение допустимых взаимных перемещений требует увеличения длины рабочей части манжеты.

Рисунок 1 – Общий вид манжетного уплотнения

Увеличение длины рабочей части манжеты (рис. 1) означает выход за пределы размеров, определенных в стандартах и каталогах ^{[2, 3]}. Это, в свою очередь, требует от конструктора уплотнения провести аналитическую и экспериментальную проработку новой детали.

В статье ^[4] расчеты работоспособности уплотнений не рассматриваются подробно, однако бесспорны выделенные критерии работоспособности уплотнений: герметичность, прочность и др.

Современные CAE-системы (Ansys, Abaqus, Unigraphics NX) позволяют проводить расчеты изделий из полимерных материалов, в том числе уплотнений различной конфигурации. К примеру, в работах ^{[5, 6]} метод конечных элементов использовался для определения расчетных значений контактного давления между уплотнением и металлической ответной частью. Отметим ряд сложностей, возникающих при выборе такого подхода:

1. Адекватное описание свойств конкретного полимерного материала требует калибровки расчетной модели по экспериментальным данным (что были вынуждены сделать авторы указанной работы ^[5]). В ряде отечественных работ, посвященных полимерным изделиям, нередко используется известный термин «расчетно-экспериментальный метод» ^{[7, 8]}, подчеркивающий невозможность выполнения конечноэлементных расчетов данных изделий без проведения эксперимента;

2. Трудоёмкость такого расчета возрастает при проектировании большого типоряда уплотнений, поскольку для каждой геометрической модели расчет выполняется индивидуально. А с учетом пункта 1, применимость расчетной модели, полученной для уплотнений из начала типоряда, к уплотнениям в конце типоряда, может потребовать отдельного рассмотрения.

В связи с этим не теряет своей актуальности построение аналитических моделей нестандартных уплотнений.

Расчетные схемы манжетного уплотнения при действии «наружного» и «внутреннего» давления приведены на рисунках 2 и 3. Расчет факторов, связанных с шириной и условиями работы контактной поверхности, поджимающими манжету металлическими элементами и т.д. может быть проведен по методике, изложенной в ^[9]. Анализ расчетных схем показывает, что дополнительным фактором, возникающим при увеличении длины рабочей части манжетного уплотнения, является устойчивость рабочей части манжеты. Определив величину момента, изгибающего рабочую часть манжеты, можно реализовать автоматическое построение профиля манжеты при заданном давлении и уплотняемом зазоре.

Рисунок 2 – Эллиптическое кольцо под действием равномерно

распределенного внутреннего давления

Рисунок 3 – Эллиптическое кольцо под действием равномерно

распределенного наружного давления

В случае «внутреннего» давления манжетное уплотнение используется при малых рабочих давлениях или вовсе без давления, то есть не является ответственным узлом. Второй вариант нагружения требует более подробной проработки, поскольку подразумевает работу уплотнения при давлениях 5 атмосфер и более. Действие давления на удлиненную рабочую часть может вызвать потерю её устойчивости, и, следовательно, выход манжеты из строя.

Расчет изгибающих моментов в эллиптическом кольце

Рабочая часть рассматриваемого манжетного уплотнения представляет собой эллиптическое кольцо. Определим моменты, возникающие в эллиптическом кольце под действием наружного давления.

Предположим, что:

1) нейтральная ось совпадает с контуром, к которому приложено давление;

2) деформациями кольца, вызываемыми изменением длины его оси, можно пренебречь;

3) при вычислении изгибающего момента в различных сечениях кольца можно исходить из его первоначальной формы.

Рассмотрим квадрант с полуосями а и b (рисунок 3).

Пусть М₁ и М₂ - статически неопределимые моменты. Тогда для сечения В изгибающий момент с координатами (а – х) и у будет:

(1)

Кольцо находится в статическом положении, тогда входящая в выражение реакция:

(2)

что приводит выражение (1) к виду:

(3)

Преобразовывая уравнение эллипса к форме записи:

(4)

и подставляя (4) в (3), получим:

(5)

Из условия симметрии кольца следует, что поперечное сечение кольца при изгибе не поворачивается. Следовательно, перемещение, соответствующее моменту М₁, равно нулю (в силу теоремы Кастильяно ^[10]):

(6)

где U - потенциальная энергия деформации при изгибе, определяемая уравнением:

(7)

Из (6) с учетом (7) получим:

(8)

Следовательно:

(9)

В выражении (9) интегралы – эллиптические, и не могут быть вычислены в квадратурах.

Для вычисления интегралов, приведенных в формуле (9), воспользуемся параметрической формой уравнения эллипса:

(10)

Дифференцируя выражения (10), получим:

(11)

тогда:

(12)

Воспользуемся величиной квадрата эксцентриситета эллипса:

(13)

и преобразуем (12) к следующему виду:

(14)

Обозначим интеграл в числителе формулы (9) как J_x, а в знаменателе как L, запишем:

(15)

(16)

Вычислим длину эллипса для квадранта. В формулах (15) и (16), разложив подынтегральную функцию в ряд по степеням «е», и ограничившись малыми порядка «е²», находим:

(17)

(18)

Выражение (9) для изгибающего момента М₁ окончательно примет вид:

(19)

Изгибающий момент М₂ на конце малой полуоси b получим из формулы (5) задав у равным b. В этой точке М₂ равно Мс и формула (5) принимает вид:

(20)

(21)

Обсуждение результатов и заключение

Получены выражения для изгибающих моментов, возникающих в рабочей части манжетного уплотнения при действии на него наружного давления. Указанные выражения позволяют построить аналитическую модель уплотнения рассмотренной конструкции и определить границы его работоспособности (устойчивости) в широком диапазоне размеров и давлений, тем самым расширив стандартизированные типоряды.

Как было сказано выше, при известной величине изгибающих моментов все геометрические размеры профиля могут быть найдены по методике, изложенной в ^[9]. Автоматизация построения профиля по вычисляемым размерам может быть выполнена, к примеру, средствами САПР КОМПАС как показано на рисунке 4, что исключит возможность счетных ошибок и значительно ускорит эскизное проектирование изделий.

Рисунок 4 – Параметризованный эскиз уплотнения