To the theory of collective actions. Part 2. Mathematical model

Tsurikov Vladimir Ivanovich Professor, the department of Advanced Mathematics, Kostroma State Academy of Agriculture 156530, Russia, Kostroma Oblast, township of Karavaevo, Ucgebnyi Gorodok Street 34, office #211 tsurikov@inbox.ru Other publications by this author

Skarzhinskaya Elena Matveevna Doctor of Economics Professor, the department of Business Informatics, Kostroma State University 156005, Russia, Kostromskaya oblast', g. Kostroma, ul. Ul. Dzerzhinskogo, dom 17 yelena.skarzhinsky@gmail.com Other publications by this author

Задача, для решения которой ниже строится математическая модель коллективных действий, в самых общих чертах имеет некоторое сходство с теми задачами, которые решаются в рамках моделей неполного контракта Гроссмана-Харта-Мура ^{[5, 9, 10]}, Тироля-Фуруботна-Рихтера ^{[3, 4]}, а также моделей, предложенных в работах ^{[2, 6, 7]}. Поэтому некоторые из результатов, получаемых на начальных этапах решения нашей задачи, имеют определенное сходство с результатами, достигнутыми в рамках моделей неполного контракта. По мере решения задачи мы будем отмечать подобные результаты.

Построение математической модели

Рассмотрим деятельность коллектива, который обладает способностью создавать стоимость путем приложения его членами индивидуальных усилий. Величина создаваемой стоимости зависит от объемов прилагаемых усилий и от некоторых неконтролируемых природных факторов. Члены коллектива могут оказывать влияние на величину ожидаемого дохода только размером своих усилий, под которыми следует понимать расходы любых личностных ресурсов: физические усилия, затраты своего времени, нервной энергии и т. п. Так как все усилия агентов представляют собой невозвратные издержки, то их следует интерпретировать как специфические инвестиции. Главная цель каждого члена коллектива – максимизация собственного индивидуального выигрыша.

Введем следующие обозначения: n – численность коллектива, – денежный эквивалент усилий, осуществляемых i-м агентом, D – величина ожидаемого от прилагаемых усилий совокупного дохода. Перечислим условия, которым должна удовлетворять функция в предположении, что она дважды дифференцируема.

1. Так как доход считается возрастающим по размерам усилий, осуществляемых каждым из агентов, то величина предельного совокупного дохода положительна, т. е.

(1)

2. Закон убывающей отдачи требует, чтобы величина предельного дохода (1) уменьшалась с ростом объема прилагаемых усилий. Отсюда следует, что вторая производная от функции D по инвестициям каждого агента должна принимать только отрицательные значения:

(2)

Если дополнить это условие желанием ограничиться единственным решением, то достаточно потребовать, чтобы функция D была строго выпуклой вверх, т. е. чтобы удовлетворяла чуть более строгому чем (2) условию:

(3)

3. Для того чтобы избежать угловых решений, т. е. нуля или бесконечности, потребуем выполнения следующей пары условий:

(4)

Здесь в (1), (2) и (4) ; . Напомним, что строго выпуклая вверх функция, может иметь не более одной стационарной точки, в которой (при ее наличии) достигается глобальный максимум. Отметим, что из неравенства (3) следуют все неравенства (2).

Будем считать, что уровень усилий каждого агента является величиной наблюдаемой, но неверифицируемой для третьей стороны. Иначе говоря, получение третьей стороной объективной и однозначной оценки объема приложенных усилий, способной удовлетворить все заинтересованные стороны, требует чрезмерно больших издержек. Это условие предполагает только внутренние механизмы управления всеми соглашениями и улаживания конфликтов между членами коллектива ^{[8, с. 85]}. Считаем, что членам коллектива известно, как зависит величина ожидаемого совокупного дохода от объема прилагаемых усилий, другми словами, им известна функция . Конечно, это условие может показаться слишком сильным. Однако заметим, что если точное знание функции дохода в реальных условиях представляется маловероятным, то качественное представление о влиянии усилий на величину создаваемой стоимости члены коллектива, несомненно, имеют. Кроме того, если «игра» повторяется многократно, то вполне может сложиться и верная количественная оценка.

Следует подчеркнуть, что знание свойств и вида функции ожидаемого совокупного дохода еще не означает того, что члены коллектива способны заранее, до начала инвестирования, вычислить величину будущего дохода и, главное, установить вклад, вносимый в него каждым из агентов. Причины такой неспособности следующие. Во-первых, функция дохода может оказаться слишком сложной для однозначного определения вклада каждого члена коллектива в его величину. Более того, он может вообще не поддаваться исчислению в силу возможной сильной взаимозависимости между вкладами разных агентов, не позволяющей отделить вклад одного агента от вклада другого. Во-вторых, вне контроля агентов находятся природные и некоторые другие факторы, влияющие на реальную величину совокупного дохода. В-третьих, агенты не могут заранее установить тот объем усилий, который приложит в будущем каждый член коллектива. В-четвертых, агенты способны наблюдать прилагаемые ими усилия, но в силу их неверифицируемости, не могут без заметных издержек прийти к согласию между собой относительно их точных размеров.

Поэтому сначала будем исходить из того, что на этапе ex ante под влиянием неопределенности, в условиях ограниченных когнитивных способностей и недостатка информации члены коллектива могут договориться только о размерах долей в величине ожидаемого совокупного дохода, предназначенным им ex post. Обозначим долю i-го агента через , где

Неэффективное равновесие

Рассмотрим случай независимого выбора агентами размеров своих инвестиций. Если считать, что все агенты нейтральны к риску, то величина ожидаемого выигрыша (полезности, прибыли) i-го агента равна

(5)

Отметим, что все функции в силу условия (3) являются строго выпуклыми вверх. Так как каждый агент может в данном режиме управлять размерами только своих усилий, то максимум его выигрыша (5) достигается в точке, отвечающей условию

,

откуда следует уравнение

(6)

Это уравнение имеет очень простой экономический смысл: максимум выигрыша каждого агента вне зависимости от уровня инвестирования со стороны других агентов достигается при таком уровне осуществляемых им инвестиций, при котором величина его предельного индивидуального дохода равна величине предельных издержек. В роли издержек выступает размер усилий агента, поэтому величина предельных издержек каждого агента равна единице. Обратим внимание на то, что объем усилий, которые прилагает агент для максимизации своего выигрыша, зависит от величины его доли в совокупном доходе. С ростом доли при прочих равных условиях величина предельного дохода падает, что влечет за собой, согласно условию (2), т. е. согласно закону убывающей отдачи, возрастание объема прилагаемых усилий.

Таким образом, величина доли в доходе играет роль стимула к инвестированию: чем выше доля, тем больше усилий прилагает агент. Отсюда вытекает еще один немаловажный вывод: величина будущего совокупного дохода (и/или совокупного выигрыша) зависит от принимаемого ex ante правила его распределения. Отметим, что этот вывод полностью согласуется с одним из самых главных результатов, полученных в моделях Гроссмана-Харта-Мура ^{[5, 9, 10]} и Тироля-Фуруботна-Рихтера ^{[3, т. 1, с. 50-54; 4, с. 293-301]}, согласно которому распределение прав собственности имеет значение, т. е. оказывает «влияние на величину специфических инвестиций и, таким образом, на эффективность» ^{[4, с. 300]}.

В статье ^[2] нами доказано, что система уравнений (6) относительно , имеет единственное решение для каждого набора . Обозначим это решение через , где. Точка определяет равновесный по Нэшу исход, так как ни один агент в результате односторонних действий, выражающихся в изменении уровня своего инвестирования относительно того, который отвечает уравнению (6), не может повысить размер своего выигрыша. Более того, любое отклонение от этого уровня, предпринимаемое любым из агентов в одностороннем порядке, оборачивается снижением его индивидуального выигрыша.

Следовательно, в режиме автономного выбора объема инвестирования каждый агент в своем стремлении к максимизации собственного выигрыша будет осуществлять свой выбор в зависимости от размера своей доли в величине ожидаемого совокупного дохода согласно уравнениям (6), определяющим равновесный по Нэшу исход. Теперь покажем, что ни при каком правиле раздела дохода, т. е. ни при каком наборе величин , равновесный по Нэшу исход, достигаемый в автономном режиме, не является эффективным по Парето.

Предположим, что все агенты осуществили инвестирование в равновесном объеме. Тогда небольшое изменение уровня инвестирование только со стороны i-го агента очень слабо (причем, отрицательно) отразится на величине его индивидуального выигрыша в силу равенства величины его предельного индивидуального дохода величине предельных издержек. Иначе говоря, причина незначительности изменения его выигрыша состоит в том, что изменение доходной части его выигрыша вблизи точки равновесия компенсируется изменением расходной части (издержек). А вот выигрыши всех его партнеров испытают более заметное изменение в силу того, что в окрестности точки равновесия величина предельного совокупного дохода по инвестициям любого агента, равная, согласно (6), , больше единицы, и поэтому совокупный доход может меняться на довольно большие значения, многократно превышающие величину дополнительных инвестиций. Причем выигрыши всех партнеров i-го агента возрастут, если он повысит уровень своих инвестиций относительно равновесного, и снизятся в случае его понижения.

По мере роста объема инвестирования, предпринимаемого только этим одним агентом, его индивидуальный выигрыш будет все быстрее уменьшаться, так как величина его индивидуального предельного дохода, согласно условию (2), будет монотонно снижаться, и дополнительные издержки все заметнее будут доминировать над дополнительным возрастанием его доходной части. В то же время в силу роста совокупного дохода, обусловленного ростом размера прилагаемых этим агентом усилий, выигрыши всех его партнеров будут расти. Как видно, инвестирование сверх равновесного уровня, предпринимаемое в одностороннем порядке, не выгодно его инициатору и, значит, не влечет улучшения по Парето.

Такая ситуация, а в ее справедливости легко убедиться, если обратиться к полному дифференциалу функции индивидуального выигрыша любого агента ^[2], характерна только для того случая, в котором дополнительное инвестирование относительно равновесного уровня предпринимает только один член коллектива. Если же таких агентов несколько (не меньше двух), то ситуация меняется кардинальным образом. Если небольшое дополнительное инвестирование относительно равновесного уровня предпринимают два агента, то доходная часть каждого из них возрастает на величину, которая складывается из двух частей: одна образуется в силу доинвестирования со стороны самого этого агента, а вторая – благодаря доинвестированию со стороны его партнера. Первая часть этого прироста компенсируется возрастающей частью собственных усилий агента, а вторая представляет собой чистый выигрыш. В этом случае возрастают выигрыши всех членов коллектив. Очевидно, что соответствующий положительный эффект тем сильнее, чем больше агентов примут участие в дополнительном инвестировании.

Таким образом, мы приходим к выводу о том, что вблизи точки N, причем справа от нее (т. е. при ), при условии, что доинвестирование осуществляют не менее двух агентов, находятся Парето-предпочтительные состояния. А это в свою очередь означает, что равновесный по Нэшу исход, достигаемый членами коллектива в автономном режиме, не является эффективным по Парето ^[2].

Заметим, что все те состояния, в которых хотя бы только один член коллектива осуществляет инвестирование в объеме ниже, отвечающего условию (6), при любых уровнях инвестирования со стороны всех остальных агентов, не могут быть эффективными по Парето. Объяснение простое: в результате доинвестирования до уровня, соответствующего условию (6), осуществляемого этим агентом, выигрыши всех членов коллектива возрастут. Следовательно, любое Парето-эффективное состояние может находиться только «справа» от точки N, т. е. при , где . Для дальнейшего анализа возможных исходов обратимся к отысканию глобального максимума совокупного выигрыша.

Эффективные состояния

Так как выражение для совокупного выигрыша имеет вид

(7)

то условия максимума

приводят нас к уравнениям:

где (8)

Каждое уравнение из системы (8) представляет собой равенство величины предельного совокупного (а не индивидуального, как в (6)) дохода величине предельных издержек. Система (8) имеет единственное решение, для которого используем обозначение: . Исход, отвечающий этой точки, является эффективным по Парето, так как для него не существует Парето-предпочтительного состояния. В этом легко убедиться, если учесть, что любое отклонение в инвестировании от точки максимума влечет за собой снижение величины совокупного выигрыша, что в свою очередь обязательно оборачивается снижением индивидуального выигрыша, по крайней мере, одного из агентов. В дальнейшем этот исход будем называть оптимальным согласно терминологии, принятой в экономической теории контрактов, в которой под оптимумом понимается состояние с максимальным значением общественного выигрыша.

Запишем систему уравнений (8) в виде:

где (9)

Уравнения (6) и (9) очень похожи, но между ними имеется принципиальное различие. Дело в том, что, согласно (6) любой член коллектива в одностороннем порядке максимизирует свой индивидуальный выигрыш по размерам предпринимаемых им усилий. А вот максимум совокупного выигрыша может достигаться только в результате совместных скоординированных действий, когда каждый член коллектива осуществляет свои усилия в том объеме, при котором величина его предельного индивидуального дохода равна его доле в доходе. Иначе говоря, при оптимальном уровне инвестирования, осуществляемого i-м агентом, величина его предельного индивидуального дохода ниже величины его предельных издержек.

Из сравнения уравнений (6) и (9) с учетом закона убывающей отдачи (2) и неравенств сразу получаем, что , где . Отсюда следует, что в автономном режиме агенты осуществляют инвестирование в объемах, недостаточных для достижения оптимума. Объяснение этому недоинвестированию, как и другому до любого Парето-эффективного исхода, легко увидеть в концепции внешних эффектов. Инвестиции каждого агента способствуют росту совокупного дохода, из которого этому агенту достается только часть, отвечающая его доле, а остальная часть дохода достается его партнерам. Поэтому усилия, прилагаемые каждым из членов коллектива, можно рассматривать в качестве деятельности, влекущей за собой положительные внешние эффекты, и потому осуществляющейся в масштабах ниже общественно-оптимальных.

Теперь перейдем к доказательству существования бесконечного множества Парето-эффективных состояний, из которых ни одно не является равновесным по Нэшу. Предположим, что все члены коллектива, кроме одного под номером i, осуществили фиксированное инвестирование в оптимальном объеме: , где . А i-й агент осуществил инвестирование на более низком уровне, отвечающем попаданию значения его предельного индивидуального дохода в интервал между его долей и единицей. Левая граница этого интервала отвечает уровню инвестирования, при котором достигается максимум совокупного выигрыша (оптимум), а правая граница – максимуму индивидуального выигрыша i-го агента. Во всех точках этого интервала величина его предельного индивидуального дохода ниже единицы (ниже величины предельных издержек). Поэтому в точках этого интервала, находящихся слева (отвечающих меньшим значениям инвестирования) от выбранной i-м агентом, при тех же усилиях остальных агентов, его выигрыш будет выше, а всех остальных агентов ниже в силу более низкой величины совокупного дохода. Отсюда следует, что слева от этой точки нет точек, отвечающих Парето-предпочтительному исходу. Этот же вывод справедлив для всех точек данного интервала, лежащих справа (отвечающих более высоким значениям инвестиций) от точки, выбранной i-м агентом, так как в каждой из них его личный выигрыш ниже, хотя выигрыши всех его партнеров выше.

Таким образом, при условии , где , любой уровень инвестирования со стороны i-го агента, принадлежащий указанному интервалу, отвечает эффективному по Парето исходу. Следовательно, в пространстве инвестиций имеется бесчисленное множество точек, каждая из которых отвечает Парето-эффективному состоянию. Важно подчеркнуть, что ни одно из соответствующих состояний не является равновесным по Нэшу.

Для доказательства этого утверждения предположим, что коллектив достиг одного (любого) из Парето-эффективных исходов. В этом случае, как было показано выше, не менее двух его членов осуществили инвестирование в объемах, превышающих равновесные, т. е. в тех объемах, при которых их предельные индивидуальные доходы ниже единицы. Другими словами, в Парето-эффективном состоянии индивидуальные выигрыши не менее двух агентов не достигают максимума по размерам их собственных инвестиций. А отсюда следует, что если бы один из этих агентов осуществил инвестирование в меньшем объеме, а именно в том, при котором величина его предельного индивидуального дохода равна единице, то в результате наблюдался бы рост его выигрыша. Существование такой возможности и означает, что исходное эффективное по Парето состояние не является равновесным по Нэшу ^[2].

Как видим, каждое эффективное по Парето состояние является неравновесным по Нэшу. Это означает, что любой из тех членов коллектива, благодаря которым коллективу удалось преодолеть неэффективный равновесный по Нэшу исход, мог бы повысить величину своего индивидуального выигрыша, если бы в одностороннем порядке осуществил инвестирование в меньшем объеме. Другими словами, каждый член коллектива заинтересован в том, чтобы инвестирование в объеме, превышающем равновесный, осуществил не он, а кто-то другой. А это значит, что в автономном режиме никто не будет прилагать усилий в объеме, превышающем равновесный.

Следовательно, для преодоления неэффективного равновесия необходима координация действий, причем каждый агент из числа настроенных на доинвестирование для достижения Парето-предпочтительного исхода, должен быть уверен в том, что он в своей инициативе не окажется одиноким. Предположим, что несколько агентов осуществили доинвестирование, в результате которого и оказался достигнутым предпочтительный по Парето исход. В этом случае выигрыш каждого из этих агентов окажется ниже выигрыша агента с такой же долей в доходе, но осуществившего инвестирование в равновесном объеме, отвечающем условию (6). Как видим, в такой ситуации положение безбилетника более выгодно, так как его выигрыш превысит выигрыш проявившего инициативу агента как раз на величину осуществленного им доинвестирования.

Отметим, что для характеристики рассмотренной ситуации термин «безбилетник», получивший распространение в отечественной литературе, не очень удачен. Более удачным представляется термин «халявщик», на котором настаивает в первую очередь А. А. Аузан. Этот термин используется в русском переводе книги Э. Остром ^[1]. Дело в том, что под словом «безбилетник» может пониматься индивид, прилагающий те или иные усилия для того, чтобы избежать платы за предоставляемое ему благо. Халявщик же просто ожидает, когда оно само на него свалится.

Проблема безбилетника – не единственное препятствие на пути к эффективности. Отсутствие равновесия в Парето-эффективных состояниях может провоцировать оппортунистическое поведение. Поскольку каждый член коллектива рассчитывает на получение определенной доли совокупного дохода, постольку ему выгодно, чтобы все его партнеры прилагали как можно больше усилий, приводящих к росту совокупного дохода. Но конечно, никто из членов коллектива не может инвестировать в бесконечном объеме и даже не будет добровольно инвестировать в объеме, превышающем оптимальный, как бы того не хотелось тому или иному агенту. Поэтому для максимизации своего индивидуального выигрыша агент должен прибегнуть к коварству: во-первых, убедить своих партнеров в необходимости достижения максимума общественного выигрыша, требующего осуществления инвестирования всеми членами коллектива в оптимальных объемах, отвечающих условиям (9), а, во-вторых, осуществить при этом собственное инвестирование в меньшем объеме, отвечающем, согласно (6), максимуму его индивидуального выигрыша по размеру его инвестиций.

Вопросам разрешения указанных проблем в целях преодоления неэффективного равновесия мы посвятили следующие части настоящей работы. Сразу отметим, что единого универсального и достаточно надежного пути найти не удается. Любая возникающая перед коллективом возможность для успешного решения проблем безбилетника и постконтрактного оппортунизма имеет свои ограничения или изъяны, влекущие соответствующие трансакционные издержки. Размеры этих издержек сильно зависят в первую очередь от личностных характеристик членов коллектива. В значительной степени, именно величиной трансакционных издержек, обусловленных способностью членов коллектива сдерживать оппортунистическое поведение, определяется степень успеха, достигаемого этим коллективом.

Заключение

Как следует из предложенной здесь модели все проблемы и препятствия для достижения эффективного исхода в коллективных действиях порождаются совокупностью всего-навсего двух факторов: закона убывающей отдачи и стремления каждого члена коллектива к максимуму своего индивидуального выигрыша. Именно совместное действие этих двух факторов является причиной образования и социальной дилеммы типа дилеммы заключенного, и проблемы безбилетника, и стимулов к оппортунистическому поведению. Объективное существование и неизбежное проявление этих факторов не позволяет надеяться на то, что порождаемые ими проблемы можно не учитывать или что они могут рассосаться сами собой. В силу их наличия коллективные действия агентов в автономном режиме, предполагающем независимый выбор агентами объемов прилагаемых ими усилий, приводят их к достижению единственного равновесного по Нэшу исходу, ущербность которого состоит в том, что он не является эффективным по Парето.

Предложенная здесь модель допускает существование бесчисленного множества как Парето-предпочтительных исходов относительно равновесного, так и Парето-эффективных. Причем все они находятся справа в пространстве инвестиций (в точках, отвечающих более высоким значениям инвестирования) относительно равновесного. Эта особенность выступает в качестве непосредственной причины проблемы безбилетника и оппортунистического поведения.

Выигрыш любого члена коллектива монотонно возрастает с ростом объема усилий, прилагаемых каждым из его партнеров, и поэтому чем они больше, тем ему выгодней. А вот относительно собственных усилий ситуация принципиально другая. Выигрыш агента увеличивается с ростом объема его собственных усилий только до достижения равновесного уровня, в котором величина его предельного индивидуального дохода становится равной величине предельных издержек. Дальнейший рост объема его собственных усилий оборачивается снижением его выигрыша. Соответственно, тот член коллектива, который сумеет обманом или как-то иначе ограничить размер собственных усилий объемом, близким к равновесному, в то время как усилия других членов коллектива окажутся осуществленными в объемах выше равновесных, получит преимущество: его выигрыш окажется выше, чем у члена коллектива с такой же, как и у него долей в совокупном доходе.

Проблема предупреждения постконтрактного оппортунизма и достижения любого из бесконечного множества предпочтительных по Парето исходов, требует координации усилий, прилагаемых членами коллектива. Любая координация затратна. Поэтому можно сказать, что способность коллектива к осуществлению эффективных действий определяется величиной тех трансакционных издержек, которые обусловлены получением информации о способностях членов коллектива и необходимостью осуществления мониторинга и инфорсмента.

В следующей, третьей, части работы анализируются те условия, при которых коллектив способен достичь оптимального исхода. Эти условия предъявляют высокие требования не только к умению и желанию агентов работать в коллективе, но и к их личностным качествам и уровню доверия друг к другу. Четвертая часть настоящей работы посвящена анализу возможностей для успешных действий, раскрывающихся перед таким коллективом, члены которого, напротив, могут не испытывать друг к другу никакого доверия. В этом случае они вынуждены опираться на негативные селективные стимулы, обусловленные, в частности, использованием потенциала насилия или применением штрафных санкций.