Construction of a body with layered structure using Bézier boundary surfaces

Ayusheev Tumen Vladimirovich Doctor of Technical Science Associate Professor, Department of Engineering and Computer Graphics, East-Siberian State University of Technology and Management 670013, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Klyukvennaya, 35 atv62@bk.ru Bulychev Roman Nikolaevich graduate student, Department of Engineering and Computer Graphics, East-Siberian State University of Technology and Management 670013, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Klyuchevskaya, 40 v, of. stroenie 1 buly4ev-roman@ya.ru Motoshkin Petr Vladimirovich PhD in Technical Science Associate Professor, Department of Engineering and Computer Graphics, East-Siberian State University of Technology and Management 670013, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. 1-Ya universitetskaya, 11, of. DNT VSGUTU mpv_mpv@mail.ru

Bubeev Innokentii Trofimovich PhD in Technical Science Associate Professor, Department of Engineering and Computer Graphics, East-Siberian State University of Technology and Management 670023, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. 40 Let Pobedy, 23, kv. 1 it_bubeev@mail.ru

Введение

При численном моделировании процесса инкрементальной формовки листового металла при изготовлении тонкостенных деталей на оборудовании с программным управлением возникает задача построения гладкой поверхности деформирования листовой заготовки, проходящей через заданные точки – узлы интерполяции ^[1]. При этом способе обработки материала давлением, в отличие от обычной штамповки, процесс формовки выполняется постепенно (послойно) в несколько этапов. Форма поверхности для каждого слоя задается определенным образом, чтобы обеспечить требуемую плавную деформацию листового материала без разрывов и заданной толщины. Эта поверхность образуется при движении рабочего инструмента по замкнутому контуру. В результате постепенного осаживания листовой заготовки под воздействием инструмента образуется поверхность слоя. При этом получаемые промежуточные поверхности слоев плавно меняются от одной граничной поверхности (плоская листовая заготовка) до другой (криволинейная поверхность изделия). Количество слоев зависит от требуемой точности получения внутреннего, или внешнего теоретического контура изделия. При численном моделировании такой многослойной конструкции используют поверхностные модели ^[2-4]. Существенным недостатком такого подхода является необходимость преобразования каркаса исходной поверхности при описании поверхности каждого слоя. Кроме того, с увеличением количества слоев растет объем перерабатываемой информации.

Для математического описания таких конструкций наиболее эффективным представляется использовать метод параметрического твердотельного моделирования. В этом методе тело представляется совокупностью ограничивающих его объем криволинейных восьмиугольных порций, граничные поверхности которых заданы параметрически. Многослойную конструкцию можно рассматривать как трехпараметрическое тело, где два параметра будут использованы для описания формы поверхности, а третий параметр – для описания толщины тела. Используя метод ^[5], можно построить уравнение порции трехпараметрического тела, обеспечивая необходимую непрерывность по производным на граничных поверхностях тела. Основной недостаток метода, основанного на применении порций с граничными бикубическими поверхностями Кунса в системе автоматизированного проектирования, связан с необходимостью задания касательных векторов и векторов смешанных производных, что может оказаться трудной задачей для проектировщика ^{[6, 7]}.

Разработан ряд методов, позволяющих преодолеть эту трудность. Наиболее удобным является метод, основанный на применении кривой и поверхности в форме Безье. Наиболее широко используют бикубические поверхности Безье. Это позволяет получать составные поверхности требуемой гладкости при минимуме затрат на вычисление координат и производных в них, а также хранение структуры определяющих форму параметров.

В статье описывается метод построения уравнения порции тела для любой непрямоугольной области. Тело слоистой структуры можно строить по заданному каркасу, не преобразуя его и не размножая информации о нем.

Постановка задачи

Пусть нам задан массив узловых точек поверхности тела моделируемого объекта. Построена сетка кривых, определяющая поверхность тела. Сетка кривых делит поверхность на четырехугольные порции, которые ограничены u, v, w кривыми. Пусть параметрическая длина этих кривых изменяется в пределах от 0 до 1. Тогда r(u,v,w), 0<u,v,w<1, представляет внутреннее пространство порции тела, а r(i,v,w), r(u,j,w), r(u,v,k), i,j,k=0;1, определяют ее известные граничные поверхности (рис. 1).

Рисунок 1. Порция трехпараметрического тела

Необходимо определить функцию r(u,v,w), которая при u=i, v=j, w=k представляет нужную граничную поверхность порции тела, у которых противоположные границы имеют различные параметрические длины. При описании граничных кривых и поверхностей тела использовать параметрическую кубическую кривую Безье. Определить положение контрольных точек из условия непрерывности второй производной на границах порции тела.

Описание порции трехпараметрического тела

В общем случае трехмерный радиус-вектор порции трехпараметрического тела степени (3,3,3) можно записать в виде ^[8]

гдеbi(t) - базисные функции, Pijk- вершины характеристического многогранника.

Порция тела общего вида представляет собой криволинейный каркас, состоящий из 8 угловых точек, 12 граничных кривых и 6 граничных поверхностей (рис. 1). При описании граничных кривых и поверхностей порции тела многослойной конструкции в качестве базисных функций использовались функции Безье 3-степени. Рассмотрим их более подробно.

Описание граничной кривой порции тела

Формула кубической кривой Безье имеет вид ^[9]:

где P_i - вершины характеристической ломаной. Точки P₀ и P₃ являются концами кубической кривой Безье, точки P₁ и P₂ называют контрольными. Кривая Безье не проходит через контрольные точки, но они влияют на ее форму. В частности, прямые P₀P₁ и P₂P₃ являются касательными к кривой в ее концах (рис. 2).

Рисунок 2. Сегмент кубической кривой Безье

Формула (2) определяет кубическую интерполяционную функцию Безье на отрезке ^[0,1]. Говорят, что параметрическая длина этой кривой равна единице.

Для дальнейшего потребуется формула для кубической параметрической кривой Безье, у которой параметр u меняется от 0 до h, где h - расстояние между соседними узлами интерполяции. Введем преобразование s=uh. Тогда сегмент такой кривой можно записать так

Теперь решим задачу проведения гладкой кривой Безье через заданные узлы интерполяции, путем их склеивания по второй производной.

Вычислим первую и вторую производные кривой Безье в ее концевых точках. Дважды дифференцируя по s равенство (3), получаем

Подставив значения s=0 и s=h в выражение (4), получим:

Введем следующие обозначения: узлы интерполяции обозначим через g₀, g₁,…, g_n, кривую Безье, соединяющую узлы g_i, и g_i+1, обозначим через r_i, а ее контрольные точки – через α_i, β_i, i=0,1,…,n-1.

Рассмотрим теперь r_i – кривую Безье, соединяющую узлы интерполяции g_i и g_i+1, параметризованную значениями из отрезка ^[0,h], где h_i =|g_i+1-g_i|. Обозначим в равенствах (5) и (6) контрольные точки через α_i и β_i, получим

Потребуем, чтобы

Используя выражения (7) и (8), получим

Сгруппируем члены с α и β в левую часть, а g в правую. Тогда получим следующую систему уравнений для определения α_j, β_j ^[10]:

Чтобы определить неизвестные величины α_j, β_j, надо задать еще два дополнительных условия, так называемые краевые условия. Потребуем, чтобы вторая производная в начальной и конечной точках равнялась нулю. Получаем уравнения

которые через точки записываются как

Система уравнений (9), (10) вместе с (11) и (12) дает возможность определить контрольные точки кубического параметрического сплайна Безье. На каждом участке тогда сплайн будет определен и его можно рассчитывать по формуле (3).

Используя формулу (3), запишем уравнения граничных кривых порции тела:

Описание граничной поверхности порции тела

Уравнение порции бикубической поверхности Безье имеет вид ^[9]:

где P_ij – вершины характеристического многогранника (рис. 3).

Уравнения граничных поверхностей порции тела имеют следующий вид:

Рисунок 3. Порция бикубической поверхности Безье

Описание порции тела для произвольного каркаса

Уравнение порции трехпараметрического тела (1) для произвольного каркаса в матричном виде будет иметь следующий вид:

Результаты экспериментов

Вычислительный эксперимент показал, что предложенная методика моделирования трехпараметрического для произвольного каркаса может быть использована при решении поставленной прикладной задачи. В рассмотренной модели определяются положения внешних и внутренних поверхностей тела, как при начальном условии, так и при деформации формы с помощью изменения положения вершин характеристического многогранника. Наличие двух промежуточных (контрольных) поверхностей между двумя противоположными граничными поверхностями тела дает возможность дополнительно управлять формой и внутренней плотностью тела, не изменяя при этом положения угловых точек каркаса тела. При описании тел составной формы кубическими функциями обеспечивается требуемый порядок гладкости при математическом описании многослойных конструкций, получаемых методом инкрементальной формовки из листового материала.

Для проведения вычислительного эксперимента были написаны подпрограммы с использованием встроенного языка программирования математического пакета программ MathCAD. Пример построения порции тела слоистой структуры представлен на рис. 4.

Рисунок 4. Пример построения порции тела слоистой структуры

Заключение

Разработаны подпрограммы в среде MathCAD, использующие параметрические тела в форме Безье для моделирования внутренней многослойной структуры и внешней формы трехпараметрического тела. Использование кубической функции Безье с параметризацией по длине дуги для описания тела дает дополнительные преимущества в управлении формой и внутреннего пространства тела, чем конструкция, построенная на применении обобщенной интерполяции Эрмита. Проведенные примеры вычислительных экспериментов показывают, как легко определить и изменить форму и положение промежуточных поверхностей внутри тела.

Авторы рассматривают преимущество этого метода как способность определять граничные и внутренние начальные условия перед численным моделированием многослойных конструкций, получаемых различными технологическими способами, в частности, при инкрементальной формовке листового металла, под воздействием рабочего инструмента. Параметрические трехмерные тела такого типа могут быть эффективно использованы в конечных элементах с нерегулярными границами, чтобы избежать трудностей в построении модели для подобных конструкций.