Mathematics: Definiteness Renewal (Methodology and Cultural Studies approach)

Rozin Vadim Markovich Doctor of Philosophy Chief Scientific Associate, Institute of Philosophy of the Russian Academy of Sciences  109240, Russia, Moskovskaya oblast', g. Moscow, ul. Goncharnaya, 12 str.1, kab. 310 rozinvm@gmail.com Other publications by this author

В настоящее время математика нуждается в очередном осмыслении (концептуализации). И не только потому, что ушли на второй план проблемы обоснования математики, грозившие, как пишет Морис Клайн в своей книге «Математика: утрата определенности», обрушением всего здания математики, возведенного греками без надежного фундамента, но главным образом в силу возможности взглянуть на математику, с точки зрения таких метадисциплин как методология и культурология. «Лишь относительно широкое принятие математических доктрин, ‒ пишет Клайн, ‒ по сравнению с политическими, экономическими и религиозными ‒ создает иллюзию, будто математика представляет собой свод истин, объективно существующих вне человека. Математика может существовать независимо от любого человека, но не от культуры, которая его окружает» ^{[4, c. 374-375]}.

Новая оптика, возникающая в результате реализации подходов указанных метадисциплин, позволяет наметить решение проблем, без которых дальнейшее развитие математики вряд ли возможно. Укажем сначала кратко эти проблемы. Первая, фактически была обозначена еще спором Аристотеля со своим учителем. Если Платон утверждал, что математика – это «правдоподобное» знание об идеях («прообраз» подлинного «образа» ^{[7, с. 433]}) и в этом отношении знание умопостигаемое и конструктивное, то Аристотель рассматривает математику как знание о природе, правда, знание частичное, абстрагированное от материи. «После того как нами определено, ‒ пишет Стагирит, ‒ в скольких значениях употребляется слово “природа”, следует рассмотреть, чем отличается математик от физика. Ибо природные тела имеют и поверхности, объемы, и протяжение в длину, и точки, изучением которых занимается математик... он и производит абстракцию, ибо мысленно фигуры можно отделить от движения… геометрия рассматривает физическую линию, но не поскольку она существует физически, а оптика ‒ математическую линию, но не как математическую, а как физическую. А так как природа двояка, она есть форма и материя, то... подобные предметы нельзя брать ни без материи, ни с одной материальной стороны» ^{[1, с. 25-26]}.

Как прообраз идеи математические объекты в природе не существуют, а как источник знаний о процессах природы объекты математики существуют как идеальные объекты по отношению к реальным объектам природы. В конечном счете, различие этих подходов сводится к следующей альтернативе. Если мы признаем математику знанием о мире идей, которые, по Платону, непротиворечивы и упорядочены в соответствии с благом, то, во-первых, математика принципиально должна быть непротиворечивой и, следовательно, обоснование математики ‒ первоочередная задача, а наблюдаемый в наше время провал проекта обоснования означает крах математики, во-вторых, математические знания получаются путем «озарения» (интуиции, конструирования), а не изучения природных явлений. Если, напротив, математика пусть абстрагированное, но все же знание о природе (как писал Р. Бэкон ‒ знание о всем «подлунном мире»), то получение этого знания предполагает процедуры, сходные с теми, которые применяются в естественных науках, и практическое (прикладное) использование математики более важная задача, чем построение «чистых непротиворечивых математик» с неизвестными назначением и пользой.

Вторая проблема касается все же обоснований математики. Вначале XX века пишет М. Клайн, «перед математиками встало несколько трудных проблем. Требовалось устранить уже обнаруженные противоречия. Но еще более важным представлялось доказать непротиворечивость всей математики, ибо без этого нельзя было гарантировать, что в будущем не возникнут новые противоречия <...> Математика достигла ныне той стадии развития, когда вопрос о том, что, собственно, надлежит считать математикой ‒ логицизм, интуиционизм, формализм или теорию множеств, ‒ вызывает ожесточенные споры. Каждое течение в основаниях математики обладает тонкой структурой: разделяется на отдельные русла, состоящие в свою очередь из множества протоков. Так, интуиционисты не сходятся между собой во мнениях относительно того, что следует считать фундаментальными, интуитивно воспринимаемыми понятиями: только целые или также и некоторые иррациональные числа, закон исключенного третьего, распространяемый только на конечные или и на счетные множества, по-разному трактуемые конструктивные методы. Логицисты полагаются только на логику, но и они не избавлены от сомнений по поводу аксиом сводимости, выбора и бесконечности. Представители теоретико-множественного течения могут двигаться в любом из нескольких различных направлений в зависимости от того, принимают они аксиому выбора и гипотезу континуума или отвергают одну из этих аксиом (ибо гипотеза континуума также имеет ныне статус аксиомы!) или даже отказываются от них обеих. Даже формалисты могут выбирать путь по своему усмотрению. Выбор принципов математики для доказательства непротиворечивости не вполне однозначен. Финитистских принципов, отстаиваемых Гильбертом, оказалось недостаточно даже для доказательства исчисления предикатов (первой ступени), не говоря уже об установлении непротиворечивости формальных математических систем Гильберта. Формалистам не оставалось ничего другого, как воспользоваться нефинитистскими методами. Кроме того, как показал Гёдель, в рамках наложенных Гильбертом ограничений любая достаточно мощная формальная система содержит неразрешимые утверждения, т.е. утверждения, которые, базируясь на аксиомах нельзя ни доказать, ни опровергнуть; но это значит, что подобные утверждения (или их отрицания) можно принять в качестве дополнительных аксиом. Однако и после присоединения новой аксиомы расширенная система, согласно теореме Гёделя, все еще должна содержать неразрешимые утверждения» ^{[4, c. 247, 357-358]}.

На мой взгляд, проблема здесь не в том, возможно ли так перестроить математику, чтобы в ней раз и навсегда исчезла почва для противоречий, и все математики согласились бы с тем, что построенное «здание» ‒ это и есть настоящая математика, а в том, чтобы понять, что дала практика обоснования математики. Да, вера Гильберта и ряда других математиков в возможность обосновать математику не оправдалась, но, тем не менее, современная математика без исследований по обоснованиям немыслима. Спрашивается почему?

В качестве третьей проблемы я бы указал на вопрос о том, когда математика возникает. Из чтения одних работ по истории математики, например, О. Нейгебауэра, А. Ваймана, складывается впечатление, что математика сложилась еще три тысячи лет до н.э. в Древнем Египте и Шумере, из многих других ‒ что только в античной культуре, а из чтения третьих следует, что как наука, образцом которой выступает естествознание, математика ‒ продукт Нового времени.

Греческая геометрия как эмпирическая и конструктивная протонаука. В своей кандидатской диссертации и в исследовании «Начал Евклида» я показываю, что предпосылками греческой геометрии выступали три области деятельности и знаний. Во-первых, отстоявшие от древних греков на пару тысячелетий решения шумеро-вавилонских и древнеегипетских задач, позволявших вычислять площади полей в земледелии при условии, что известны или элементы полей (длина и ширина) или площадь одного из полей и операции с полями (соединение двух или больше полей, отсоединение отрезанного участка, передача отрезанного участка соседнему полю и т.п.). Во-вторых, представления пифагорейцев, считавших числа и геометрические фигуры, представленные в чертежах, сакральными объектами, которые описывали, как на самом деле боги устроили мир (знание этого устройства считалось условием обожения и спасения). Третьей предпосылкой можно считать изобретение греками рассуждений и программу Парменида, потребовавшего для преодоления противоречий подчинить получение знаний в рассуждении правилам (нормам) мышления ^{[13; 12, с. 145-157; 14]}.

Если Сократ показал, что для преодоления апорий предметам, о которых рассуждают, надо давать определения, то Платон предметы, заданные определениями, назвал идеями, поместил их на небо и утверждал, что идеи непротиворечивы, упорядочены, удовлетворяют божественному благу, а обычные вещи на земле должны соответствовать идеям. В дальнейшем Аристотель продолжает и завершает начинания Сократа и Платона, создав систему правил и категорий, позволявших рассуждать без противоречий. Для нашей темы важно отметить следующий момент. С точки зрения современной эпистемологии, построение определений, идей и категорий было ничем иным как построением идеальных объектов. Например, давая определение или подводя эмпирическое явление под идею или категорию, индивид приписывал ему определенные фиксированные характеристики, которых он затем и придерживался в рассуждениях. Другими словами, идеальный объект ‒ это объект, созданный человеком, имеющий фиксированные свойства, позволяющий рассуждать без противоречий; кроме того, идеальный объект может быть соотнесен с эмпирическим явлением («вещами», как говорили греки).

Первоначально древнегреческие философы создавали идеальные объекты только для построения непротиворечивых рассуждений, но уже Платон в своих диалогах стал строить идеальные объекты в целях того, что мы бы сегодня назвали познанием, хотя в тот период познание во многом было нагружено сакральными обертонами и понималось как «условие спасения» человека. Например, в «Пире» Платон строит любовь как идеальный объект, приписывая ему с помощью определений такие характеристики: любовь есть «поиск возлюбленными своей половины и стремление к целостности» и «вынашивание духовных плодов (прекрасного, блага и бессмертия)» ^[8]. Относя полученные характеристики к идее любви, Платон, с нашей точки зрения, указывает их настоящий статус ‒ быть идеальными объектами. Это способность, поясняет Платон «охватывая все общим взглядом, возводить к единой идее то, что повсюду разрозненно, чтобы, давая определение каждому, сделать ясным предмет поучения. Так поступили мы только что, говоря об Эроте: сперва определили, что это такое, а затем, худо ли, хорошо ли, стали рассуждать; поэтому-то наше рассуждение вышло ясным и не противоречило само себе» ^{[9, с. 176]}.

Судя по всему, именно Платон, заимствовав у пифагорейцев представления о геометрических фигурах и числах, придал им статус идеальных объектов. «При устройстве лагерей, занятия местностей, ‒ пишет Платон, ‒ стягивания и развертывания войск и различных других военных построениях как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется разница между знатоком геометрии и тем, кто ее не знает. Но для этого было бы достаточно какой-то незначительной части геометрии и счета. Надо, однако, рассмотреть преобладающую ее часть, имеющую более широкое применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать идею блага» ^{[11, с. 309-310]}

В свою очередь, уже пифагорейцы, которые познакомились с решениями задач в Египте и Вавилоне, стали переносить числовые отношение между полями, зафиксированными в этих задачах, на геометрические фигуры. Необходимое условие подобного переноса ‒ переинтерпретация числовых отношений в отношения геометрических фигур. Например, очень распространенной задачей в этих решениях была следующая: 1) условие ‒ прямоугольное поле такой-то величины (площади), разделили диагональю на два треугольных поля, узнать величину треугольных полей, 2) решение ‒ раздели величину прямоугольного поля пополам; из вычислений видно, что площади треугольных полей одинаковы, а прямоугольное поле в два раза больше треугольного. Пифагорейцы сначала поняли это решение таким образом: «прямоугольное поле есть два треугольных поля». Позднее, пытаясь понять, что же это означает с точки зрения свойств самих фигур как сакральных объектов, они, представив, что два треугольника наложены на прямоугольник, истолковали это знание как «равенство» («два треугольника, полученные от деления прямоугольника диагональю, равны этому прямоугольнику и равны между собой»).

Но только после того, как с легкой руки Платона геометрические фигуры и числа стали соотноситься с идеями (Платон считал, что фигуры и числа ‒ это доступные человеку прообразы идей), можно говорить о том, что стала складываться геометрия. Соответственно, на рассуждения по поводу фигур были распространены как платоновские требования о диалектике, так и более поздние аристотелевские правила и категории. Аристотелевские правила и категории нам хорошо известны, а представления Платона о диалектике значительно меньше. Вот, к примеру, что Платон говорит на этот счет в «Седьмом письме». «Для каждого из существующих предметов есть три ступени, с помощью которых необходимо образуется его познание; четвертая ступень ‒ это само знание, пятой же должно считать то, что познается само по себе и есть подлинное бытие: итак, первое ‒ это имя, второе ‒ определение, третье ‒ изображение, четвертое ‒ знание… Все это нужно считать чем-то единым, так как это существует не в звуках и не в телесных формах, но в душах…Лишь с огромным трудом, путем взаимной проверки ‒ имени определением, видимых образов ‒ ощущениями, да к тому же, если это совершается в форме доброжелательного исследования, с помощью беззлобных вопросов и ответов, может просиять разум и родиться понимание каждого предмета в той степени, в какой это доступно для человека» ^{[10, с. 493-494, 496]}.

Но указанная линия ‒ только одна, хотя, вероятно, главная. Не менее важной линией была и другая. Рассмотрение геометрических фигур как идеальных объектов спровоцировало конструктивную деятельность: на основе одних фигур стали создаваться другие, все более и более сложные. С одной стороны, это было связано с тем, что фигуры чертились на песке или пергаменте, а начертить, взяв за основу первые фигуры (исходные), можно было и фигуры, состоящие из исходных. С другой стороны, желание узнать в целях спасения, как на самом деле боги устроили мир, толкало пифагорейцев и последователей Платона к желанию интерпретировать все, что они видели, в виде (форме) фигур. Но для этого приходилось использовать фигуры в качестве своеобразного «языка описания», а также составлять из одних фигур другие.

Как же понимались новые, более сложные фигуры? Тоже как идеальные объекты (идеи, сущности), но еще не познанные. Какие им нужно было приписать характеристики? Во-первых, те, которые не приводили к противоречиям с другими геометрическими знаниями. Во-вторых, удовлетворяли бы характеристикам исходных фигур, из которых они построены, а также новым эмпирическим отношениям, наблюдаемых глазами в чертежах фигур. Примерно так появляются отношения «параллельно», «подобно» и ряд других.

Познание новых фигур предполагало рассуждения, опирающиеся или на платоновскую диалектику или на аристотелевские правила. Но в данном случае приходилось совмещать идеальные объекты рассуждений и фигуры, ведь нужно было получить непротиворечивые знания именно о фигурах. Подобные рассуждения постепенно приобретают специфику, поскольку требовали отождествлений и преобразований самих фигур. Поясню. Например, если мы строим силлогизм «Сократ ‒ человек, люди ‒ смертны, следовательно, Сократ ‒ смертен», то вынуждены отождествить «человека» и «людей» или рассмотреть «человек», как вид по отношению к роду «люди». Но в ходе познания новых фигур помимо указанных отождествлений приходилось осуществлять и другие операции с идеальными объектами, например, накладывать одни на другие и отождествлять совпадающие части, составлять из одних частей другие и считать полученную фигуру тождественной сумме ее составляющих. В число этих операций входили и процедуры преобразования фигур, предполагающие чертежные действия (проведение диагоналей, касательных, сечений, окружностей, пририсовывание к одной фигуре других и др.).

Нетрудно догадаться, куда я веду: на основе подобных рассуждений, операций с фигурами как идеальными объектами, а также диалектическими и логическими правилами и формируется геометрическое доказательство. В первых вариантах и первых двух книгах «Начал Евклида» налицо уже много составляющих греческой геометрии. Первые две книги, как показывают исследования историков математики, во многом представляют собой доказательства, которые получены в процессе геометрической интерпретации отношений между полями, зафиксированными в шумеро-вавилонских и древнеегипетских сборниках решений задач. Именно в этом плане можно говорить о геометрии как эмпирической протонауке. Но другие фигуры и характеристики были получены в рамках конструктивной деятельности. Видим мы здесь и правила познания, установленные Аристотелем во «Второй Аналитике». Начинаются доказательства с определений и постулатов, задающих по Аристотелю «начала» геометрии (т.е. положения, принимаемые без доказательств, поскольку они схватывают сущность, причины явления), затем на их основе, следуя правилам логики, доказываются теоремы.

Таким образом, если первые геометрические знания и объекты представляли собой отображения в новом языке давно сложившихся отношений между объектами определенной предметной области (можно ее назвать «стартовой»), то последующие были получены в ходе познания объектов геометрии, сконструированных на основе исходных геометрических объектов. По сути, та же закономерность просматривается и при формировании других математик. Например, начав изучать движение тел по криволинейным траекториям в поле тяготения, Ньютон понял, что традиционная геометрия здесь плохо работает. Тогда он построил новую математику. Вслед за Барроу он воспользовался физическими соображениями, привнеся в математику характеристики, полученные Галилеем при изучении движения. «Я, ‒ пишет Ньютон, ‒ рассматриваю здесь математические количества не как состоящие из очень малых частей, а как производимые непрерывным движением. Линии описываются и по мере описания образуются не приложением частей, а непрерывным движением точек, поверхности – движением линий, объемы – движением поверхностей, углы – вращением сторон, времена – непрерывным течением» (цит. по ^{[5, с. 197]}). Одновременно Ньютон строит новое понятие математической величины, приписывая ей атрибуты идеального движения – время, скорость, путь. Вместо физического времени он берет так называемую «соотнесенную величину» («quatitas») «посредством равномерного роста или течения которой выражается и измеряется время» ^{[5, с. 198]}. С ее помощью и задается новое понятие математической величины: «Постоянно и неопределенно возрастающие величины называются флюентами, их бесконечно малые приращения суть моменты, между тем как их скорости суть флюксии, «с которыми возрастают вследствие порождающего их движения флюенты» ^{[5, с. 199]}. Здесь, как мы видим, новые идеальные объекты математики создаются как отображения некоторых отношений галилеевской механики (т.е. для ньютоновской теории флюксий она выступала «стартовой предметной областью»).

Однако в дальнейшем, как правило, процесс отображения прекращается, поскольку становились понятными (отрефлексированными) новые свойства математических объектов и в силу вступали конструктивная деятельность и познание полученных в ней все более сложных математических объектов.

Использование математики для описания и моделирования процессов природы. В «Тимее» Платон рассказывает, как Демиург из всеблагости создает мир, пользуясь при этом математикой. Но в тот период математика только складывалась. В XIII веке в Opus Tertium Роджер Бэкон пишет, что «вторые же важнейшие ворота, которых нам по природе не достает, есть знание математики… понятно, что большая и лучшая часть математики повествует о вещах небесных, как астрология, спекулятивная и практическая…благодаря этим [двум наукам о небесном] подготавливается, тем не менее, познание этого подлунного мира… познание всего подлунного зависит от возможностей математики…Далее я обратился к распространению форм от места своего возникновения, и тут есть много значительного и прекрасного. Но это распространение может быть выражено и познано только посредством линий, углов и фигур» ^{[2, с. 103-109]}. В данном случае математика уже была, и довольно обширная, но как ее применять к описанию природы было неясно.

Характеристики природы в средние века задавались на основе двух совершенно разных начал. Одно античное, аристотелевское начало, включающее в себя идею сущности (причин), а также противопоставление естественного и искусственного, природы и неба (если спасение предполагало обращение к богу-разуму, то практическое действие на земле предполагало учет того, что происходит «по природе» как сущность и естественное). Второе начало христианское: Бог создал природу по своему замыслу («природа сотворенная»), Он в ней находится и продолжает действовать («природа творящая») и создал Бог природу для человека. «Огонь по своей природе, ‒ пишет Иоанн Златоуст, ‒ стремится вверх, рвется и летит на высоту... Но с солнцем Бог сделал совершенно противное: обратил его лучи к земле и заставил свет стремиться вниз, как бы говоря ему этим положением, смотри вниз и свети людям: для них ты и сотворено» ^{[16, с. 394]}.

Чтобы соотнести между собой математические и природные, представленные Стагиритом как движения, идеальные объекты, пришлось создавать специальный язык и дисциплину. Здесь, пишут А. Григорьян и В. Зубов, ставили своей целью «математизировать учение об интенсивности качеств и его изменении, то ли предпочтительно в арифметоко-алгебраической форме, как делали это в первой половине XIV в. ученые Мертон-колледжа в Оксфорде, то ли в форме геометрической, как это делали Николай Орем и его последователи, то ли, наконец, сочетая оба пути, как это делали итальянцы в XV-XVI вв.» ^{[3, с. 122]}. Представители этих дисциплин использовали категории «отношение», «форма», «качество», «количество». Форма как трансформируемая, способная быть выраженной в математическом языке, качества как изменяющиеся и описываемые в математике. Сами трансформация и изменение схватываются («измеряются») категорией «количество» (при измерении «величины»). Важно, что между формами и качествами и математическими объектами устанавливаются отношения соответствия (изоморфизма), что позволяет, с одной стороны, интерпретировать эмпирию (наблюдаемые природные явления и процессы) в соответствующем математическом языке (например, геометрии), с другой – приписывать изучаемым природным явлениям свойства и характеристики, отвечающие выбранным посредством интерпретации математическим объектам. «Всякая вещь, поддающаяся измерению, писал Николай Орем в «Трактате о конфигурации качеств», ‒ за исключением чисел, изображается в виде непрерывной величины. Следовательно, для ее измерения нужно воображать точки, линии и поверхности, или их свойства… И даже если неделимые точки или линии – ничто, тем не менее нужно их математически вымыслить для познания мер вещей и их отношений» ^{[6; 3, с. 128]}.

Известно, что Галилей не только хорошо знал работы Орема, но и заимствовал у него математическую модель, изображавшую свободное падение тел (это прямоугольный треугольник, длина основания которого обозначала время падения, а высоты, поставленные к этому основанию, скорости), и частично терминологию ^{[3, с. 133, 144, 145]}. Считая, что «книга природа написана на языке математики», он начал конструировать идеальные объекты механики, приписывая им не те характеристики, которые наблюдались в опыте, а те, которые вытекали из свойств математических объектов. Например, в опыте, что установил еще Аристотель, наблюдается закономерность, по которой тяжелые тела падают быстрее, чем более легкие. Но Галилей, видя в оремовской модели всего два параметра ‒ время падения и скорости (вес в этой модели отсутствует), пришел к убеждению, что «все тела должны падать с одинаковой скоростью независимо от веса». Кроме того, оправдывая использование оремовского треугольника, Галилей утверждал, что «скорость при падении растет равномерно». Наконец, ему пришлось отрицать и тезис Аристотеля о том, что для движения необходим двигатель, т.е. нужно постоянно прикладывать силу. Судя по оремовской модели, скорость тела непрерывно росла, а следовательно, по Стагириту, должна была расти и сила, ускоряющая падение тел. Но вес тела постоянен, следовательно, сила не росла. Чтобы разрешить это противоречие, Галилей вводит принцип инерции, утверждая, что при падении тел, сила веса тратится не на само движение (оно происходит по инерции), а лишь на его изменение (изменение скорости).

И даже когда оппоненты Галилея показали ему, что оремовская модель ‒ это не модель, что она не объясняет реально наблюдамые закономерности, Галилей не сдался. Он перевернул отношение между идеальным объектом и природным процессом. Если реальное падение тел не соответствует оремовской модели, сказал Галилей, пусть будет хуже для падения. Заставим реальное падение вести себя так, чтобы такое соответствие все же имело место. Но для этого нужно было понять, возможно ли это, и при каких условиях. В конце концов, Галилей определил эти условия, предположив, что, если убрать или сделать незначительным сопротивление среды, то все тела будут падать с одинаковой скоростью. Чтобы подтвердить выдвинутое предположение, Галилей постарался создать указанные условия (знаменитый галилеевский эксперимент), и это ему удалось; одновременно подтвердилась и оремовская модель. Тем самым Галилею удалось привести природный процесс в соответствии с его математическим описанием. В свою очередь, этот факт позволяет утверждать, что оремовский треугольник, на самом деле, является моделью свободного падения тел, но не в среде, а в ее отсутствии.

Из этого материала, подтверждаемого и другими анализами, можно сделать два важных следствия. Первое, математические идеальные объекты прямо не могут быть соотнесены с явлениями природы. Для решения этой задачи необходимо создавать специальные языки-посредники, нередко довольно сложные. И второе, широкое применение математики в культуре модерна потребовало создание модифицированной природы ‒ «техноприроды», которая, действительно, говорит на языке математики. Но чтобы она заговорила в полный голос, надо провести природу сначала через математизацию, потом галилеевский эксперимент, а затем воплотить в инженерных творениях ^{[12, с. 205-226]}.

Здесь конечно возникает вопрос: все ли явления могут быть приведены к стадии техноприроды? Представители естественнонаучного подхода убеждены, что абсолютно все, гуманитарии это отрицают. Я тоже считаю, что для таких явлений как культура, личность, социальность и ряда других противопоказано техническое бытие. Нет ли здесь противоречия, ведь я сам в работах по философии технике показываю, что человек ‒ это, в том числе, и сложная техника ^[5]. Но одновременно и личность и социальный индивид, и психологический субъект, и даже иногда духовное существо. Человек, как «многомерный кентавр» имеет много гитик, не исключая и внеприродных.

Математика как сфера деятельности и этос. В замечательной работе Имре Лакатоса «Доказательства и опровержение» показано, что условием развития математики является перестройка и уточнение идеальных объектов, происходящая одновременно с изменением строгости математического доказательства. А Морис Клайн посвящает немало страниц обсуждению кризиса самого понятия математическое доказательство. Иногда, кажется, что строгое математическое доказательство стало настолько строгим, что уже не может быть принятым необычайно разросшимся научным сообществом математиков. То ли дело времена Архимеда, вокруг которого объединялись пару десятков человек, с которыми, вероятно, было легко договориться о критериях доказательства.

Кризис математики начинается с Нового времени и связан с тем, что построение идеальных объектов требовало рефлексии и конвенции сообщества. С одной стороны, математика в своих началах детерминирована стартовой предметной областью, а также принципами конструирования и изучения идеальных объектов. С другой ‒ кажется, что это дисциплина, которую человек может построить, реализовав при этом свой идеал строгости мышления и науки. «Споры вокруг аксиомы выбора по существу сводились к одной главной проблеме: как следует понимать существование в математике? Одни математики склонны считать «существующим» любое понятие, оказавшееся полезным, если оно не приводит к противоречиям, например обычную замкнутую поверхность, площадь которой бесконечна. Для других математиков «существование» означает четко распознаваемое определение или такое понятие, которое позволяет отождествить или по крайней мере описать его. Одной лишь возможности выбора недостаточно. В дальнейшем эти взаимоисключающие точки зрения стали еще более непримиримыми…» ^{[4, c. 246]}. С третьей стороны, в современной культуре допускаются разные научные сообщества с разными взглядами на науку, мышление, истину. Как же им договориться и прийти к общему мнению?

«Почему, ‒ спрашивает Клайн, ‒ математика эффективна там, где мы располагаем лишь непроверенными гипотезами о сущности физических явлений и где при описании этих явлений вынуждены почти целиком полагаться на одну математику?.. Этот вопрос интересовал и продолжает интересовать многих. Неоднократно задавал его себе и Альберт Эйнштейн в книге «Вокруг теории относительности» (1921):

“В этой связи возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни о каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только одного размышления понять свойства реальных вещей?”» ^{[4, с. 391-392]}

Я бы возразил и Клайну и Эйнштейну. Во-первых, математика является не только произведением человеческой мысли, но и связана с опытом. Во-вторых, что понимать под опытом? Эйнштейн, вероятно, имеет в виду физический опыт. Но разве опыт человеческой деятельности менее реален? В этом плане математика, опирается и на опыт тех предметных областей, с которых она стартует, и на опыт конструирования математических объектов, но также и на опыт обоснования математики. Все это полноценные опыты.

Теперь, что понимать под самой математикой? Тот же Клайн пишет: «Основной вывод, который можно сделать из существования нескольких противоборствующих подходов к математике, состоит в следующем: имеется не одна, а много математик. О математике в целом, по-видимому, правильнее говорить во множественном числе (как о многих математиках), оставив единственное число для обозначения любого из подходов. Философ Джордж Сантаяна как-то сказал: “Не существует бога, и дева Мария ‒ матерь его”. Перефразируя эти слова, можно сказать: “Не существует единой, общепринятой математики, и греки ‒ создатели ее”» ^{[4, с. 358]}.

В методологии есть такое понятие ‒ «сфера деятельности». Так вот «математика в целом» ‒ это сфера деятельности, включающая в себя и разные математики, и стартовые предметные области этих математик, и основания математики, которые тоже множественны, и сообщество математиков, тоже неоднородное, наконец, возможно, даже области деятельности, нуждающиеся в математических услугах. Кроме того, математика ‒ это «институт модерна», а следовательно, на нее распространяется конкуренция, существенно влияющая на поддержку со стороны государства и полемику математических школ.

Нетрудно предположить, что в такой сложной системе много мест, выступающих на уровне знаний источниками противоречий. Другими словами, противоречия в математике ‒ это не недоразумение, а нормальное положение дел. Естественно, не менее нормальна деятельность по разрешению противоречий и обоснованию, и она идет с самого начала существования математики. Анализ работ Аристотеля и Лакатоса показывает, что разрешение апорий предполагает, с одной стороны, перестройку идеальных объектов математики, с другой ‒ обновление представлений о математическом доказательстве. Но есть еще один, не менее важный результат этих усилий: выясняются, как бы сказал И. Кант, условия мыслимости математических построений и понятий. Как следствие, начинается новый цикл математических исследований. В этом отношении работа по разрешению противоречий и обоснованию представляет собой один из важнейших механизмов развития математики.

Кризис современной математики проистекает вовсе не потому, что в математике обнаружили много противоречий. Он обусловлен как усложнением сферы деятельности математики, так и противоречиями самого модерна. На оба эти фактора должна по идее реагировать концептуализация математики, т.е. осознание математики должно было идти в ногу с изменением внешних и внутренних условий ее существования и развития. Вероятно, этого не произошло. Вероятно, математика стоит перед лицом большой реформы. Не последнее место в ней будут занимать вопросы новой организации математического сообщества, ведь нужно будет выработать принципы, позволяющие не только пересмотреть взгляды на математическое доказательство, но и выстроить новые взаимоотношения между математиками и их дисциплинами.