Administrative corruption in the static model of balancing common and private interests

Gorbaneva Ol'ga Ivanovna Doctor of Technical Science Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Programming, Southern Federal University 344090, Russia, Rostovskaya oblast', g. Rostov-Na-Donu, ul. Mil'chakova, 8a, kab. 212 gorbaneva@mail.ru Other publications by this author

1. Введение.

Тема коррупции в иерархических системах управления, да и не только в них, достаточно щекотлива. С одной стороны, коррупция, несомненно, приносит урон обществу. С другой стороны, она позволяет перераспределить средства между участниками общественных отношений, которые изначально перераспределены не всегда справедливо (пропорционально труду и ответственности, возлагаемой на агента). В связи с этим, имеется немало неоднозначных работ по теме коррупции, в частности, административной.

Рыбасов, Угольницкий в ^[2] впервые ввели классификацию административной и экономической коррупции, выделив среди каждой из них жесткую коррупцию (вымогательство) и мягкую (попустительство). В частности, под административной коррупцией понимается ослабление требований выполнения заданных государством ограничений.

Денин в ^[3] исследовал коррупционную модель в иерархической системе управления, учитывая различные степени благосклонности Центра. В частности, найдены различные оптимальные стратегии Центра в зависимости от различной реакции агентов.

В авторских же работах административная коррупция рассмотрена в двухуровневых и трехуровневых моделях распределения ресурсов ^[4]-^[5]. Рассмотрен случай попустительства, доказано, что попустительство при контроле над использованием ресурсов агентами совпадает с вымогательством, и что Центр может добиться того, чтобы у агента не осталось ресурсов, которые можно потратить на общие цели.

Данная статья посвящена исследованию административной коррупции в задаче распределения ресурсов в иерархической системе СОЧИ-моделей, описанной ранее ^[1]. В иерархическую систему двух участников между (верхним уровнем) принципалом и (нижним уровнем) агентом вводится элемент средний уровень супервайзер, а также административные коррупционные механизмы супервайзера. Для исследования применены дескриптивный или оптимизационный подходы.

Дальнейшая структура работы следующая. Во втором параграфе построенная ранее в ^[1] иерархическая надстройка над СОЧИ-моделью дополняется целевыми функциями и ограничениями супервайзера, вводится новая стратегия агента - взятка, описывается новая структура системы, вводятся понятие административной коррупции. В третьем параграфе применяется дескриптивный подход к исследованию административной коррупции в СОЧИ-модели, в четвертом – оптимизационный подход, а в пятом параграфе описывается влияние административной коррупции на системную согласованность модели. В шестом параграфе приведены выводы и общие результаты исследования, в частности рекомендации по борьбе с административной коррупцией.

2. Построение математической модели

Описанные ранее в ^[1] модели сочетания общественных и частных интересов (далее, СОЧИ-модели) имеют вид

, (1)

(2)

Здесь r_i – количество ресурсов, имеющихся у i-го агента; u_i - часть ресурса из всех имеющихся, которая выделяется им на реализацию общего интереса; c(u) - функция общего дохода; s_i - доля участия i-го агента в общем доходе; p_i(r_i − u_i) - функция частного интереса i-го агента, M = {1,...,n} – общество агентов (их множество). На функции p_i и c налагаются следующие условия: они непрерывно дифференцируемые и вогнутые по всем аргументам. Модель (1) – (2) описывает двухуровневую древовидную систему управления, в Принципал максимизирует утилитарную функцию общественного благосостояния (2), представляющую собой сумму целевых функций всех членов общества M. При этом Принципал учитывает интересы агентов (1), т.е. синтезируется административный механизм управления.

Рассматриваемая модель соответствует системе «принципал – супервайзер – агенты», изображенной на рисунке 1.

Рисунок 1. Трехуровневая веерная иерархическая система управления

При административном механизме управления принципал назначает величину q_i, 0 ≤ q_i ≤ r_i , меньше которой агент не может выделить ресурсы на реализацию совместных с другими агентами интересов, т.е. q_i ≤ u_i ≤ r_i.

Предполагается, что Принципал некоррумпирован. Но от имени Принципал супервайзер выполняет функции управления и внедрения применяемого административного механизма, а он может быть подвержен коррупционному поведению, в частности, он может ослаблять административные требования, назначаемые Принципалом, в обмен на взятку от агентов. Тем самым возникает административная коррупция, т.е. обратная связь административного управления по величине взятки.

К исследованию административной коррупции в данной статье применены два подхода: дескриптивный и оптимизационный. В первом случае функция взяточничества считается заданной, и решение задачи сводится к определению оптимальной стратегии агента (т.е. возникает простая задача оптимизации, а по факту – игра в нормальной форме, в которой ищется равновесие по Нэшу). Во втором случае находится оптимальная с точки зрения супервайзера функция взяточничеств.

Для анализа административной коррупции рассмотрим СОЧИ-модель в виде

(3)

(4)

Как видно, административная коррупция возникает в связи с собственными интересами агентов нижнего уровня. Частный доход p_i(r_i −u_i) возрастает по количеству ресурсов, выделенных агентом на свои частные интересы, однако Принципал устанавливает минимальную величину q_i затрат агентов на общие цели. Поэтому супервайзер в обмен на определенную долю частного дохода агента b_ip_i(r_i − u_i) берется ослабить это ограничение на величину .

Для определения функции взяточничества применим два подхода. При применении дескриптивного подходе будем считать функцию взяточничества известной, а при применении оптимизационного - ищется как оптимальная гарантирующая стратегия в игре Γ2 супервайзера с агентами.

3. Дескриптивный подход

Примем из общих соображений, что монотонно возрастает на отрезке ^[0,1], , . Т.е. при возрастании взятки увеличиваются послабления. При нулевой взятке послаблений нет, при взятке в 100% (теоретически, но не практически возможный случай, когда весь частный доход агентом отдается супервайзеру) послабления максимальны, в этом случае агент неограничен в выборе своего действия.

Рассмотрим модель (3) – (4). Величину qi назначает принципал. Можно считать эту величину параметром модели либо управлением Принципала. От супервайзера зависит только вид функции .

Теорема 1. В оптимизационной задаче (4) при возрастающих вогнутых функциях p_i(x), c(x) и возрастающих функциях существует единственное оптимальное решение

где множество

.

Доказательство. Условия первого порядка для функции агента дают:

Исходя из второго условия, получим, что взятка должна быть минимальной из тех, что позволят выбрать оптимальную стратегию , удовлетворяющую условию , т.е. на нижней границе.

Оптимальная доля инвестиций агента на общие цели считается как , или, с учетом ограничений

(5)

Выписав условия второго порядка, убеждаемся, оптимальное значение единственно.

Утверждение доказано.

Далее нам понадобятся такие понятия, как «агент-коллективист» и «агент-индивидуалист». Коллективистом назовем агента, выделяющего все имеющиеся у него ресурсы на общие цели. Индивидуалистом же назовем тех агентов, которые выделяют все доступные ему ресурсы на свои частные цели.

Следствие 4.1. Для того чтобы административный механизм коррупции с заданной функцией взяточничества был невыгоден агентам, необходимо выполнение условия .

Заметим, что вероятность выполнения данного условия тем выше, чем меньше пороговые значения q_i.

То есть, если агент является коллективистом с точки зрения агента или индивидуалистом с точки зрения принципала, то на поведение этих агентов невозможно повлиять при помощи введения данного механизма. Такого рода агенты не нуждаются в послаблениях супервайзера, так нижняя граница, установленная Принципалом для них достаточно низка и не мешает им выбрать свое желательное действие.

4. Оптимизационный подход.

Применим оптимизационный подход для исследования административной коррупции. Рассмотрим следующую метаигру:

(6)

0 ≤ q_i ≤ r_i;

(7)

,

(8)

Сначала при исследовании системы с административным воздействием находится qi как механизм, при котором СОЧИ-модель (6), (8) является согласованной (или слабо согласованной). Затем применяем теорему Гермейера для нахождения оптимальной стратегии супервайзера (7).

Итак, имеется (n+2) участника модели: принципал с целевой функцией gP (u) (6), супервайзер с целевой функцией g_S(ε,b,u) (7) и n агентов с целевыми функциями g_i(ε_i,b_i,u_i) (8). Управлениями агента по-прежнему являются величины u_i ∈ [q_i,r_i] и b_i ∈ ^[0,1]. Причем величина ui является ответом на управление принципала q_i, которое удовлетворяет ограничениям 0 < q_i < r_i. Затем в игру принципала и агента вмешивается супервайзер, который предлагает агенту уменьшения нижней границе ресурсов, выделяемых на общие цели, на величину i от величины q_i в обмен на долю b_i от частного дохода агента, . Это «взаимодействие» агента с супервайзером может побудить агента уменьшить свое значение u_i, для которого расширяется область допустимых значений, т.е. .

Итак, имеется иерархическая игра (n+2)-х лиц, определяемая следующими параметрами:

1. Задано множество участников – игроков N = {P,S,1,2,...,n}. Подмножества {P}, {S} и M = {1,2,...,n} определяют верхний (Принципал), средний (Супервайзер) и нижний (агенты) уровни иерархии. Принципал обладает правом первого хода, т.е. первым выбирает и сообщает агентам (игрокам с номерами i) свою стратегию. Супервайзер обладает правом второго хода, выбирая ии сообщая агентам свою стратегию.

2. Вектор q = (q₁,q₂,...,q_n) определяет управляющие параметры Принципала, которые выбираются из компактного множества K = {(q₁,...,q_n) : 0 ≤ q_i ≥ r_i}.

Пара <u_i,b_i> определяет управляющие параметры i-го игрока, i ∈ M, которые могут выбираться из соответствующих множеств, u_i ∈ U_i = [q_i;r_i], b_i ∈ ^[0,1], i ∈ M. Пусть , следовательно, <u_i,b_i>∈ U × ^[0,1]n.

Вектор функций определяет управляющие параметры Супервайзера, где – функции взяточничества, которые выбираются из пространства E_i возрастающих функций, удовлетворяющих свойству , т.е. .

3. На множестве U ×E×K определены функции выигрыша агентов g_i (8), Супервайзера g_S (7) и Принципала g_P (6).

4. Для каждого игрока с номером i определены правила поведения, позволяющие игрокам P и S оценить множество рациональных ответов игроков с номерами i:

- стремление к максимизации функции выигрыша по своим выборам;

- стремление к достижению равновесной по Нэшу ситуации.

5. Имеющаяся игра является игрой с полной информацией за исключением того, что Принципал может не знать о целевой функции супервайзера.

Принципал может использовать или не использовать обратную связь с агентом по управлению. Кроме того, вводятся следующие правила:

Правило 1. Супервайзер рассчитывает на информацию и будет ее иметь о выборе b_i ∈ B_i, i ∈ M.

Правило 2. Второй ход делает Супервайзер, выбирая и сообщая игрокам i ∈ M свою стратегию .

Правило 3. Каждый агент, получив информацию o i, старается максимизировать свою целевую функцию соответствующим выбором <u_i,b_i>∈ U_i × ^[0,1].

Правило 4. В сформулированных условиях Супервайзер максимизирует свой гарантированный результат.

Т.е. игры (6), (8) и (7)–(8) рассматриваются отдельно и последовательно. Цель исследования модели (7) -– (8) - оценить влияние супервайзера на равновесие в игре (6), (8).

Теорема 2. В игре Γ2 (7) – (8) при условии возрастающих вогнутых функций p_i(x), c(x) имеется единственный механизм управления, отвечающий интересам супервайзера

где

.

Доказательство. Применим теорему Гермейера к игре (7) – (8):

Стратегия наказания (при наказании нет послаблений к выполнению требований),

(оптимальная реакция агента на стратегию наказания — не платить взятку и поступить так, как побудил это сделать Принципал), где

- оптимальный выигрыш агента при стратегии наказания.

Пусть u^P =( u^P₁, …, u^P_n). Тогда

- выигрыш супервайзера при нулевой взятке агента, улучшить свое положение дальше он уже не может.

при ограничении на доход агента – максимальный доход супервайзера при условии, что выигрыш дохода агента больше, чем при стратегии наказания.

Чтобы найти K, нужно решить задачу максимизации функции с двумя переменными: b_i и u_i. Но из ограничения в виде последнего неравенства мы можем найти зависимость b от u:

Подставим эту величину в целевую функцию супервайзера :

.

Получим задачу максимизации 2n переменных и . Оптимальная доля ресурсов агента, которую тот должен потратить на общие цели, равна .

Заметим, что величина , поэтому ui∗∗∗ определяется единственным образом. В связи с этим оптимальное i подбирается так, чтобы, т.е.

Заметим, что K₁ ≥ K₂. Докажем это. Вычтем K₂ из K₁.

,

т.к. при u_i^∗∗ выражение достигает максимума, учитывая произвольность . Причем равенство достигается при u_i^∗∗= u_i i^P, т.е. в случае, когда агентам невыгодно платить взятку. Утверждение доказано.

Следствие 2. Для того, чтобы супервайзеру было невыгодно применять административный механизм коррупции, необходимо выполнение условий

, i=1,…,n.

Следствие 3. Для того, чтобы агенту был невыгоден административный механизм коррупции, необходимо, чтобы .

5. Влияние административной коррупции на системную согласованность в СОЧИ-модели.

Следствие 4. Механизм административной коррупции не повышает согласованность СОЧИ-модели (6), (8).

Доказательство очевидно с учетом того, что если u_i^∗∗NE< q_i (а только в этом случае может произойти изменение индекса системной согласованности), то коррупционный механизм лишь понижает количество ресурсов, пошедших на общие цели, значит, в этом случае происходит понижение индекса системной согласованности, определенного в ^[1].

6. Заключение

В модели сочетания общих и частных интересов исследован механизм административной коррупции с применением двух подходов: дескриптивного и оптимизационного. Получены следующие выводы.

1. На поведение коллективистов и тех агентов, которые по мнению Принципала должна быть индивидуалистами, невозможно повлиять при помощи введения административной коррупции. Супервайзер может воздействовать лишь на индивидуалистов, которые по мнению Принципала должны быть коллективистами.

2. При повышенной заинтересованности супервайзера в реализации общего интереса супервайзер может отказаться от введения механизма административной коррупции.

3. В случае введения механизма административной коррупции системная согласованность не повышается. Если соответствующая СОЧИ-модель была согласованной без механизма коррупции, то она может остаться согласованной и при его введении, правда не во всех случаях, а лишь при определенных условиях.