Analysis of the function of victory based on experience of strategic operations of the Great Patriotic War

Shumov Vladislav Doctor of Technical Science Leading Scientific Associate, International Research Institute For Advanced Systems 117312, Russia, g. Moscow, Prospekt 60-letiya Oktyabrya, 9 vshum59@yandex.ru Other publications by this author

Введение

Первая модель боевых действий опубликована М.П. Осиповым в 1915 г. в журнале «Военный вестник» ^[1]. Пусть имеются две стороны, участвующие в боевых действиях. Обозначим через x(t) (y(t)) численность войск первой (второй) стороны в момент времени t > 0, численности в нулевой момент времени – x₀ и y₀ соответственно. Исключив из рассмотрения операционные потери (пропорциональные числен­ности своих войск) и ввод (вывод) резервов, получим следующую систему дифференциальных уравнений (модель боя М. Осипова, в англоязычной литературе известная как модель Ф. Ланчестера ^[2]):

, (1)

где a_x и a_y – коэффициенты поражающей скорострельности боевых единиц первой и второй стороны.

Аналитическим решением системы (1) является так называемая квадратичная модель боя:

(2)

(для борьбы с вдвое многочисленным противником нужно в четыре раза более мощное оружие, при трехкратном численном превосходстве – в девять раз более мощное и т.д.).

Кратко отметим вклад М.П. Осипова в теорию моделирования боевых действий.

1. Разработаны принципы моделирования боевых действий:

· неразрывная связь военной статистики, военного искусства и математического моделирования («военная история может дать исходные числа, а объяснение их относится к области математики»);

· более предпочтительны аналитические модели, основанные на тактических принципах и физических законах, чем статистические, основанные на «подгонке» результатов под ограниченный набор статистических данных. Аналитические модели в сравнении с эмпирическими более понятны и допускают расширения для учета новых факторов (ввод в бой резервов, операционные потери, возможности боевого обеспечения, искусство полководца, моральный фактор и др.);

· свидетельством «правильности» моделей является соответствие результатов моделирования принципам военного искусства («правило – бить врага по частям служит несомненным подтверждением основного положения нашей теории, что потери сильнейшего числом должны быть меньше, чем у слабейшего»);

· практическое предназначение моделей боя («теория потерь не отвергает никаких воинских уставов или правил, а наоборот, требует исполнения их, напоминая, что всякое упущение в этом отношении изменяет среднее, законное соотношение потерь в другое, клонящее в пользу противника, т.е. влечет за собою излишние потери у нас, которых можно было бы избежать. Единственная практическая цель теории потерь – это более сознательное управление численностью войск для уменьшения своих потерь и для увеличения потерь противника»).

2. Заложены основы теории боевых потенциалов:

· обосновано требование разделения списочного состава частей и соединений на боевой («активный») и обеспечивающий;

· оценен боевой потенциал активных боевых единиц, имеющих на вооружении винтовки (ружья), пулеметы и орудия (орудийный расчет эквивалентен 50–150 бойцам с ружьями);

· для оценки вклада различного оружия рекомендовано учитывать его количество и потери пехоты в результате применения этого оружия;

· показано, что вклад различных боевых единиц в исход боя не линеен;

· при расчете боевых потенциалов необходимо учитывать степень инженерного и других видов обеспечения.

3. Определены основные факторы, подлежащие учету в моделях боя:

· искусство полководца (заключается «в умении выставить на поле битвы и ввести в бой наибольшее число активных бойцов, поддержать их моральное настроение, в удачном маневрировании и вообще в умении пользоваться всякою случайностью»). На примере Аустерлицкого сражения показано, что вклад полководца (Наполеона) в победу эквивалентен увеличению боевой численности его стороны на 25–30%;

· моральное настроение войск. Моральный упадок войск заключается в увеличении доли бойцов, уклоняющихся от ведения боя. По М. Осипову, «победа зависит не от продолжительности боя, а главным образом от понесенных сторонами потерь; поэтому вернее будет считать, что бой длится до тех пор, пока потери одной из сторон не достигнут некоторого определенного %. Таким % в среднем можно считать 20%...»);

· качество («достоинство») оружия, воспитание, организация и обучение войска;

· местность, укрепления и образ действий.

Поскольку конфликт (конкурс, аукцион, бой) является одним из основных способов получения дохода, то им ставятся в соответствие функции конкурса или конфликта (Contest Functions и Conflict Functions) ^[3]. Функции конфликта отличаются от производственных функций ^[4] двумя особенностями. Во-первых, значениями функций конфликта являются вероятности победы, тогда как значения производственных функций – ожидаемый объем производства (детерминированный результат). Во-вторых, функции конфликта антагонистичны: рост усилий первой стороны увеличивает ее шансы на успех, так же как и снижение усилий второй стороны.

В общем случае функции конфликта (конкурса) подразделяются на (основание классификации – метод обоснования модели) ^[5]: стохастические (теоретико-вероятностные) модели; модели, построенные на основе аксиом (предположений); конкурсные и аукционные модели, полученные на основе дизайна экономических механизмов (mechanism design), модели на основе агрегирования микроэкономических показателей (подмоделей).

В настоящей статье представлен обзор наиболее известных функций конфликта и выполнена верификация функций на примере стратегических операций в годы Великой Отечественной войны. Стиль изложения материала ориентирован как на специалистов по исследованию операций, так и на специалистов в области военной науки и искусства.

• Функции победы в конфликте

Положим, что в конфликте (конкурсе, аукционе) участвуют две стороны. Их усилия (ресурсы) обозначим через x > 0 и y > 0, соответственно. Любой комбинации усилий сторон поставлены в соответствие вероятности успеха (победы) – p_x (x, y) и p_y (x, y). Достаточно хорошо исследованным является следующий класс функций победы:

, (3)

где f_x(×) и f_y(×) – неотрицательные, строго возрастающие функции. Отметим наиболее часто встречающиеся функциональные формы модели (3). Модель Г. Таллока

, (4)

где m > 0 – параметр решительности сторон, относится к классу моделей на основе отношения потенциалов (результат зависит от отношения усилий сторон). Модель Д. Макфаддена и Д. Хиршляйфена

(5)

относится к классу моделей на основе разности потенциалов.

Теоретико-вероятностное обоснование функций конфликта основано на анализе влияния неучитываемых факторов (случайных ошибок) на результат. Функции конфликта аксиоматизированы, в частности, Р. Люсом ^[6] и С. Скапердасом ^[7]. В основу аксиоматики положено свойство независимости от посторонних альтернатив (Independence of Irrelevant Alternatives property): исход конфликта зависит только от усилий двух сторон (участников) и не зависит от усилий третьих лиц. Следующее важное требование к функциям конфликта – их однородность нулевой степени, т.е. для всех t > 0. Модели (4) и (5) обладают свойством симметрии или анонимности в том смысле, что если усилия сторон поменять местами, то и вероятности их победы также поменяются местами.

С. Скапердас и др. отмечают, что несмотря на наличие значительного числа публикаций по моделированию конфликтов, конкурсов и аукционов в различных сферах деятельности, лишь в небольшом количестве публикаций затрагиваются вопросы верификации функций конфликта на реальных данных ^[5].

Рассмотрим функцию боя, основанную на модели Г. Таллока и учитывающую положения военного искусства и психологические характеристики бойцов ^{[8, 9]}. Вероятности победы первой p_x(x, y) и второй p_y(x, y) стороны в бою равны:

, , (6)

где: m – параметр формы; q – соотношение сил сторон (превосходство первой стороны); b > 0 – параметр боевого превосходства первой стороны над второй. Параметр формы позволяет разделить модели по видам: оперативно-стратегические, тактические и модели боестолкновений небольших по численности групп.

В математической статистике для проверки гипотез о виде распределения наиболее часто используется критерии хи-квадрат Пирсона (для простых гипотез) и Фишера (для сложных, с оценкой параметров распределения). Пусть проводится n независимых испытаний, каждое из которых может иметь r различных исходов. Вероятности этих исходов равны p₁, p₂, …, p_r, если в последовательности испытаний они встретились m₁, m₂, …, m_r раз. По теореме Пирсона в случае справедливости основной гипотезы распределение статистики хи-квадрат

(7)

при увеличении объема выборки стремится к распределению хи-квадрат с r–1 степенями свободы. В противном случае эта статистика стремится к бесконечности.

• Верификация функции победы в конфликте

Сведем данные по стратегическим операциям ^{[10, 11]} в таблицу 1. Начальную численность советских войск в i-м сражении обозначим x_i, противника – y_i. Исход i-го сражения s_i равен 1, если победили советские войска, иначе s_i = 0.

Таблица 1

Начальные численности сторон и исходы операций

Значения отношений численностей сторон разбиты на 6 интервалов. Результаты вычислений статистики хи-квадрат для каждой модели представлены в таблице 2.

Таблица 2

Статистика хи-квадрат по результатам стратегических операций

В первом случае параметр боевого превосходства в i-й операции полагался равным единице. Во втором случае параметр вычислялся по формуле

,

где: b_ls – отношение начальных численностей войск сторон; b_r – отношение численностей орудий и минометов; b_t – отношение численностей танков, самоходных и штурмовых орудий; b_s – отношение численностей самолетов. Данное выражение учитывает опыт советских стратегических операций 1944–1945 гг.: в среднем по операциям пехота, танки, артиллерия и авиация вносили примерно одинаковый вклад в потери сторон ^[12].

Из таблицы видно, что применительно к стратегическим операциям функция хи-квадрат минимальна при параметре формы m = 2. Отдельно учитывать соотношение в боевой технике сторон нецелесообразно, так как, во-первых, боевые расчеты и экипажи уже входят в общую численность, а, во-вторых, поиск оптимального соотношения между родами войск в операции является отдельной самостоятельной задачей.

Заключение

Таким образом, в работе исследованы динамическая модель боя Осипова–Ланчестера и функции конфликта Таллока–Скапердаса. Верификация модели конфликта по результатам стратегических операций в годы Великой Отечественной войны позволила сделать вывод о глубокой связи между двумя указанными типами моделей (квадратичные модели боя).

Полученное расширение функции конфликта Г. Таллока (вероятность победы в бою, сражении, операции) целесообразно применять при подготовке боевых действий для обоснования потребных сил и средств на бой (сражение, операцию).

Перспективным направлением дальнейших исследований является разработка моделей ведения боевых действий на основе модели М.П. Осипова, марковских цепей и имитационных моделей.