On the sensitivity of particle flow to diffusion coefficient variations

Litvinov Vladimir Andreevich PhD in Physics and Mathematics Docent, the department of Informatics and Special Technology, Barnaul Law Institute of the Ministry of Internal Affairs of Russia 656038, Russia, Altaiskii krai, g. Barnaul, ul. Chkalova, 49 lva201011@yandex.ru Other publications by this author

Введение. Значительная часть теоретических расчетов наблюдаемых в экспериментах величин производится с целью проверки тех или иных предположений о характере среды или параметров физической модели, описываемой изучаемое явление (процесс). Вычисления наблюдаемых физических величин принято называть прямой задачей. Определение же количественных характеристик модели по экспериментально наблюдаемым величинам на основе теоретических расчетов принято называть обратной задачей.

Широкое освещение в научной литературе получили обратные задачи физических процессов, описываемых параболическим уравнением теплопроводности (диффузии). При этом соответствующие задачи встречаются в различных отраслях производства и продолжают вызывать интерес у научного сообщества [1–3].

В большинстве случаев решение обратной задачи сводится к параметризации физической модели изучаемого процесса с дальнейшим определением количественных значений этих параметров на основе лучшего совпадения результатов теоретических расчетов с экспериментально измеренными значениями. При этом сама процедура параметризации физической модели зачастую неоднозначна, а вводимые параметры требуют дополнительного физического толкования.

Обратные задачи диффузии (теплопроводности) относятся к классу некорректно поставленных задач. Но даже при наличии достаточно точных алгоритмов решения обратной задачи остается вопрос о влиянии ошибок экспериментальных измерений на точность восстановления исследуемого параметра.

В самом общем случае измеряемая величина J может быть представлена как некий функционал от параметров модели a(×), которые могут быть функциями набора переменных задачи. Например, для уравнения диффузии коэффициент диффузии может зависеть от времени и пространственных координат. Точность определения a(t,x) будет зависеть от степени чувствительности измеряемого в эксперименте потока частиц Ф(t,x) к вариациям функционального вида a(t,x).

Методы расчета чувствительности функционалов к параметрам модели

В работах ^[4,5] для расчета чувствительности потоков частиц к параметрам используемой модели их взаимодействия со средой предложено использовать параметрические или функциональные производные по параметрам модели. Данный метод можно также применить и к уравнению диффузии (теплопроводности):

В зависимости от условий задачи уравнение (1) дополняется краевыми и начальными условиями. В дальнейшем будем рассматривать диффузию в неограниченном пространстве от точечного мгновенного источника, что соответствует:

где — дельта функции Дирака. Функцию источника (2) можно заменить начальным условием:

(3)

Если регистрируемой величиной Jявляется поток Ф(t,x), то функцию чувствительности можно определить как:

При этом:

Проварьируем уравнение (1) по параметру a, предполагая, что он зависит только от времени:

Уравнение (6) аналогично уравнению (1) с мгновенным источником в момент времени t1. Решение уравнения (6) для постоянного a может быть выражено через функцию Грина для уравнения (1), которая имеет вид:

Решение уравнения (1) с источником (2) для постоянного a имеет вид:

Решение уравнения (6) для функции чувствительности может быть записано как свертка функции Грина(7) и второй производной Ф по пространственной координате:

На рис. 1 приведена зависимость функции чувствительности (9) от координаты х и момента времени t1 варьирования коэффициента a для момента наблюдения t=50. Ожидаемо, что чувствительность потока Ф к вариациям коэффициента диффузии в момент времени, совпадающий с временем наблюдения (t1 = t) равна нулю. Максимальной по модулю является чувствительность потока в начале координат. С удалением от начала координат увеличивается чувствительность к вариациям коэффициента диффузии в более ранние моменты времени.

Приведенные выше рассуждения качественно можно было бы сделать из понимания природы процесса диффузии. Но выражение (9) позволяет рассчитать также количественные значения вариации потока частиц. Если за основу взять решение уравнения (1) с постоянным a, то изменение потока, вызванное зависимостью a(t), можно вычислить по формуле:

На рис. 2 приведены результаты расчета вариации потока Ф, обусловленные добавлением в коэффициент диффузии a сомножителя (1+0.05t), определяющего зависимость от времени.

Рис.1. Зависимость функции чувствительности от xи t1 при t=50

Рис. 2. Вариация Ф(t,x), вычисленная по функции чувствительности

Выражение (10) можно рассматривать как уравнение Вольтерры I рода для нахождения функциональной зависимости a(t). Такую задачу имеет смысл решать, если вариации функционала удовлетворительно описываются формулой (10). На рис. 3 и 4 приведены результаты расчета потока частиц Ф(t,x) для a =(1+0.05t), полученные путем решения уравнения (1) разностным методом (пакет MatLab) и по формуле (10), когда за основу взято решение уравнения (1) для постоянного a=1. Из данных рисунков видно, что формула (10) позволяет удовлетворительно описать боле 20% вариации потока.

Рис.3. Зависимость Ф от координаты. — – численное решение уравнения (1) разностным методом (MatLab); - - - — решение (1) для t=15 при a=1, .-.- – решение (1) для t=5 при a=1; о, + — расчет по формуле (10)

Рис.4. Зависимость Ф от времени. — – численное решение уравнения (1) разностным методом (MatLab); - - - — решение (1) для t=5 при a=1, .-.- – решение (1) для t=15 при a=1; о, + — расчет по формуле (10)

Аналогично (6) можно записать уравнение для функции чувствительности потока частиц к пространственным вариациям коэффициента диффузии

С учетом выражений (7) и (8) функцию чувствительности к пространственным вариациям коэффициента диффузии можно записать в виде:

Выражение (12) может быть использовано для вычисления вариации потока частиц, обусловленных пространственными вариациями коэффициента диффузии:

На рис. 5 приведены результаты расчета потока частиц Ф(t,x) для a(x)= (1.+0.05x2). В качестве базового выбрано решение уравнения (1), соответствующее постоянному коэффициенту диффузии.

Рис. 5. Поток частиц Ф(t=10,x). — – решение разностным методом; + — расчет по (13); - - - — решение, соответствующее a=1, взятое за основу для (13)

Как и в случае с временными вариациями, выражение (13) позволяет удовлетворительно описать 15–20% изменения функционала.

Выражение (13) можно рассматривать как уравнение Фредгольма первого рода для нахождения вариации коэффициента диффузии a по измеренным отклонениям потока частиц dФ от некоего модельного решения, взятого за основу. Для решения таких уравнений можно воспользоваться методом регуляризации, предложенным А.Н. Тихоновым ^[6].

Выражения (10) и (13) фактически соответствуют первому порядку теории возмущений, используемой для приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений. В том случае, когда наблюдаемые значения функционала значительно отличаются от модельных, необходимо изменять модель, чтобы получить удовлетворительный результат при помощи первого приближения теории возмущений.

Заключение

Продемонстрированный в работе метод расчета чувствительности функционалов к вариациям параметров модели прохождения частиц через вещество позволяет получить наглядное представление о степени влияния той или иной области вариаций этих параметров на измеряемые характеристики, что имеет важное значение при решении обратных задач.

Другим способом описать значительные вариации функционала, не прибегая к высшим порядкам теории возмущений, является метод вариационного интерполирования, продемонстрированный в работах ^[7,8] применительно к задачам распространения электромагнитных волн и космических частиц. Данный метод лишь незначительно превышает по объему вычислений первый порядок теории возмущений, существенно расширяя область описываемых вариаций наблюдаемых величин.