Mathematical model of the supply-demand system for raw materials

Sklyar Alexander PhD in Technical Science Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Russian University of Technology 119602, Russia, g. Moscow, pr-t Vernadskogo, 78 askliar@mail.ru Other publications by this author

Введение

Ключевым элементом при анализе поведения системы спроса – предложения является порядок ценообразования. Различают две основные системы ценообразования: рыночное ценообразование на основе взаимодействия спроса и предложения и централизованное государственное ценообразование на основе назначения цен государственными органами ^[1,2]. В данной работе рассматривается система рыночного ценообразования. С формальной точки зрения цена – это число, которое сопоставляется с единицей товара для сравнения его ценности с ценностью других товаров. Цена продукта при использовании модели на основе принципа максимальной полезности для потребителя представляет собой частную производную целевой функции по объему доступного количества этого продукта в потребляющей его системе. Отличия этих оценочных величин в разных системах и порождают возможности взаимовыгодного обмена – торговли. Помимо внутренних потребительских цен, естественно, существуют и общие обменные рыночные цены, которые строятся на основе компромисса между поставщиками и потребителями товара. Компромисс строится на обеспечении взаимовыгодности обмена товарами между поставщиками и потребителями. С точки зрения конечного потребителя важна только цена на готовый продукт, цены на сырье и полуфабрикаты интересуют только производителей, поскольку они непосредственно влияют на издержки производства.

1. Математическая модель системы спроса – предложения

Экономические системы создаются человеком в соответствии с его интересами и, таким образом, по своему существу являются активными в том смысле, что их функционирование подчинено целям, формулируемым человеком, определяющим управляющий компонент системы. Формально это можно записать в виде принципа максимальной полезности. Пусть p - вектор ресурсов системы, доступных для потребления, тогда система функционирует так, что достигается максимум функции полезности F(p) при наличии, вообще говоря, ограничений на доступность ресурсов:

Приращение целевой функции имеет вид, . Последнее означает, что , позволяющие сравнивать полезность различных продуктов имеют смысл цен.

Можно показать, что цены sк представляют собой монотонно убывающие функции от объемов доступного ресурса pк, а стоимость накопленного ресурса pкsк, монотонно возрастает и ограничена. Таким образом, цену ресурса можно представить в виде:

с параметрами b(p) (или c(p)) и h(p).

При p=0, получаем, что s=b, то есть параметр b представляет собой максимальную цену, выше которой потребление невозможно. Из следует, что c представляет собой полную стоимость продукта, а h – емкость системы, определяющую ее масштаб (темпы потребления). ^[3,4].

Пусть обменная, внешняя по отношению к отдельной системе, цена – w. Внутренние цены продуктов меняются в зависимости от имеющегося в распоряжении системы объема товара p. Поскольку цены формируются внутри отдельной системы и имеют смысл только для сравнения ценности различных товаров, то их значения определены с точностью до постоянного множителя, играющего роль единицы измерения. Величины b, h являются, вообще говоря, функциями от объема наличия как данного продукта, так и других продуктов, используемых системой, но при небольших колебаниях объемов потребления будем считать их константными.

Таким образом, зависимость между ценой и спросом отдельной системы можно представить гиперболической зависимостью. При множестве потребителей рынок растет с уменьшением цены и можно показать, что зависимость между ценами и объемом потребления приобретает следующий вид:

Баланс между производством и платежеспособным спросом достигается при достижении максимума прибыли производителя. Объемы производства, доставляющие такой максимум, определяются из , где z – прибыль, w – цена продажи, u – издержки производства (себестоимость), p – объем производства. В случае одного производителя и одного потребителя при выполнении (2) это дает:

При нескольких производителях (конкурентное производство) это соотношение приобретает несколько иной вид. Пусть средние издержки производства , тогда:

Легко видно, что при n=1, соотношения (5) переходят в (4).

Отметим, что качественный характер выражений (5) и (3) имеет тот же вид, что и для (4).

Задав цену в форме соответствующим подбором значений b^*, u^* можно в окрестности точки b^*, u^* добиться совпадения значений цены w и ее производной , что при относительно малых изменениях u^* позволяет приближенно оценить характер изменения цен в рамках модели (5), используя более простые соотношения модели (4).

В этих условиях рассмотрим зависимость цен на конечную продукцию в зависимости от цен на сырье.

Издержки производства в этом случае можно представить в виде суммы издержек собственно на переработку сырья и полуфабрикатов и затрат на закупку сырья (полуфабрикатов). В этом случае оптимальная цена будет определяться в соответствии с (4) из:

Здесь uc - издержки на переработку сырья и полуфабрикатов, w₁ – цена закупки сырья (полуфабрикатов), k – удельные затраты сырья на единицу конечной продукции.

Для ряда видов продукции, например, пищевой издержки на переработку относительно невелики и затраты на сырье составляют значительную часть от суммарных затрат. В этих условиях изменения цен на готовую продукцию будут в значительной степени повторять изменение цен на сырье. График подобной зависимости при k=1 приведен на рисунке 1.

Рисунок 1 - Зависимость цены на конечную продукцию от цены сырья при его малой переработке

Необходимо отметить, что на ценообразование ряда продуктов, прежде всего биологического происхождения, влияют неконтролируемые природные факторы, определяющие объемы его производства вне зависимости от спроса.

Несколько иначе выглядит зависимость стоимости конечной продукции от стоимости сырья при его глубокой переработке. В этом случае коэффициент k удельных затрат сырья на единицу конечной продукции может быть небольшим и, что особенно важно, процесс обработки оказывается многостадийным. Рассмотрим эту ситуацию на примере двух стадийной обработки. Пусть w=w2 – цена конечной продукции (после второй стадии), u2 – издержки производства на второй стадии, состоящие из затрат u_c2 на обработку и сырье типов, не связанных с анализируемым сырьем, и затрат на закупку полуфабрикатов на основе переработки сырья анализируемого вида k2w1. Величины в последнем выражении: w1 – цена соответствующего полуфабриката, а k₂ – норма его расхода на единицу готовой продукции. Аналогично введем величины u_c1, k1 для расчета ценообразования первого передела, Кроме того, введем для первого передела максимальную цену b1. В этих обозначениях цены готовой продукции и полуфабрикатов будут определяться из приведенных ниже соотношений:

Учтем также, что введенная в (7) величина b1 определяется на основе максимальной цены конечной продукции, то есть b=umax=uс2+k2b1, откуда и определяется величина b1:

В этих условиях зависимость цен на конечную продукцию от цен на сырье при норме расхода на единицу готовой продукции 1,2 на первом переделе и 0,2 на втором приобретает вид, представленный на рисунке 2.

Рисунок 2 - Зависимость цены на конечную продукцию от цены сырья при 1 и 2 стадийной переработке

Последнее наглядно показывает, что цены на конечную продукцию достаточно слабо зависят от цен на сырье. Так двукратное увеличение цен на сырье при двух стадийном производстве дало рост цены всего на 1%. При большем количестве переделов зависимость ослабляется в еще большей степени.

При этом зависимость объемов прибыли на конечную продукцию от цен на сырье приобретает вид, представленный на рисунке 3.

Рисунок 3 - Зависимость прибыли на конечную продукцию от цены сырья

Очевидно, что и зависимость прибыли при производстве конечной продукции также слабо зависит от цен на сырье.

Необходимо отметить, что выявленные зависимости получены при неявном предположении о возможности производства сырья в количестве, достаточном для достижения желаемых объемов производства конечной продукции. С другой стороны оптимальный объем производства конечной продукции p, как это следует из (4), (5) требует производства сырья в объеме r=kp, а реальные объемы производства ограничены величиной r^* и при r^*

или его модификации согласно (5).

Таким образом, при ограниченных возможностях производства сырья возникает достаточно жесткая связь между ценами на готовую продукцию и ценами на сырье, что значительно ограничивает спекулятивную составляющую при формировании цен на сырье. По сути, поле для спекуляции составляет лишь прогноз объемов производства сырьевой продукции в следующем периоде.

2. Анализ статистики колебаний цен на сырьевую продукцию при многостадийном производстве на примере рынка нефти и нефтепродуктов

Рассмотрим подробнее соответствие модельных данных реальной статистике.

На рисунке 4 показана динамика изменения мировых объемов добычи нефти, цен на нефть (Btent) ^[5] и цен на бензин в Германии ^[6]. Для сопоставимости данных все величины даны в безразмерных единицах, относительно соответствующих величин в 2000 году. Абсолютные значения производства нефти меняются от 31799 тыс. баррелей в сутки до 92649 тыс. баррелей в сутки. Цены на нефть меняются от 11,36 $ за баррель до 121,24 $ за баррель. Цены на бензин в Германии меняются от 35,30 евроцента за литр до 164,50 30 евроцентов за литр.

Рисунок 4 - Динамика производства и цен на сырую нефть и бензин (Германия) относительно 2000 года

Из графиков видно, что цены даже на продукт первичной обработки, в нашем случае бензин, и цены на сырье слабо коррелированы. Следует отметить, что среднее значение отклонений цен (здесь берется среднеквадратичное отклонение) от линейного тренда отличаются по бензину от нефти в 6 раз (0,697/0,115).

Более объективная оценка зависимости или, точнее, отсутствия зависимости может быть получена удалением инфляционного изменения уровня цен. На рисунке 5 показана зависимость между ценами на бензин в Германии и ценами на нефть с пересчетом на уровень инфляции ^[7] в ценах 2017 года.

Рисунок 5 - Соотношение цен нефть - бензин без инфляции

Коэффициент корреляции 0,225 соответствующих рядов за период с 1972 по 2017 говорит об их слабой коррелированности.

Последнее создает значительные трудности при анализе динамики цен на сырьевые продукты. При проведении такого анализа ^[8,9,10,11] выделяют комплекс различных факторов: политические события, скоординированные действия групп поставщиков сырья, биржевые спекуляции, торговлю фьючерсами и ряд других. Важен тот факт, что, практически, все эти факторы не следуют из предыстории и плохо прогнозируются.

Так в справке РосБизнесКонсалтинг (РБК) ^[12] даются такие оценки точности прогнозов: «даже у ведущих организаций … местами ошибка составляет более 50%». Наиболее точными оказались прогнозы Управления энергетической информации США и Всемирного банка. На двухлетнем горизонте среднее отклонение прогноза EIA от фактической цены на нефть составляет 37%. У Всемирного банка на двухлетнем горизонте ошибка составляет 35%, у ОПЕК (43%) и МЭА (44%), у Российское Минэкономразвития на двухлетнем горизонте (38%).

Выводы

Предлагаемая модель оценки зависимости колебаний цен на готовую продукцию от сырьевых ресурсов показывает:

· Для сырья с малой долей переработки - прямую зависимость цен на готовую продукцию от цены на сырье;

· Для сырья с глубокой, особенно многостадийной обработкой - крайне слабую зависимость цен на готовую продукцию от цены на сырье.

Отсутствие существенной зависимости цен на готовую продукцию от цен на сырье при его глубокой многостадийной переработке делает цены на сырье весьма уязвимыми от влияния со стороны случайных с точки зрения условий производства факторов, таких как политические, спекулятивные биржевые и тому подобные. Последнее принципиально не позволяет проводить сколько-нибудь точное прогнозирование на даже относительно короткие периоды (1-2 года).

При ограниченных возможностях производства сырья возникает достаточно жесткая связь между ценами на готовую продукцию и ценами на сырье, что значительно ограничивает спекулятивную составляющую при формировании цен на сырье. В этом случае возможен достаточно точный прогноз цен на сырье на основе анализа возможностей развития производства сырьевой продукции.