Paradoxes in scientific cognition and nonclassical logics

Iashin Boris Leonidovich Doctor of Philosophy Professor; Department of Philosophy, Institute of Social and Humanitarian education, Moscow Pedagogical State University 117571, Russia, g. Moscow, ul. Prospekt Vernadskogo, dom 88, к.1 jabor123@rambler.ru Other publications by this author

Парадоксы в научном познании и неклассические логики

Обнаруживаемые время от времени в той или иной области научного познания парадоксы имеют различные причины возникновения и отличаются по своей сути. Может быть, именно поэтому понятие «парадокс» в современной философии и науке до сих пор оказывается расплывчатым и «допускает многозначность, что приводит к его широкому применению в разных контекстах» ^[1].

Нет сегодня и общепринятой оценки парадоксов, обнаруживаемых в науке. Нередко их оценивают только негативно, как некое препятствие, мешающее её развитию и требующее обязательного его устранения. Однако, с моей точки зрения, с этим согласиться нельзя. Во многих случаях парадоксы оказываются основанием какой-либо научной проблемы, формулировка и решение которой в той или иной мере будет способствовать дальнейшему развитию научного знания. Поэтому, парадоксы, являясь «узловыми моментами ставшего и одновременно становящегося знания, часто выступают как индикаторы кризисного состояния», стимулируя тем самым «выдвижение новых исследовательских программ» ^[2].

Среди всех парадоксов, встречавшихся и встречающихся сегодня в различных областях научного знания, по предложению Ф. П. Рамсея принято выделять логико-математические (их называют и просто логическими) и семантические парадоксы. К первой группе относят парадоксы, содержащие только термины логики или математики и исключающие такие термины как, например, «истина», «язык» и т.п., относящиеся, по его мнению, к лингвистике или теории познания. В эту группу входят такие парадоксы, как парадоксы строгой и материальной импликации, парадоксы модальной и, в частности, эпистемической логики, парадоксы логики существования и др.

Во вторую группу по предложению Ф. П. Рамсея относят, как раз те парадоксы, которые содержат «семантические термины «истина», «язык», «определимость», «именование» и другие, которые основаны на интерпретации конкретных понятий и не являются строго математическими, а скорее относятся к области логической семантики и теории познания» ^[1].

В эту группу в настоящее время включают такие хорошо известные парадоксы, как парадоксы гетерологичности, парадокс отношения именования, парадокс теории имен, парадокс Ж. Ришара о вещественных числах, характеристика которых выражается некоторой фразой какого-либо языка, парадокс Д. Берри о множестве натуральных чисел и множестве их имен. Довольно часто к числу семантических относят и широко известный парадокс «Лжец», а также парадокс Б. Раселла о классе всех собственных классов, не менее известный как парадокс «Брадобрей».

Наиболее остро проблема парадоксов, возникающих время от времени в науке, проявила себя в основаниях математики на рубеже XIX –XX веков, когда в теории множеств Г. Кантора, которая, по мнению многих ведущих математиков, стала надежным фундаментом математической науки, были обнаружены логические парадоксы. Они не только поставили под сомнение учение Г. Кантора, но и, что более важно, серьезно потрясли основания математики, положив начало ее третьему кризису. Наиболее известными попытками разрешения этого кризиса стали программы логицизма, интуиционизма и формализма каждая из которых внесла весомый вклад в развитие логики и математики.

Логицизм (Р. Дедекинд, Г. Лейбниц, Р. Карнап, Ч. Пирс, Б. Рассел и А. Уайтхед, Г. Фреге, Э. Шрёдер и др.) способствовал «формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и методологических идей и развитию соответствующего формального математического аппарата» ^{[3, с. 320]}.

Интуиционизм (Л. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг, Л. Кронекер, А. Пуанкаре и др.) содействовал продвижению в области формальной интуиционистской логики и её семантики, а также в таких областях математики, как теория меры, функциональный анализ, топология и теория дифференциальных уравнений, а благодаря строгому определению понятия алгоритма позволил перейти к конструктивной математике.

Формализм (Д. Гильберт, В. Аккерман, П. Бернайс, Г. Генцен, Х. Карри, Дж. фон Нейман и др.) привел «к разработке и уточнению аксиоматических систем, особенно теории множеств, теории доказательства, метаматематики, а также внес свой вклад в развитие рекурсивной теории, машины Тьюринга, лямбда-исчисления и других аспектов формальной математики, оказавшихся крайне важными для теории вычисления» ^[4], способствовал решению некоторых проблем теории доказательства и развитию финитных методов в математике.

Идеи логицизма, формализма и интуиционизма, несомненно, оказали огромное влияние на процесс развития математики и логики, благодаря чему в которых были достигнуты значительные успехи, а в математическом мышлении, по сути дела, произошел переворот. Тем не менее, нельзя не сказать и о том, что главная задача – освободиться от теоретико-множественных парадоксов – не была решена.

До сих пор остается открытой и такая не менее важная проблема, как проблема объяснения парадоксов. И сегодня, несмотря на обширную литературу, посвященную парадоксам и большое количество предложенных в ней вариантов их объяснений, актуальным является утверждение А.Френкеля о том, что представленные в этой литературе результаты поразительно бедны в сравнении с затраченными усилиями. Нельзя не согласиться и с тем, что ни почти столетнее обсуждение этой проблемы, ни предпринятая ревизия логики, на полной реформе которой настаивал Х. Карри, так и не привели к её очевидному однозначному решению. Тем не менее, следует отметить, что предположение Х. Карри о том, что в этом может существенно помочь символическая логика оказалось вполне реальным. Эта логика, особенно её неклассическая ветвь, действительно, способствовала решению и объяснению целого класса парадоксов.

В настоящее время существует большое число различных неклассических логик, среди которых, прежде всего, можно назвать многозначную (конечнозначную и бесконечнозначную), временную, модальную и релевантную, интуиционистскую и конструктивную, нечёткую и паранепротиворечивую логики.

Одной из первых неклассических логик была трёхзначная логика Я. Лукасевича, в которой в качестве третьего значения он ввёл значение «возможно», «нейтрально». Иными словами, в его логике можно было приписать каждому высказыванию одно из трех значений: «истинно», «ложно» или «нейтрально». Трехзначная логика, созданная Я. Лукасевичем, оказалась более гибкой и более богатой, чем двузначная логика Аристотеля. Вслед за ней появились трехзначные логики Д. Бочвара, Г. Гейтинга, Г. Рейхенбаха, П. Детуш-Феврие, n-значная логика Э. Поста и бесконечнозначные логики.Многие из этих логик создавались со вполне определенной целью: разрешение парадоксов, обнаруженных в той или иной отрасли научного знания.

«Первопроходцами» в разработке новой логики, ориентированной специально на исследования в области физики микромира, которую с «легкой руки» В Гейзенберга, назвали «квантовой логикой», по праву считают Г. Биркгофа и Дж. Фон Неймана. С помощью языка этой логики, в которой не соблюдался закон дистрибутивности, можно было описать известную парадоксальную ситуацию дифракции электрона, проходящего через две щели экрана ^[5].

Но, по мнению многих ученых и философов, занимавшихся в тот период квантовой механикой, наиболее удачной логикой, аппарат которой использовался в этой области физики, стала трехзначная логическая система Г. Рейхенбаха, позволившая справиться с описанием проявляющих себя состояниями неопределенности её «причинных аномалий». В этой логике Г. Рейхенбах, опираясь на требования квантовой механики и определения ряда логических операций, данных в своей n-значной логике Э. Постом, ввёл ряд новых понятий: понятия полного отрицания, квазиимпликации, альтернативной импликации и альтернативной эквиваленции. При этом оказалось, что в «квантовой логике» Г. Рейхенбаха только полное отрицание дает реальную основу для безоговорочного применения закона непротиворечия. В остальных случаях сфера его действия ограничивается теми или иными условиями. Важно отметить и то, что в этой логике не действует закон исключенного третьего, что и позволяет описать её средствами состояние неопределенности.

Одним из важных нововведений в этой логике был принцип дополнительности, в определенной мере соответствующий идее дополнительности Н. Бора, благодаря чему логику Г. Рейхенбаха нередко называли «логикой дополнительности». Этот принцип утверждал, что в случае выполнения для двух высказываний условия, при котором из истинности или ложности одного из них следует неопределенность оценки истинности другого, то такие высказывания считаются дополнительными по отношению друг к другу. Для таких высказываний в логике Г. Рейхенбаха условие дополнительности было симметричным: если первое из них дополняло второе, то и второе дополняло первое. Это отношение, по мнению Г. Рейхенбаха, вполне возможно было распространить на любое число высказываний, в случаях, когда истинность или ложность одного из них влечёт неопределенность всех остальных ^{[6, сс.206 - 207]}.

Логика Г. Рейхенбаха, действительно, оказалась весьма действенным инструментом решения важных проблем, связанных с описанием квантовых явлений. Такое положение дел, писал В. С. Меськов, стало основанием для её автора утверждать о возможности рассмотрения её не только «в качестве ещё одной интерпретации квантовой механики», преимуществом которой по отношению к интерпретации Бора-Гейзенберга состоит в том, «что она позволяет связывать высказывания о ненаблюдаемых объектах с высказываниями о наблюдаемых», но и в том, что она представляет собой «окончательную форму квантовой физики» ^[7].

Однако с такой высокой оценкой своей логики Г. Рейхенбахом согласились далеко не все современные ему физики. Н. Бор, например, относился к ней весьма скептически. Он утверждал, что «попытки прибегнуть к трёхвалентной логике, предлагаемые иногда в качестве способа рассмотрения парадоксальных черт квантовой механики представляются не слишком пригодными для ясного освещения ситуации, поскольку все экспериментальные данные, даже если их невозможно анализировать с точки зрения классической физики, всегда должны быть выражены на привычном языке, используя обычную логику» ^{[8, с. 397 – 398]}.

Тем не менее, многие физики и философы признают, что трёхзначная логика, разработанная Г. Рейхенбахом, позволила не только сохранить для квантовой механики классическое понятие «состояние», характеризующееся такими сопряженными динамическими переменными, как координата и импульс, которое в копенгагенской интерпретации этой теории отсутствует. С её помощью оказалось возможным выразить непротиворечивым образом парадоксы теории квантовой механики, связанные с предположением о том, что эксперименты с явлениями атомного масштаба должны описываться классическими понятиями и одновременным утверждением об ограничении их применимости соотношением неопределенности ^{[9, с. 64]}.

Основной целью трехзначной логики, разработанной нашим отечественным учёным Д. Бочваром ^[10], было разрешение некоторых парадоксов классической логики (в частности парадокса Б. Рассела). Достижение этой цели он связывал с формальным доказательством бессмысленности некоторых высказываний. Для этого Д. Бочвар ввёл в свою логику такое новое значение высказывания, как «бессодержательно» или «бессмысленно», а также две формы (внутреннюю и внешнюю) отрицания, утверждения, конъюнкции, дизъюнкции и импликации. При этом, что очень важно, различие названных форм отрицания проявлялось лишь в области бессмысленных высказываний. По сути дела, он в своей логике выделил два языковых уровня: собственно язык и метаязык. Все это вместе взятое позволило Д. Бочвару показать, что парадоксы типа парадокса Б. Рассела в созданной им системе теряют свою парадоксальность, так как оказываются бессодержательными ^{[11, с. 352]}.

Интересные решения целого ряда логических парадоксов были предложены в одной из работ А. Зиновьева, где он утверждал, что большинство из них связаны с особенностями языка логической системы. Так, например, он показал, что причина возникновения парадокса Б. Рассела «класс нормальных классов» в том, что при его анализе вполне самостоятельные, независимые от других термины заменяются терминами, определяемыми через свои собственные свойства, т. е. задаются с помощью импредикативных определений ^{[12, сс. 205-207]}.

Парадоксы движения, в частности известный парадокс Зенона, с точки зрения А. Зиновьева, являются на самом деле мнимыми, так как при описании перехода объекта из одного состояния в другое используются высказывания, фиксирующие статичные состояния объекта, т. е. «останавливающие» движение. Каждое из этих высказываний оказывается либо «еще», либо «уже» неверным. Парадокс тривиально разрешается, утверждает А. Зиновьев, если при описании движения объекта использовать понятия «внутреннее отрицание», «внешнее отрицание» и оператор неопределенности, что он и делает в своей неклассической логике ^{[12, сс. 224 - 225]}.

Как процесс перехода объекта из одного состояния в другое его состояние рассматривает движение в своих работах и финский философ и логик Г. Х. Вригт. Однако, в отличие от А. А. Зиновьева, он предлагает другой вариант его описания: с помощью временной логики, где этот переход представляется как последовательность противоречиво связанных между собой состояний ”p” и ”q”, а такжеоператора времени T. При этом Г. Х. Вригт считает, что «последовательность, состоящая из ”p” и ”q”, является изменением, только если эти два состояниявзаимно исключают друг друга, т. е. если конъюнкция их есть логическое противоречие. Поэтому (подлинное) изменение из ”р ” в ”q” можно всегда разложить на два элементарных изменения, … а именно изменение из ”р ” в "не-р” (”рТ ~ р ” ) и изменение из ”не- q” в ”q” (”~qT q ”)» . Иначе говоря, этот переход в рамках этой неклассической логики можно выразить как (”рТ ~ р T ~qT q ”) ^{[13, сс. 528 - 536]}.

Г. Х. Вригт не останавливается на представлении возможности описания процесса изменения средствами логики, он идёт дальше. Он показывает, что между реальным противоречием, находящим свое выражение в том, что «мир иногда должен описываться как существующий в определенном состоянии и вместе с тем существующий в противоречащем состоянии», и непрерывностью времени существует взаимоотношение.

Во-первых, пишет Г. Х. Вригт, это стало, еще одним «доказательством поразительной плодовитости модальной логики». А, во-вторых, - продолжает он, - этим была установлена связь между «великой традицией в логике», идущей «от Аристотеля к Фреге и Расселу и к современной математической или символической логике», и «традицией, главным образом идущей от Гегеля» ^{[13, с. 537]}.

Этот важный и для современной эпистемологии вывод означал, что диалектическая логика Г. Гегеля не является альтернативой или соперницей формальной логики во всей её совокупности. Скорее наоборот: первая «содержит такие идеи и наблюдения, которые представляют подлинный интерес для логика-традиционалиста и изучение которых может привести к новым исследованиям в его области». А кроме этого, по мнению Г. Х. Вригта, вполне возможно, что «это изучение способствовало бы также примирению тенденций в современной философии, которые до сих пор резко противоположны и совершенно отделены друг от друга» ^{[13, с. 538]}.

Проблема адекватного описания и объяснения движения и развития, различного рода изменений, происходящих в реальном мире, связанная с невозможностью их выражения непротиворечивым образом с помощью аппарата классической логики, обнаруживала себя не только в физике микромира, логике и математике, но и в биологии, психологии, информатике, а также в социальных и гуманитарных науках. Именно поэтому внимание философов и ученых привлекли логические системы, в которых объективное противоречие, выраженное с помощью языка такой системы, оказывалось в ней вполне «законным», не приводящим такую систему к её тривиализации. Иными словами, в такой системе исключалась сама возможность выведения из противоречия любого высказывания. Наиболее эффективными среди таких логик оказались паранепротиворечивые или, как их ещё называют, параконсистентные логики.

Первой системой паранепротиворечивой логики стала «дискуссивная логика», разработанная в конце 40-х годов прошлого столетия польским логиком С. Яськовским. Эта логика была предназначена специально для выявления логических особенностей дискуссии, где, как известно, вполне возможны различные, вплоть до противоречащих друг другу, точки зрения. Её особенностью стало то, что в ней нельзя было вывести произвольного суждения из противоречия, а также «то, что в ней не имеет места правило введения конъюнкции {A, B} ⊢ A & B» ^[14].

Различные варианты паранепротиворечивой логики появились уже в последней четверти прошлого века. Интерес к этим логикам связан с тем, что в различных областях обыденной и профессиональной (теоретической и практической) деятельности вполне возможны ситуации, когда допускается одновременная истинность (обоснованность) некоторого высказывания вместе с его отрицанием ^{[15, с. 37]}.

Однако надо отметить, что идея создания такого рода логических систем возникла несколько раньше. Уже «в конце 1880-х гг. Ч. Пирс высказал мысль о возможности "неевклидовой" логики», а чуть позже «он стал говорить о не-Аристотелевой логике, имея в виду идею трехзначной логики» ^[16]. А в 1910 г., - пишет В. А. Бажанов, - известный ученый и писатель П. Карус, указывая на неполноту и неэффективность Аристотелевской логики, говорил о возможности «вообразить сказочный мир», в котором по аналогии с геометрией искривленного пространства существует «искривленная» логика. И в этом же году, «в пробной лекции, читавшейся Н.А. Васильевым в Казанском университете, была впервые предложена система неклассической логики не как идея, а как вполне законченная формальная конструкция, удовлетворяющая взыскательным требованиям научного сообщества» ^[16].

В своей работе над «воображаемой логикой», в которой противоречие признавалось вполне правомерным, Н.А. Васильев опирался на идеи созданной Н. Лобачевским неклассической геометрии. Он был уверен, что «мы можем мыслить без закона противоречия, можем мыслить противоречие. Всякая актуальная мысль выражается в суждении. Поэтому, - писал Н. А. Васильев, - мыслить противоречие это и значит образовать особое суждение противоречия или индифферентное суждение рядом с утвердительным и отрицательным суждением» ^{[17, с. 69]}.

К сожалению, «воображаемая логика» Н. А. Васильева не была оценена его современниками ни в России, ни за её пределами. Лишь примерно в середине ХХ века его идеи были, по сути дела, открыты заново, когда появились работы С. Яськовского, Ф. Миро Квесады, Д. Нельсона и Н. да Коста в области паранепротиворечивых логик. В нашей стране одним из тех, кто первым воспринял идеи Н. А. Васильева, был, по-видимому, Н. А. Колмогоров, который уже в 1925 году построил аксиоматическую систему, которую вполне можно назвать паранепротиворечивой. В дальнейшем разработку паранепротиворечивых логик продолжили В. А. Бажанов, В. Л. Васюков, А. Т. Ишмуратов, А. С. Карпенко, С. П. Одинцов, В. М. Попов, А. В. Смирнов, Е. Д. Смирнова и другие отечественные логики и философы.

Изначально паранепротиворечивые логики были направлены на поиск новых подходов к решению теоретико-множественных парадоксов, а также парадоксов классического пропозиционального исчисления и логики предикатов. В дальнейшем область их применения расширяется и в настоящее время они эффективно работают в различных отраслях научного знания, как в естественных, так и в социальных науках. Эти логики способствуют, в частности, решению проблемы выражения в языке непротиворечивым образом противоречивой информации или несовместимых данных, поступающих в компьютер, локальную информационную сеть, в любую такого рода систему, что могло бы нанести им непоправимый ущерб. Паранепротиворечивые логики послужили основой для более глубокого понимания теорий развития, в частности, диалектики. Их аппарат успешно применяется в вероятностных и индуктивных рассуждениях, в теории нечетких понятий, в деонтической и доксатической логиках, для разработки нетрадиционных онтологических моделей и т.д.

Среди всей совокупности паранепротиворечивых логик особое место занимают релевантные логики, целью которых было решение проблем, возникающих в классической логике в связи с неоднозначностью в трактовке понятия логического следования, являющегося для неё одним из фундаментальных. Во всех этих логиках, представляющих собой формальные системы логического следования, исключается принцип (А ˄ ~А) → В.

По-видимому, можно согласиться с тем, что самой первой релевантной логикой является представленная в 1928 г. в «Математическом сборнике» нашим отечественным философом и учёным И.Е.Орловым система ^[18], которая содержала «первую аксиоматизацию идеи релевантности». В своей «релевантной логике, инспирированной в какой-то степени стремлением сконструировать особую логику естествознания, совпадающую с теорией познания и диалектикой, - пишет В. А. Бажанов, - Орлов пытался преодолеть парадокс материальной импликации и связать антецедент и консеквент смысловой зависимостью» ^{[19, с. 41]}.

Однако в мировом сообществе логиков в настоящее время превалирует точка зрения, согласно которой начало разработкам релевантных логик положили в своих работах В. Аккерман, А. Андерсон и Н. Белнап. Они с помощью введенного ими в логику понятия непарадоксальной импликации, названной впоследствии релевантной, смогли исключить парадоксы как материальной, так и строгой импликации ^{[20, 21]}. В дальнейшем изучение возможностей релевантных логик стало предметом исследований зарубежных ученых Р. и Б. Раутли, Р. Мейера, а также наших отечественных логиков Е. К. Войшвилло, Л. Л. Максимовой, Е. А. Сидоренко и других.

В одной из своих работ Р. Раутли и Р. Мейер, например, утверждали, что с помощью релевантных логик вполне возможно формализовать диалектику во всём её объёме. Первая разработанная ими логическая система DL, содержащая в своей аксиоматике противоречие p0 & ⌐ p0 и называемая ими «диалектической логикой», будучи, по мнению Р. Раутли и Р. Мейер, слишком «сильной», оказалась в состоянии формализовать лишь отдельные фрагменты диалектики.

Вторая система - DM, именуемая ими «слабой» и включающая все аксиомы DL, была, с их точки зрения, наиболее перспективной исходной системой для решения поставленной задачи. Эту систему Р. Раутли и Р. Мейер считали «статистической сентенцией диалектической логики» ^[22].

Надо сказать, что аппарат разработанных Р. Раутли и Р. Мейером логик был вполне пригоден как основание теорий, представляющих собой модели тех или иных областей изменяющегося, развивающегося, противоречивого объективного мира без разрушительных последствий для самой формальной системы. В современном научном познании релевантные логики успешно используются в целях прояснения содержания некоторых логических понятий, отдельных методологически важных общенаучных понятий, в частности, таких, как «доказательство» и «опровержение», «объяснение» и «предсказание», «закон науки» и «контрфактическое высказывание», «определимость терминов в теории», а также при решении других задач, требующих использования логики следования. В последнее время интерес к дальнейшей разработке релевантной логики во многом обусловлен «развитием слабых разрешимых систем, которые находят применение в компьютерной науке, моделировании аргументации и процессов изменения знаний ^[23].

К концу прошлого столетия в понимании паранепротиворечивых логик в целом и их значимости для науки и философии сложились две точки зрения. Представители первой из них (А. Арруда, Н. да Коста, М. Квисада, Д. Маркони, С. Френч) считают, что эти логики завершают развитие логических исследований в целом и являются связующим звеном между классической логикой и диалектикой.

Сторонники второй точки зрения (Г. Прийст, Р. Раутли, Р. Мейер, Н. да Коста и Р. Вольф) более радикальны в своих предположениях о возможных «философских и научных следствиях паранепротиворечивости, связанных с соотношением не только с диалектическим мышлением, но и с пониманием рациональности», являющейся одной из важнейших проблем современной эпистемологии ^{[11, с. 363]}. Они уверены, что паранепротиворечивым логикам вполне по силам реинтерпретировать берущую начало от Гераклита традицию диалектического мышления во всей её целостности.

Однако, как мне кажется, ни первая, ни вторая точка зрения на самом деле не соответствуют реальному положению дел в современной логике. Если ещё можно в какой-то мере согласиться с тем, что параконсистентные логики, действительно, представляют собой связующее звено между традиционной логикой и диалектикой, то утверждение о том, что они «завершают логические исследования в целом», вызывает серьёзные сомнения и нуждается в весомой и обстоятельной аргументации.

Что же касается утверждения о возможности с помощью этих логик «реинтерпретации во всей целостности диалектического мышления», то, как я уже писал в одной из своих работ, несмотря на определённые успехи, достигнутые с помощью паранепротиворечивых логик в решении отдельных парадоксов и в описании некоторых областей «развивающегося, противоречивого объективного мира без разрушительных последствий для формальной системы, нет достаточно убедительных оснований для того, чтобы считать эти логические системы тождественными диалектике» ^{[11, с. 366]}.

Надо сказать, что неклассические логики, способствовавшие в своей совокупности, более глубокому пониманию сущности познавательных парадоксов и объяснению причин их возникновения, не смогли решить проблему парадоксов в целом. Во многом это было связано с тем, что большинство из них создавались в целях обоснования вполне конкретных, частных теорий. Решение же частных задач не гарантировало отсутствия новых парадоксов, к которым нельзя было применить методы и средства уже существующих логических систем. И такие новые парадоксы вскоре были обнаружены. Среди них, прежде всего, можно назвать парадокс Дж. Берри, связанный с понятием «определимость», парадоксы «отношения именования» (парадокс У. Куайна), парадоксы релевантности (парадоксы следования, материальной и строгой импликации), парадоксы модальности (А. Р. Андерсон и Н. Д. Белнап), парадоксы подтверждения, наиболее известным из которых является «парадокс ворона» (К. Г. Гемпель) и др. ^[1].

Тем не менее, ещё раз подчеркнём, что согласиться с тем, что возникающие в научном познании парадоксы играют в нём лишь отрицательную роль, а тем более, с тем, что они свидетельствуют лишь о несостоятельности той или иной теории, ошибочности того или иного рассуждения, ни в коем случае нельзя. Обнаружение парадоксов имеет и свою положительную сторону. Они раскрывают скрытые концептуальные противоречия, делая их прямыми и открытыми, помогая тем самым ученым и философам в разработке новых идей, концепций и теорий.

Иными словами, выявленные парадоксы становятся основанием для тщательного изучения причин их возникновения, выдвигая тем самым перед исследователем задачу освобождения «данной теории от парадоксов, то есть придания ей такой формы, в которой они не могут возникнуть ... или такой формы, при которой практически не удаётся получить противоречие» ^[1]. Для решения же такого рода задач вполне возможно использовать аппарат неклассических логик.