Calculation methods of non-stationary temperature fields influence on foundation in cryolithozone

1. Введение

Температурный режим (совокупность последовательных температурных полей в грунтовом массиве, соответствующих любым заданным моментам времени от начала расчета) рассчитывается как результат задаваемых на весь период расчета прогноза тепловых воздействий на верхней, боковых и нижней границах оснований фундамента. Такие режимы протекают, например, при образовании и эволюции внутреннего строения Земли и полярных льдов в криолитозоне, а также в ряде других областей науки и практики ^[1-5]. Наиболее характерной особенностью этих процессов, из-за которых их математические модели нелинейны и трудны для ее анализа, являются неизвестные заранее («свободные») границы между различными фазами (в случае однородного вещества) или «многофазная зона» (в многокомпонентной среде), определяемые с помощью поверхностей уровня функций, описывающих термодиффузионное состояние грунтов ^[1-3]. Многие климатические явления, имеющие важное значение для геотехнических сооружений на вечной мерзлоте, представляют собой непрерывное повторение одного и того же неизменного сезонного цикла ^[1]. Этим обусловливаются периодические гармонические колебания всех величин, определяющих состояние геотехнического сооружения, в том числе и температуры. Однако и при других процессах также происходят периодические гармонические изменения состояния, вызванные постоянно повторяющимися воздействиями (например, сезонные) ^[1]. Ход изменения температуры за время одного периода может иметь при этом различный характер; например, температура может изменяться скачкообразно, непрерывно возрастать или убывать и т. д.

2. Периодически изменяющаяся температура оснований фундаментов. Постановка задачи

Метод, известный под названием гармонического анализа, позволяет представить любую произвольно заданную периодическую кривую с любой степенью точности как результат наложения большого числа различного рода косинусоид. Отметим ряд явлений, обладающих следующими общими свойствами:

1) допустим, что температура поверхности или температура окружающей среды испытывает чисто периодические гармонические колебания во времени (принимается, что колебания являются гармоническими).

2) предполагается, что температурное поле определяется только внешними воздействиями (тепловой поток из центра Земли не учитывается).

Предварительно исследуем вопрос о виде температурного поля, а затем о тепловом потоке через поверхность. Для времени и температуры приняты следующие обозначения:

t – время, отсчитываемое от произвольного начального момента; t₀ – продолжительность всего периода; ϑ – температура в какой-либо точке; ϑ_M – максимальная амплитуда колебания температуры в этой точке; ϑ₀ – температура на поверхности криолитозоны; ϑ_0M – максимальная амплитуда колебания температуры на поверхности.

Искомая температурная функция прежде всего должна удовлетворять дифференциальному уравнению ^[2]:

. (1)

Температурная функция связана с определенными условиями на поверхности, согласно которым

или . (2)

Оба условия (2) совершенно равносильны и различаются только сдвигом нулевой точки начала оси времени на π/2. Таким образом, для того чтобы сделать функции тождественными, достаточно допустить сдвиг фазы на π/2. Поэтому в дальнейшем будет рассматриваться только косинус-функция. Для отыскания частных интегралов представим решение в виде произведения двух таких функций, из которых одна зависит только от времени, а другая – только от координат: ϑ=φ(t)ψ(ξ,η,ζ). В случае процессов непрерывного выравнивания температуры надо положить φ(t)=e^-pt. Приняв предположение о периодическом характере изменения температуры на поверхности, должны ожидать, что и в более глубоких слоях температура также изменяется во времени периодически ^[4,5,6]. Поэтому экспоненциальная функция в этой форме не применима. Применим соотношение, используемое в теории функций комплексного переменного:
. Предположим p=q²a. Тогда будем иметь .

Это в свою очередь дает

. (3)

Отсюда получаем следующее уравнение для ψ: .

Дифференциальное уравнение (3) содержит отрицательный чисто мнимый параметр. Воспользуемся следующим соотношением: √-i=±(1−i)√1/2 ^{[6, 7]}. Применив это выражение, можем записать дифференциальное уравнение в виде:

. (4)

На месте действительной величины q (4) использована комплексная величина ±(1−i)√1/2q.

В качестве примера рассмотрим задачу определения температуры в нижней части фундамента, ограниченной с одной стороны, в котором температура зависит только от одной координаты. Температура поверхности вечномерзлого грунта под влиянием внешних воздействий претерпевает периодические колебания около нулевого значения ^[7-9]. Допустим, что изменение температуры происходит по закону гармонических колебаний. Определим вид температурного поля и величину потока тепла через поверхность грунта как функцию от времени. Выражение представляет собой частный интеграл уравнения теплопроводности, если ψ(x) – решение уравнения

. (5)

Таким решением является уравнение

. (6)

Соответственно получаем выражение

. (7)

С помощью формулы e^-iϕ=cosϕ−isinϕ преобразуем это выражение к виду

. (8)

В результате находим ϑ=ϑ₁+iϑ₂. Положительный знак экспоненты означает, что по мере удаления от поверхности температурные колебания должны все время убывать. Поэтому по физическим соображениям можно во всех случаях отбросить верхний знак. Тогда остаются два решения:

и . (9)

Для определения произвольных постоянных С и q воспользуемся условиями на поверхности грунта, полагая в обоих уравнениях (9) x=0. Получим: ϑ₀=C₁cos(q²at) или ϑ₀=C₂sin(q²at). Сопоставляя эти выражения с условиями на поверхности ^[2], находим C₁=ϑ_0M и C₂=0; q²=π/t₀. Тогда уравнение (8) температурного поля принимает вид

. (10)

При обсуждении полученного результата можно принять две различные точки зрения:

1) можно фиксировать определенный момент времени года и исследовать вид температурного поля в этот момент ^[9,10]. Иначе говоря, можно получить мгновенную картину распределения температуры;

2) можно рассматривать бесконечно тонкий слой грунта на глубине х и исследовать те изменения во времени, которые претерпевает температура в этом слое.

Примем вначале первый метод рассмотрения и начнем при этом с простейшей функции

. (11)

Эта зависимость представляет собой уравнение волны и изображается косинусоидой. Наибольшее отклонение (максимальная амплитуда) равно ϑ_0M. Полная длина волны определяется из уравнения x√(π/at₀)=2π, откуда для длины волны получаем x=Λ=2√(πat₀).

Гребни волны находятся в точках x₁=0; x₂=2√(πat₀); x₃=4√(πat₀) и т.д.

Функция

(12)

представляет собой такую же волну, только при этом вся кривая смещена соответственно величине 2πt/t0 в направлении положительных х. Таким образом, при непрерывно возрастающем t вся кривая волны перемещается в этом направлении и образует семейство волн. Из теории волн ^[7], скорость распространения равна длине волны, деленной на период колебания. Поэтому скорость перемещения какой-нибудь точки волны, например точки максимума, равна ω=2√(πa/t₀). Этот множитель не изменяет ни разности фаз, ни скорости распространения, ни длины волны, но обусловливает очень быстрое уменьшение наибольшего отклонения с возрастанием х. На рис. 1 показаны температурные кривые для двух смежных моментов времени.

Рис. 1. Распределение температуры при периодическом изменении температуры поверхности грунта.

х – длина волны; ϑ_M – максимальная амплитуда колебания температуры в этой точке; ϑ₀ – температура на поверхности криолитозоны; ϑ_0M – максимальная амплитуда колебания температуры на поверхности.

Рис. 1 дает ясное представление о виде температурных волн в грунте для нескольких фаз колебания, различающихся по времени на величину t₀/8. Применим теперь второй метод рассмотрения, когда наблюдается временной ход температуры на глубине х. В таком случае следует принять х за постоянный параметр, a t – за переменную. При этом оказывается, что ϑ_x изменяется в зависимости от t также по закону косинуса. Период колебания равен t₀ и, таким образом, не зависит от глубины х (см. рис. 2). В противоположность этому фаза зависит от х: при возрастающих х происходит отставание по фазе (сдвиг фазы), которое определяется выражением

.

На глубине x=√(πat₀) этот сдвиг в точности равен t₀/2. Максимальная амплитуда также изменяется в зависимости от х, так как: ϑ_xM=ϑ_0Mexp(−x√(π/at₀)). Можно, например, определить на какой глубине грунта температурные колебания уменьшатся до v-й доли своего значения на поверхности. Для решения этой задачи следует решить уравнение:

v^-1=exp(−x√(π/at₀)), x=lnν√(at₀/π).

Рис. 2. Температурные волны в слое грунта: по оси абсцисс отложена температура ϑ, по оси ординат – глубина проникновения x=Λ=2√(πat₀):

1 – огибающая ϑ=ϑ_0Mexp(−x√(πa/t₀)); 2 – t=4t₀/8; 3 – t=3t₀/8; 4 – t=2t₀/8; 5 – t=t₀/8; 6 – t=0;

7 – Λ/8; 8 – 2Λ/8; 9 – 3Λ/8; 10 – 4Λ/8; 11 – 5Λ/8; 12 – 6Λ/8;13 – 7Λ/8; 14 – 8Λ/8.

Вводя вместо отрезка √(at₀) длину волны Λ=2√(πat₀), получим

. (13)

Длина волны (а вместе с ней и глубина проникновения температурных волн) будет тем больше, чем больше теплопроводность и чем медленнее происходят колебания. Колебания более высокой частоты с возрастанием глубины отсеиваются. Ход температуры в поверхностном слое грунта можно трактовать с известными упрощениями как чистую проблему теплопроводности ^[10]. Для примера рассмотрим годичный ход температуры поверхности грунта как гармоническое колебание с периодом t₀=1 год=8760 ч и примем для грунта коэффициент температуропроводности а=0,0015 м²/ч.

На глубине x=√(πat₀)=√(1,5·10^-3π·8,78·10³)=6,4 м получается сдвиг фазы на полгода. Это значит, что здесь наивысшая температура устанавливается в июле, а наиболее низкая – в январе. Амплитуды температурных колебаний на этой глубине составляют только ϑ_xM/ϑ_0M=e^-π≈1/23 от значения их на поверхности. Для суточных колебаний температуры поверхности (t₀=24 ч) явления, описанные выше, возникают уже на глубине в √365≈19 раз меньшей ^[10]. Таким образом, эти колебания проникают в землю на глубину всего лишь нескольких метров, тем более, что амплитуда их на поверхности составляет только некоторую часть от амплитуды годовых колебаний ^[11-14].

3. Поток тепла через поверхность грунта

Определим поток тепла с помощью температурного градиента у поверхности грунта ^[2,6,7]:

. (14)

Здесь λ – коэффициент теплопроводности грунта поверхности F. Уравнение (14) после дифференцирования по х примет вид:

, (15)

,

.

Если проинтегрировать выражение (15) по длительности периода, то получится значение, равное нулю. Поэтому вопрос следует поставить таким образом: как велико количество теплоты, которое пронизывает внешнюю поверхность грунта в течение полупериода, иначе говоря, то количество теплоты, которое грунт в состоянии аккумулировать и вновь отдать. Интегрирование по полупериоду t₀/2 дает:

. (16)

Таким образом, количество аккумулированной теплоты пропорционально коэффициенту проникновения b и корню квадратному из длительности t₀ одного периода.

Более характерной является такая постановка задачи, когда закон изменения задается не для температуры поверхности грунта, а для температуры окружающей среды ^[15-18]. Итак, пусть Θ=ΘМcos(2πt/t₀). Предположим, что известен коэффициент теплоотдачи от среды к грунту а, следовательно, и относительный коэффициент теплоотдачи h=a/λ. Можно определить, как в таком случае изменяется температура на поверхности и внутри грунта.

. (17)

Введем сокращенные обозначения:

, . (18)

Тогда уравнение принимает вид:

. (19)

В уравнении (19) η₀ и ε₀ ‑ величины, зависящие только от единственного аргумента (h²at₀). Физический смысл величин η₀ и ε₀ выясняется при определении температуры поверхности грунта ϑ₀, т.е. если положить x=0.

Тогда: ϑ₀=Θ_Мη₀cos(2πt/t₀−ε₀).

Согласно этому уравнению, температура поверхности грунта так же, как и температура окружающей среды, претерпевает гармонические колебания, причем оба колебания имеют одинаковый период. Однако эти колебания отличаются друг от друга в двух отношениях ^[15-18].

Во-первых, температура поверхности грунта отстает от температуры окружающей среды во времени на величину, которая определяется значением ε₀. Во-вторых, амплитуда колебаний температуры на поверхности в η₀ раз меньше амплитуды колебаний температуры окружающей среды. Для определения количества теплоты, аккумулированной в течение полупериода, возможен еще один способ расчета, основанный на рассмотрении теплообмена между окружающей средой и поверхностью грунта ^[1]. Количество теплоты, передаваемой через поверхность F за время dt, равно: dQ=αF(Θ−ϑ₀)dt. Здесь Θ=Θ_Мcos(2πt/t₀) – температура окружающей среды. Подставив эти выражения в уравнение (19) и проинтегрировав его в пределах от t_a до (t_a+t₀/2)−t_b, найдем

. (20)

Двумерную задачу о вечномерзлом грунте полубесконечной толщины можно обобщить еще в большей степени, если положить, что изменение температуры окружающей среды ^[1] происходит уже не по законам гармонического колебания, а по любому другому закону. Количество теплоты, проходящей через поверхность при ее подводе или отводе в течение полупериода, находится интегрированием площади, заключенной между температурными кривыми для окружающей среды и для поверхности грунта. Результат и в этом случае представится в следующем виде: . Уравнения применимы только в том случае, если в соответствии с условиями задачи можно считать, что мерзлый грунт имеет полубесконечную толщину (без учета теплового потока из центра Земли). Можно рассмотреть комбинированный случай задачи.

Пусть такими частными решениями являются функции u=f₁(x,y,z,t), ν=f₂(x,y,z,t). Очевидно, что сумма ϑ=u+ν также представляет собой решение дифференциального уравнения теплопроводности, поскольку оно является линейным дифференциальным уравнением ^[2]. Разложим искомую функцию ϑ на два частных решения u и ν. Следуя исходному решению, примем для u периодически изменяющееся распределение температуры. При решении этой задачи предположим, что колебания происходят в течение столь продолжительного времени, что начальное распределение больше не играет никакой роли. Можно получить решение для начального распределения

. (21)

Наложим на периодически изменяющуюся температурную функцию u затухающую температурную функцию v и потребуем, чтобы она для момента времени t=0 дополняла функцию a_t=0 до нуля при всех значениях х. Необходимо заметить, что при перемещении из какой-либо точки температурного поля в произвольном направлении будет характеризоваться некоторым изменением температуры. Если бесконечно малым приращениям пространственных координат соответствуют бесконечно малые изменения температуры, то такое температурное поле будет непрерывным, что даст устойчивое решение. В этом случае производная от температуры по любому направлению имеет конечную величину. Следовательно, кривая ν_t=0 должна быть зеркальным отображением кривой u_t=0 по отношению к нулевой линии температур. В начале процесса, т.е. до тех пор, пока в основном еще сохраняется исходное распределение v, оно почти полностью подавляет равномерные колебания температурного распределения u. Однако с течением времени, по мере затухания распределения v, оно оказывает все меньшее влияние на u. Соответствующим образом все в большей степени начинает проявляться в чистом виде воздействие u в качестве периодически изменяющегося температурного распределения, тогда температурное поле может определено в виде:

. (22)

На рис. 3 приведен пример расчета с пятью точками наблюдения на различных глубинах (кривые 1-5) на вертикальной прямой.

Рис. 3. Распределение температурного поля u на глубинах: 1 – 1 м; 2 – 3 м; 3 – 5 м; 4 – 7 м; 5 – 15,5 м

Для расчетов физические параметры грунта были заимствованы из работы ^[10], а сравнение полученных данных проводилось с результатами работы ^[6,9]. Результаты по качественным параметрам согласуются с имеющимися данными.

4. Нестационарное температурное поле фундамента без источников тепла

Например, фундамент толщиной 2X отдает тепло в окружающую среду с двух боковых поверхностей. Коэффициент теплоотдачи на обеих сторонах имеет одинаковое значение и равняется α. Температура окружающей среды ϑ с обеих сторон равна нулю. В момент времени t=0 фундамент повсюду имеет одинаковую температуру ϑ=ϑ_c. Пусть, далее, физические константы λ, c и ρ, а следовательно, и α постоянны. И пусть, наконец, относительный коэффициент теплоотдачи h=α/λ также остается неизменным. Требуется определить вид температурного поля и величину тепловых потерь как функции времен.

Рассматриваемая задача отличается от вводной задачи только тем, что начальная температура ϑ_c не изменяется вдоль оси x, а сохраняет постоянное значение. В таком случае приходим к следующей математической постановке задачи:

дифференциальное уравнение: ;

пространственные краевые условия: x=+X, ; x=−X, .

временное краевое условие для t=0: ϑ=ϑ_c.

Дифференциальное уравнение имеет следующие частные интегралы:

и .

Начальное распределение температуры симметрично относительно осевой линии. Такая симметрия должна сохраняться в течение всего процесса выравнивания температуры, поскольку температура окружающей среды и коэффициент теплоотдачи на обеих сторонах фундамента одинаковы. Поэтому температурная функция может быть только четной и, следовательно, можно уже сейчас исключить первый частный интеграл из рассмотрения. Для согласования оставшегося интеграла c условиями на поверхности надо соответствующим образом выбрать значения n в уравнении

(nX)sin(nX)=(hX)cos(nX).

Корни этого уравнения равны δ_k=(n_kX). Из бесчисленного множества частных решений, полученных этим путем, построим общее решение вида:

.

Значения D_k должны удовлетворять начальному условию

.

Тогда эти значения найдутся из уравнения (15):

.

Вводя обозначение δ_k для (n_kX), получим температурную функцию в форме уравнения

. (23)

Значения δ_k в этом уравнении есть корни уже неоднократно упоминавшегося трансцендентного уравнения, единственным параметром которого является hX. Следовательно, сами величины δ_k должны быть также функциями этого параметра. Поэтому уравнение (23) можно представить в виде

.

Несмотря на то, что по своему физическому содержанию поставленная задача зависит от очень многих отдельных параметров, эти параметры все же можно сгруппировать таким образом, чтобы в конечном счете получить функцию, зависящую только от трех аргументов.

Рассмотрим частный случай, когда величина h принимает неограниченно большие значения, иначе говоря, когда на обеих поверхностях поддерживается температура, равная нулю. Тогда решения совпадают со значениями аргументов нулевых точек косинус-функции, т.е. получает значения . Синус для этих значений аргумента всегда равен +1 или –1. Уравнение (23) принимает вид:

. (24)

В основу анализа решения положим конкретный случай, а именно, например, бетонную стенку фундамента толщиной 2X=80 см. Пусть разность между температурой стенки ϑ_c и температурой окружающей среды в момент времени t=0 будет равна 1°. Для другого численного значения надо будет только выбрать соответствующий масштаб оси температур. Коэффициент теплоотдачи α примем равным 10,8 ккал/м·ч·град. Физические величины для бетона примем равными: λ = 0,6 ккал/м·ч·град; ρ = 2000 кг/м³; c= 0,27 ккал/кг·град. Тогда:

a=λ/cρ=0,0011 м²/ч и h=α/λ=10,8/0,6=18,0 м^-1 и hX=18,0·0,40=7,2.

Корни λ_k=(n_kX) трансцендентного уравнения определяются как промежуточные значения для (hX)=7,2.

Характеристические решения f_k(x) ‑ cos(n_kX)=cos(δ_kx/X). Для того чтобы выделить эти решения, установим местоположение первой, второй и т. д. нулевых точек, а также местоположение максимумов и минимумов. Если значению x₀ отвечает первая нулевая точка, то последующие нулевые точки находятся при 3x₀, 5x₀, 7x₀ и т.д. Минимумы находятся в точках 2x₀, 6x₀, 10x₀, а максимумы − в точках 0, 4x₀, 8x₀. Первая нулевая точка находится из условия

; .

Определяем коэффициенты D_k из уравнения

,

Получаем:

D₁=+1,250; D₂=-0,373; D₃=+0,188; D₄=-0,109; D₅=+0,072.

Вычислим величину . Рассмотрим два случая: для t=0 и для t=5 ч.

Случай 1. При t=0 показатель обращается в нуль, а экспоненциальная функция — в единицу. Значения D_k дают амплитуды функции cos(δ_kx/X)=f_k(x) и, следовательно, являются характеристическими решениями.

Случай 2. Значению t=5 ч соответствует .

Начальное распределение температуры для t=0 получается из следующего расчета:

В последнем выражении под I, II,… следует понимать отдельные частные решения. На рис. 4 эти решения представлены как в отдельности, так и в виде алгебраической суммы. Можно видеть, что первое частное решение очень сильно отличается от начального распределения температуры ϑ_c=const=1°. Необходимо отметить, что начальное распределение воспроизводится тем точнее, чем больше частных решений налагается друг на друга. Но в то же время пяти частных решений еще недостаточно для правильного графического представления распределения. Для последующих температурных распределений условия существенно улучшаются.

Распределение температуры при t=5 ч получается из следующего расчета:

Как видно из расчета, достаточно трех-четырех членов ряда для точного определения температуры. На рис. 5, как и ранее, показаны как отдельные частные решения, так и их сумма. Отметим, что по истечении 5 ч заметно охладились только самые внешние слои, в то время как внутренние слои почти полностью еще сохраняют свою начальную температуру.

При решении криологических задач обычно нет необходимости знать, как строится температурная кривая в целом из своих частных решений. В большинстве случаев достаточно располагать значением температуры ϑ_m на средней плоскости пластины и температуры ϑ₀ на обеих ее поверхностях.

Рис. 4. Начальное распределение температуры ϑ_c=1° с помощью ряда Фурье

Рис. 5. Распределения температуры, наступающие через 5 ч, с помощью ряда Фурье

Для определения температуры на средней плоскости в уравнении (24) принимаем x=0:

, (24а)

Для определения температур на поверхностях полагаем x=X. Тогда

, (24б)

В противоположность функции Φ в уравнении (24) функции Φ_m и Φ₀ зависят только от двух независимых переменных. Они могут быть представлены в виде диаграммы. Обе переменные функции Φ_m и Φ₀ содержат полутолщину пластины X и здесь выгодно воспользоваться выражением для температуры на средней плоскости ϑ_m

, (24в)

и для температуры на внешних плоскостях ϑ₀

. (24г)

Новая переменная получена как произведение (hX)²at/X²=h²at. Уравнения (24в) и (24г) представлены на рис. 6 и 7. Для конкретной задачи (при a и h зафиксированных) абсцисса пропорциональна времени t, а параметр − полутолщине пластины X.

В соответствии с постановкой задачи как для охлаждения пластины в более холодной среде, так и для нагревания в среде более теплой, начальная температура ϑ_c в обоих случаях представляет собой разность между однородной температурой фундамента (при t=0) и температурой окружающей среды. Для температуры внутри фундамента ϑ нулевой точкой служит температура окружающей среды (т. е. то значение температуры, которое фундамент получает при t→∞). Рис. 8, а и б иллюстрирует оба эти процесса.

Зная величины ϑ_m и ϑ₀, можно с достаточной точностью построить кривую распределения температуры в фундаменте, так как, кроме того, известны направления трех касательных. Действительно, из соображений симметрии в точке пересечения со средней плоскостью касательная должна быть расположена горизонтально. Обе крайние касательные при X и −X должны проходить через соответствующие направляющие точки, которые удалены от стенки на расстояние s=1/h=λ/α.

Рис. 6. Температура ϑ_m на средней плоскости фундамента при теплообмене конечной интенсивности.

Следует еще раз подчеркнуть, что при пересечении средней плоскости касательная всегда должна располагаться горизонтально. Этот факт свидетельствует о том, что предыдущие выводы одновременно дают решение еще одной задачи об охлаждении фундамента. Пусть фундамент может свободно охлаждаться только с одной поверхности, так как с другой стороны она очень хорошо изолирована (a=0). В таком случае направляющая точка, отвечающая этой стороне, удаляется в бесконечность. Это значит, что температурная кривая в течение всего процесса охлаждения имеет горизонтальную касательную. Таким образом, все уравнения и кривые распределения температуры сохраняют силу и для этого случая, если только под X понимать полную толщину фундамента, а не полутолщину, как в основной задаче.

Рис. 7. Температура поверхности ленточного фундамента.

Рис. 8. Схематическое изображение выравнивания температуры в плоском фундаменте при однородном начальном температурном поле и при коэффициенте теплоотдачи конечной величины, а ‑ охлаждение, б ‑ нагревание.

5. Три способа расчета потери тепла Q.

Первый способ расчета. К элементу поверхности dydz из внутренних слоев фундамента за время dt притекает следующее количество теплоты:

.

Чтобы подсчитать все количество теплоты Q, отдаваемой фундаментом, это выражение необходимо проинтегрировать по обеим поверхностям и интервалу времени от 0 до t.

Второй способ расчета. Элемент поверхности dydz за время dt отдает в окружающую среду количество теплоты, равное αϑx=±Xdxdydz.

Это выражение также следует проинтегрировать по обеим поверхностям и по всему промежутку времени.

Третий способ расчета. Элементарный объем фундамента dxdydz за промежуток времени от 0 до t охлаждается от температуры ϑ_c до ϑ_t. При этом он теряет количество теплоты cρ(ϑ_c−ϑ_t)dxdydz. Это выражение следует определить для момента времени t, а затем проинтегрировать по всему пространству.

Выберем третий способ расчета. Из уравнения температурного поля (22а) непосредственно получим

.

Отсюда для потери тепла Q участком пластины размером YZ получим следующее уравнение:

.

Ряд можно интегрировать почленно, т.е. можно изменить последовательность операций интегрирования и суммирования. Поменяв местами знаки интеграла и суммы, получим

.

После интегрирования и подстановки значения D_k получим окончательный результат в виде:

. (25а)

В этом выражении первый множитель, а именно cρXYZϑ_c, представляет собой первоначальное теплосодержание фундамента, определяемое по отношению к температуре окружающей среды. Обозначим его Q_c. Остальная часть выражения (бесконечная сумма) является чисто числовым множителем, который всегда меньше единицы. Этот множитель определяет ту часть первоначального теплосодержания фундамента, которая теряется за время t. Он представляет собой функцию величины δ_k или (hX), с одной стороны, и at/X² – с другой. Эти переменные, в свою очередь, могут быть преобразованы аналогично тому, как это было сделано выше. Следовательно, уравнение (25а) можно привести к виду (рис. 9)

. (25б)

Рис. 9. Потеря тепла Q за время t, отнесенная к начальному теплосодержанию Qc.

Рассмотрим выравнивание пространственного температурного поля.

Рассмотрим прямоугольный фундамент со сторонами 2X и 2Y, вытянутый в направлении Z настолько, что влиянием концевых эффектов можно пренебречь. Пусть фундамент имеет повсюду одинаковую начальную температуру ϑ_c. Пусть далее, начиная с момента t=0, на его поверхности будет поддерживаться температура, принимаемая за нуль. Тогда для процесса выравнивания температуры справедливо дифференциальное уравнение

, (26)

с граничными условиями ϑ=0 для x=±X и для y=±Y и начальными условиями ϑ=ϑ_c для t=0. Решения для случая одномерного поля, т. е. для бесконечного фундамента толщиной 2X или соответственно 2Y, будут

ϑ_X/ϑ_c=Φ(x/X,at/X²) или ϑ_Y/ϑ_c=Φ(y/Y,at/Y²).

Убедимся, что

является решением дифференциального уравнения (26). Для этого возьмем частные производные от предыдущего выражения:

; ; .

Подставляя в дифференциальное уравнение (26), получим

. (26а)

По предположению, ϑ_X и ϑ_Y удовлетворяют соответствующим одномерным уравнениям Фурье. Поэтому уравнение (26а) представляет собой тождество и, следовательно, рассматриваемое произведение является правильным решением. Граничные условия также выполняются, так как на поверхности один из двух сомножителей всегда равен нулю. Соответствующим образом обосновывается возможность рассмотрения трехмерного случая (прямоугольный параллелепипед, цилиндр конечной длины). Если одна из граничных плоскостей изолирована, то расстояние от нее следует рассматривать как половину толщины пластины (X и т. д.) и соответственно в критерии надо подставлять полное значение этого расстояния. Этот метод применим не для любых граничных условий. Однако он сохраняет силу в условиях теплообмена конечной интенсивности и в случае односторонне неограниченного тела (например, конец длинного фундамента прямоугольного или цилиндрического сечения, торец стенки и т. п.).

Основываясь на этом методе, можно рассчитать температурное поле в прямоугольном параллелепипеде при теплообмене конечной интенсивности и дать точные таблицы для температур в средней плоскости цилиндра и стенки конечной толщины при α=∞. На рис 10 и 11 нанесены такого рода кривые.

Рис. 10. Проникновение температурных волн в фундамент средней толщины.

Рис. 11. Проникновение температурных волн в толстый фундамент.

6. Заключение

Сформулирована математическая постановка задачи в виде дифференциального уравнения теплового баланса с учетом теплового потока, изменяющегося по закону Фурье. Решена задача расчета и прогноза распределения температурного поля в фундаменте. Разработана математическая модель сезоннопромерзающего грунта и влияние ее на снижение прочностных характеристик грунтов основания в области фундамента. Для отыскания частных интегралов, решение представлено в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от времени, а другая – только от координат. Следует отметить, что в соответствии со свойствами экспоненциальной функции положительный знак экспоненты означает, что по мере удаления от поверхности температурные колебания должны все время убывать. Причем длина волны (а вместе с ней и глубина проникновения температурных волн) будет тем больше, чем больше теплопроводность и чем медленнее происходят колебания. Колебания более высокой частоты с возрастанием глубины отсеиваются. Более характерной является такая постановка задачи, когда закон изменения задается не для температуры поверхности грунта, а для температуры окружающей среды.

Получено решение задачи, когда закон изменения температуры задается не для температуры поверхности фундамента, а для температуры окружающей среды. Согласно этому решению, температура поверхности фундамента так же, как и температура окружающей среды, претерпевает гармонические колебания, причем оба колебания имеют одинаковый период. Разработан аналитический метод и реализована схема решения задачи. Рассмотрены различные варианты постановки граничных условий. Показано затухание температурного колебания в фундаменте на различных глубинах. Отмечено, что длина волны, а вместе с ней и глубина проникновения температурных волн, будет тем больше, чем больше теплопроводность и чем медленнее происходят температурные колебания. Для подтверждения корректности постановки задачи исследованы различные варианты постановки граничных условий и представлены случаи затухания температурного колебания в фундаменте на различных глубинах. Решена задача расчета и прогноза распределения температурного поля в фундамент, имеющая важное научное и практическое применение. Таким образом, рассмотрены арктические климатические явления, имеющие важное значение для строительства геотехнических сооружений на вечной мерзлоте.