On logical pluralism and alternative pragmatic theories

Zholkov Sergey PhD in Physics and Mathematics Professor, the Department of Applied Mathematics, Gubkin Russian State University of Oil and Gas (National Research University) 119991, Russia, Moscow, Leninsky Prospekt 65 sergei_jolkov@mail.ru Other publications by this author

Целенаправленная деятельность людей — индивидуумов, человеческих ассоциаций (экономических, социально-политических, религиозных, культурных, профессиональных, этнических), государств и государственных объединений — ее субъектов, в соответствии с их объективными интересами и субъективными ошибками в контексте решения технических, экономических, военно-политических и социальных проблем социума является предметом прагматических теорий. Синтезируя естественнонаучные исследования с социо-гуманитарными, прагматические теории объединяют междисциплинарные методы анализа с принципами научной рациональности, которые В.С. Степин назвал «постнеклассическими» (формирующими третий по счету тип научного мышления ^{[1, с. 633–34,619–22]}). Его характерной чертой Степин считает динамический синтез объектов исследования, средств и операций анализа с целенаправленной социальной деятельностью людей и собственно самим мышлением. Поэтому популярную трехзвенную схему (Субъект ↔ Средства ↔ Объект), объединяющую в неразрывном рассмотрении всех участников опыта и исследования: субъект, средства, объект (напр. ^{[2, с. 105]}), следует дополнить еще одной вершиной — самой теорией и отношениями с указанными тремя, преобразовав ее в четырехзвенную: (Субъект ↔ Средства ↔ Объект ↔ Теория).

Необходимость получения достоверных выводов для принятия адекватных и эффективных прагматических решений накладывает единые требования точности информации и истинности функционального и логического анализа и естественнонаучной, и социо-гуманитарной компонент в синтезе единой заслуживающей доверия теории. Это естественная научная и практическая задача — складывающаяся прагматическая теория станет залогом грядущих успехов или неудач в реальной прагматике — целенаправленной человеческой деятельности.

Как предметная научная теория, в которой разум «имеет дело не только с самим собой, но и с объектами» [Кант: 3, с.14–15], прагматическая теория должна пройти несколько необходимых этапов точного и полного анализа.

1. Выделение информации о значимых предметах исследования и посредством критического анализа информации выявить факты, которые сформируют информационную базу прагматической теории. 2. Построение базиса теории в синтезе ее различных по природе компонент. Развитие представлений о прагматических системах и процессах с помощью технических (функциональных) средств теории (социо-гуманитарные системы, так же как и естественнонаучные конструируются из элементов и сил, но также интересов и мотивов). Получение утверждений и выводов посредством правильного логического вывода (дедукции). 3. Четкая формализация проблем (часто являющаяся ключом к их решению). Синтез естественнонаучного и гуманитарного анализа. Конструктивность, т.е. обязательный поиск мотивов и конкретных механизмов реализации замыслов действующих лиц, а также учет реального соотношения главных интересов и сил и личных качеств властных субъектов. Подробно: ^{[4; 5]}.

Строгая доказательность в оценках и выводах — необходимый компонент любой заслуживающей доверия прагматической теории, поэтому логический анализ всегда будет важнейшей частью создаваемой прагматической теории.

Стремление сформировать надежный прагматический план и принять эффективные решения неизбежно влечет необходимость использовать наиболее надежные формы рассуждений и доказательств в прагматических теориях, к которым можно прибегнуть для получения истинных выводов или проверки истинности каких-то особенно сложных рассуждений. Долгий и детальный анализ позволил математикам найти и формализовать необходимые логические операции и правила анализа в форме исчисления предикатов (ИП) [6.I. Гл.III] или [7. Гл.4; 8, с.37]. Процесс выведения логических формул, называемый в математической логике техникой естественного вывода в ИП, примерно соответствует математическим доказательствам и даже логическому выводу в естественной речи [6.I. Гл.III, §2], и не приводит к каким-либо неприемлемым (противоречащим установленным математическим или естественнонаучным фактам) результатам. Поэтому ИП может рассматриваться как наиболее надежная теория (форма) логического вывода.

Но и здесь одна из аксиом, много столетий казавшаяся бесспорной, вызвала сомнения. Это закон исключения третьего: A¬A (11-я аксиома ИП в ^{[7, с. 47, 158]}) или в эквивалентной форме — закон снятия отрицания ¬¬A→A (10-я аксиома в ^{[6, с.91]} и в ^{[8, с. 37]}). Претензии вполне конкретны: этот закон позволяет применять «доказательство от противного». Но если мы доказываем, что отрицание утверждения о наличии некоторого свойства объекта приводит к противоречию, это нам ничего не добавляет к знаниям об этом предмете.

Обычно в качестве примера приводят следующее утверждение. Докажем, что существуют иррациональные числа α и β, для которых α^β рационально. В самом деле, рассмотрим два случая. Если √2^√2 рационально, то можно положить α=β=√2, поскольку уже Аристотелем и Евклидом доказано, что √2 иррационально. Если же √2^√2 иррационально, то положим α =√2^√2 а β =√2. Тогда α^β=(√2)²=2. Так рационально √2^√2 или иррационально? Никакого ответа из доказательства мы не получаем. Более того, пример чисел α и β выбран неудачно: если мы возьмем α =√2 и β = 2log₂3 ^{[7, с.71]}, то α^β=√2^2log₂3=2^log₂3=3, а иррациональность таких α и β известна из элементарного курса математического анализа. Тем не менее, приведенное доказательство иллюстрирует проблему неплохо.

Эта же проблема возникает для «теорем существования». Из доказательств многих теорем о существовании искомого объекта (например, максимума непрерывной функции на отрезке или существования проекции в бесконечномерном пространстве) нельзя извлечь способ, позволяющий этот объект конструктивно построить. Также для объекта, который является результатом бесконечного процесса (например, иррациональное число), несправедливость какой-либо гипотезы на каждом шаге построения не означает, что она не верна вообще. примеров такого рода, ставших к настоящему времени классическими, набралось достаточно.

Таким образом, для математиков не общефилософские соображения типа протеста против «проекта единственной и единой логики – логики, идущей от Аристотеля и стоиков, общей для всех людей и характерной для их способа правильного мышления на всех языках», о которых пишет В.Л. Васюков ^{[9, с.70]}, а вполне конкретные и конструктивные вопросы математики стали причиной появления «неклассической» логики. Стремление к единственно возможной математике или, так сказать, к «математическому монизму» не характерно для высокоразвитой математики по крайней мере с 20-го века (см. напр. ^[10]). Математика — наука, а не идеология, в ней нет априорных запретов, «принцип толерантности» Р. Карнапа в форме «наше дело не устанавливать запреты, а получать логические заключения, в логике нет моральных запретов» созвучен духу математики. Так что, «бунт математиков против устоявшихся образцов доказательств и аргументации» ^{[9, с. 71]} — последняя из возможных мотиваций для математиков для введения и анализа неклассических логик. Не «а почему бы нет?», а «что в результате получится?» — вот целеуказание для математиков.

Если мы исключим из аксиоматики ИП закон снятия отрицания (или закон исключения третьего), сохранив, разумеется, все остальные, получится интуиционистское ИП ^{[8; 7, 2.4]}. Иная (но равносильная) аксиоматика, как классического, так и интуиционистского ИП, в которой больше правил вывода, но меньше аксиом приводится в ^{[8, с. 38–39]}. Существует еще один вариант исчисления предикатов ^{[8, с. 40–48]} или исчисления высказываний ^{[7, с.63–69]}, более удобный для анализа синтаксической структуры выводов и поиска контрпримеров — так называемое исчисление секвенций.

Рассматривая интуиционизм и как математическую, и как философскую концепции, укажем его следующие принципиальные идеи. Необходимо детально проанализировать, каковы допустимые границы применимости классической логики (к примеру, по мнению интуиционистов, закон исключения третьего может быть бесспорно применим только по отношению к логическим формулам с конечной объектной областью или, иными словами, к конечным множествам). Прекратить некритическое применение актуальных бесконечностей и детально исследовать конструктивные объекты и последовательности выбора. Уделить особое внимание проблеме реализуемости истинных в смысле классической логики формул и рекурсивным операциям (формулам). Принять возможность не только исключения отдельных «классических» результатов, но и появления принципиально новых ^{[11; 12; 8]}.

В дальнейшем мы будем классическое исчисление предикатов сокращенно обозначать CPC, а интуиционистское – HPC ^{[8, с.37–38]}, а в качестве общего названия использовать обозначение PC.

Более жесткие требования ограничиться только конструктивными объектами и алгоритмами как операциональными средствами, в максимально возможной степени исключить идеальные объекты и использовать язык арифметики первого порядка и конструктивные алгоритмы определят несколько иное направление — конструктивизм ^{[13; 14; 15; 8]}.

Ограничиваясь высказываниями (пропозициями) и аксиомами 1–10 в версии аксиоматики в ^[6] или аксиомами 1–11 в версии аксиоматики в ^[7] (10-я аксиома зависима, она выводится из остальных ^{[7, с.54]}) и правилом вывода MP (modus ponens), получим исчисление высказываний (пропозиций) – ИВ. В дальнейшем мы будем проводить сравнения с логической схемой "противоречивой математики", изложенной К. Мортенсеном ^[16], поэтому некоторые математические детали необходимы.

Заметим, даже варианты классического ИВ, изложенные в ^[6] и ^[7], различаются (в ^[6] не выполняется теорема о дедукции из-за введения в теорию второго правила вывода — правила подстановки). Так что, и здесь никакого стремления к единственно возможной математике не наблюдается.

Значительная часть формул ИВ выводятся в интуиционистском исчислении высказываний, однако с другой стороны, многие законы классической логики перестают быть выводимыми без закона исключения третьего ^{[7, с. 72–74]}. Отметим, интуиционистское ИВ может быть интерпретировано логикой с трехзначной истинностной оценкой подобно тому как классическое — в форме алгебры логики (АЛ) с двузначной оценкой; причем, как мы увидим, интуиционистские таблицы истинности будут принципиально отличаться от таблиц «противоречивой логики» ^{[16, 17]}.

Если в классической логике каждая пропозиция имеет две истинностных оценки — истина (1) и ложь (0) то в интуиционистской АЛ добавляется еще одна — «неопределенная оценка» истинности пропозиции, которую логично отождествить с числом 1/2. Конъюнкция определяется как минимум из двух значений оценок, а дизъюнкция — как максимум. Истинностные оценки импликации и отрицания задаются следующей таблицей

Таким образом, <1→x>=x и <0→ x>= 1, где < > обозначает истинностную оценку. Может возникнуть вопрос: почему <¬1/2>=0, а не 1/2? В случае справедливости определенных выше таблиц всякая интуиционистски выводимая формула является 3-тавтологией ^{[7, с. 75–76]}. А в случае оценки <¬1/2>=1/2, например, выводимая в интуиционистской логике формула непротиворечия ¬(p¬ p) при оценке <p>=1/2 имела бы истинностную оценку 1/2, а не 1.

Удобная и хорошо интерпретируемая даже в прагматическом смысле конструкция, которая будет использоваться далее и для других логик, была предложена С. Крипке ^[18] — она называется моделью (или шкалой) Крипке. В ней новые логические формулы (которые можно интерпретировать как утверждения, расширяющие знание) строятся индуктивно по размеру (сложности) формулы. Формально это приводит к построению частично упорядоченного множества, элементы которого называют вынуждающими условиями или возможными мирами (что, если угодно, можно рассматривать как философскую метафору). Больший по введенному порядку мир интерпретируется как результат развития меньшего мира или как «развитие цивилизации» ^{[8, с.97,155; 7, с.76–79]}. Доказано: если в некотором мире установлено, что данное высказывание истинно, то оно останется истинным и при дальнейшем развитии цивилизации. Напротив, из истинности отрицания данного высказывания в этом мире следует, что ни при каком развитии цивилизации из этого мира оно не станет истинным.

Совсем другую логику дает реализация иной идеи: ослабить требование непротиворечивости. Как известно, принцип непротиворечия ¬(A¬A) как закон логики Аристотель считал «самым достоверным из всех начал» (Метафизика. IV.4). Галилей, Ньютон и Кант также считали, что не существует объекта, реализующего противоречивый предикат, в современных обозначениях ¬ x(P(x)¬P(x)). В логике PC группа формул называется совместной, если существует набор значений переменных, при которых все формулы из этой группы истинны. Группа формул называется противоречивой, если из нее одновременно выводятся и некоторая формула A и ее отрицание (в противном случае она называется непротиворечивой). Всякая совместная группа формул непротиворечива (теорема корректности PC). Напротив, всякая непротиворечивая группа формул совместна (теорема о полноте PC).

В PC если выводимы (истинны) две формулы, одна из которых является отрицанием другой (т.е. А и ¬А одновременно), то выводима (истинна) формула А¬А, а из выводимости А¬А следует выводимость любого высказывания (в том числе любого ложного). Это свойство также сокращенно именуется ECQ (ex contradictione quodlibet). Таким образом, противоречивая теория, в которой принята классическая логика (точнее, PC), ложна (ее также называют тривиальной). «Когда речь идет о логической несовместимости, то имеют в виду только то отношение, которым два предиката вещи в силу противоречия упраздняют друг друга и свои следствия», утверждает Кант ^{[3, с.47]}.

С точки зрения современной логики все сложнее. Нетривиальную логическую систему (или группу формул) называют тривиализуемой ^[19] (или абсолютно противоречивой), если в результате присоединения к ней некоторого конечного числа каких-либо формул в качестве аксиом получается тривиальная система. Любая нетривиальная группа формул PC тривиализуема, так как присоединение к ней в качестве аксиом двух формул, одна из которых есть отрицание другой, превращает группу в тривиальную. Содержательная неклассическая логика, в которой «легализовано» противоречие и из противоречия не всегда следует «все, что угодно», была построена С. Яськовским в 1948 г. В дальнейшем, главным образом в работах логиков латиноамериканской школы ^{[20; 21]} были построены подобные формальные логические исчисления, названные «paraconsistent logics», что на русский принято переводить как паранепротиворечивые логики.

В 1983 г. Л.И. Розоноэром было построено пропозициональное исчисление PCont (Contradiction), которое оказалось равнообъемным паранепротиворечивому исчислению РI^s, построенному А. Арруда в ^[21], а также построен язык первого порядка LPCont, основанный на классической логике и включающий в себя PCont в качестве языка-объекта. В LPCont классическая логика играет роль формального метаязыка для PCont.

Следует отметить, что паранепротиворечивая логика в ^[17] рассматривается в первую очередь как необходимый компонент искусственного интеллекта, который должен моделировать не только восприятие и поведение человека, но и когнитивную и теоретическую (научную) деятельность. То есть как практическая и технологическая задача.

Первые 8 аксиом (схем аксиом), не содержащие отрицания, такие же, как в классическом ИВ; точнее, вторая аксиома несколько иная, но в результате получается равносильный фрагмент аксиоматики. Кстати, то же для первых аксиом, не содержащих отрицания, у Мортенсена ^{[16, с.16]}. Правило вывода MP и первые 8 аксиом определяют пропозициональное исчисление Р⁺, которое в ^{[18, с. 119]} именуется «позитивным». В PCont справедливы все выводимые правила Р⁺. Согласно теореме 1 ^{[18, с.120]}, формула, не содержащая отрицания, выводима в PCont тогда и только тогда, когда она есть логический закон (двузначная тавтология) классического СPC.

Но формулы с отрицаниями — другие, начиная с того, что конъюнкция пропозиции и ее отрицания – противоречие, но не ложь. В интерпретации АЛ истинностные оценки формул PCont задаются трехзначной таблицей истинности. К истинностным значениям 0 и 1 добавляется новое промежуточное значение c (contradiction). То есть, вводится новая порядковая цепь: 0<c<1. Конъюнкция определяется как минимум из двух значений оценок, а дизъюнкция — как максимум. Истинностные оценки импликации и отрицания задаются следующей таблицей ^{[17, с.120]}:

разумеется, такая же таблица у Мортенсена ^{[16, с. 22]}. Символы импликации и отрицания в paraconsistent logics отличаются от символов PC вполне обоснованно: это другие операции. Например,

В паранепротиворечивой логике логическая формула называется 3-значной паратавтологией, если при любых истинностных значениях своих переменных она принимает лишь значения 1 и с. Таким образом, 3-паратавтология принципиально отличается от интуиционистской 3-тавтологии.

Часто истинностное значение "противоречиво" предметно интерпретируют как "бессмысленно" (напр. ^{[17, с. 117]}). Это неудачное толкование: противоречие обязательно подразумевает, что формулы наделены смыслом и установлена противоречивость; бессмысленными логичнее именовать неправильно построенные формулы. «Противоречие» — это именно absurdum, противоречивые описания явлений или то, что в практике может описывать сущности, пребывающие в разладе с самим собою. Или религиозные откровения и истины противоречащие общепринятым человеческим выводам, интуитивно принимаемым людьми как истинные: «Бог невидим, хотя и является повсеместно; неосязаем, хотя благодатию своею и начертал в нас образ свой; непостижим, хотя человеческий разум и познает его...», взволнованно пишет Тертуллиан ^{[22, с.41–42]}. «Душа моя горит желанием проникнуть в эту необъяснимую для нас тайну», пишет об этих проблемах Августин. Кратко это было выражено в его знаменитом тезисе "credo, quia absurdum" – верю, ибо абсурдно (логически абсурдно). Но, как мы видим, absurdum постигается не только верой, но и разумом.

Справедлива теорема: формула выводима в PCont, если и только если она есть 3-паратавтология ^{[17, с. 120]}, так что вывод (доказательство) не влечет истинности. Так например, формула непротиворечия неистинна, так же, как ее отрицание неложно; то же для закона исключения третьего. Доказательство формулы А в PCont означает не «истинность» А, а ее «неложность».

Зато в PCont выполнен «принцип недоказуемости из посторонних соображений» (если A₁(p₁,..., p_n),...,A_k(p₁,..., p_n) |– B(q₁,..., q_n), причем среди переменных p₁,..., p_n, q₁,..., q_n нет одинаковых, то |– B(q₁,..., q_n)) а также PCont нетривиализуемо ^{[17, с.121]}. Также в LPCont невыводим (и не является даже 3-паратавтологией) дизъюнктивный силлогизм (AB)¬А→В, справедливый в интуиционистском HPC (и, разумеется, в PC). Кроме того, PCont является максимальным фрагментом PC, т.е. добавление к нему любой недоказуемой в нем формулы в качестве схемы аксиом либо дополняет его до классической логики, либо делает его тривиальным.

В построенных в [17. II] исчислениях первого порядка LPCont (без кванторов) и LP¹Cont, содержащих PCont, выполняются все схемы аксиом классической логики. В них классическая логика играет роль формального метаязыка для PCont, а формулы логики PCont трактуются как функциональные термы. Как и дóлжно, логические формулы выводимы в LPCont если и только если они являются тавтологиями [17.II, с. 98]. Понятие противоречивости относится в языке двухуровневого LPCont к термам нижнего уровня: противоречивость некоторого терма А означает, что приведено доказательство формулы «противоречиво А». Логика двухуровневого исчисления может выявлять, противоречия нижнего уровня, однако на верхнем уровне никакие «собственные» противоречия недопустимы и выполнен принцип «из противоречия следует все» и другие законы классической логики PC.

Как показывает Розоноэр [17. II, с. 98,102], в построенных исчислениях (так же, как и в исчислении, построенном А. Арруда ^[21]) выполняется «закон исключенного четвертого» — идея, высказанная Н.А. Васильевым (а также Я. Лукасевичем) в 1910–12 гг. ^{[23; 24]}. Общая идея Васильева: аристотелевская логика – не единственная из возможных логик (подобно тому, как евклидова геометрия, по мнению Лобачевского, была только одной, но отнюдь не единственной из возможных геометрий) формализуется, как мы видим, далеко не единственным способом. Параллель с «воображаемой» геометрией Лобачевского приводилась Васильевым как аргумент общего характера в пользу идеи существования «неаристотелевской» логики. Но идеи — не доказательства. Вспомним, «воображаемая» геометрия Лобачевского по-настоящему получила признание лишь после того, как в 1868 г. итальянским математиком Эудженио Бельтрами (E. Beltrami) в труде «Опыт толкования неевклидовой геометрии» был приведен пример поверхности постоянной отрицательной кривизны (см. рис. ниже), на которой реализовывались аксиомы геометрии Лобачевского (отрезками на поверхности Бельтрами считаются геодезические, а движения на евклидовой плоскости заменяются на перемещения по сфере с изометрическими деформациями).

Традиционными можно назвать претензии к импликации классической логики. Логические законы А→(В→А) и А→(¬А→В) (кстати, их доказательство в терминах АЛ очень просто: А→(В→А)`<=>` A→(¬BА)`<=>`¬А¬BА `<=>` V и А→(¬ А→В) `<=>` А→(АВ) `<=>` ¬АAB `<=>` V) принято считать парадоксами, поскольку истинность следствия и самой импликации определяется истинностными значениями связываемых высказываний и не требует смысловой зависимости посылки и заключения. Так же для вывода А |– В ложность (или противоречивость) посылки А влечет истинность никак не связанного с ней заключения В. Хотя оценка этого свойства материальной импликации как парадоксального восходит к мнению таких выдающихся логиков, как Вильгельм Аккерман и Стефан Клини, она далеко не бесспорна. Если мы будем интерпретировать истинность импликации как верность самих рассуждений безотносительно содержания посылки и следствия, то рассуждения следует считать ошибочными только тогда, когда истинная посылка приводит к ложным следствиям. Это соответствует истинностной таблице импликации. Предметная содержательность в импликации PC не заложена так же, как в логике не заложены, например, методы исследования динамики процессов — этим занимаются математический анализ, теория дифференциальных уравнений и стохастический анализ динамических систем. С этой точки зрения трудно согласиться с приводимым В.Л. Васюковым ^{[9, с. 71]} мнением С. Рида, будто единственной логикой, верно проводящей различия между правильным логическим следованием как связью между высказываниями по содержанию и неправильным следованием, может быть только релевантная логика, поскольку если заключение действительно логически следует из посылок, то эти посылки должны быть релевантны заключению. Другая трактовка этих проблем — рассмотренный выше «принцип недоказуемости из посторонних соображений».

Объективнее было бы сказать: если мы хотим придать анализу логического вывода дополнительные свойства связи по содержанию, эту задачу стремится решить релевантная логика. Достижение этой цели Мортенсен называет «второй мотивацией исходящей из исследований Андерсона и Белнапа о релевантности или концептуальной связи» ^{[16, с. 2]}. Различные системы релевантной логики излагаются А. Андерсоном, Н. Белнапом и Дж. Данном в ^[25].

Здесь можно усмотреть определенную параллель с математическими теоремами существования. Сравнивая «чистые» теоремы существования с конструктивными теоремами существования, содержащими явный метод (алгоритм) нахождения (или построения) искомого объекта, можно ослабить интуиционистские оценки и говорить не о некой «ущербности» неконструктивных теорем, а только о том, что конструктивные несут большую познавательную ценность.

Обсуждая побудительные мотивы легализации противоречия, следует отметить аргументацию К. Мортенсена, с которой невозможно согласиться. С первой же страницы книги он открывает мотивацию парасовместимости отсылкой к так называемым парадоксам наивной теории множеств. Схему неограниченного свертывания (Мортенсен именует ее неограниченной абстракцией множества), согласно которой совершенно произвольная формула φ(x), интерпретируемая как условие (свойство), задает замкнутый терм {x | φ(x)}, определяющий множество: «множество всех объектов, которые обладают свойством φ(x)», он почему-то считает «самой естественной для принятия» ^{[16, с.1]}. Напротив, φ(x) может определять свойство, относящееся ко всем множествам, в том числе и к вновь образуемому {x | φ(x)}; так происходит ссылка на себя. Такое построение называется непредикативным — это порочный круг. Неудивительно, что он быстро приводит к противоречиям типа «множества всех множеств» или множества Рассела и проч. В 1905 г. Рассел описал порочный круг так: «Если для того, чтобы определить множество, необходимо использовать всё множество, то определение не имеет смысла». По мнению некоторых логиков и математиков [М. Клайн: 10, с.241] часть парадоксов обязаны своим происхождением употреблению слова «все», которое неопределенно и многозначно. «Мы не можем при определении множеств исходить из произвольных условий, а затем разрешать всем построенным множествам без разбора быть элементами других множеств», резюмировал Рассел эти дискуссии.

Более того, дескриптору {•| φ(•)} не запрещено образовывать концепты — изначальные, ранее не заданные объекты. Это недопустимо, так не может строиться правильная теория, дескриптивное определение к концептам неприменимо: попытка определить их через другие термины (понятия) приводит к появлению иных понятий, также нуждающихся в определении. Концепты задаются не дефинициями, а теми отношениями, операциями и свойствами, которые указаны в аксиомах — другого способа ввести их в теорию нет (детально: ^{[4, с. 69–70,76,78]}). Это осознал еще Аристотель: в Аналитике I (Гл.27. Кн.II) он пишет о непрямой идентификации сущности объекта свойствами в качестве его «признаков».

Отметим важный семантический аспект: корректно построенная фраза языка (как например «множество всех множеств») может не быть корректной в математическом смысле, что еще раз подчеркивает, что проблемы математики и естественных наук не являются лингвистическими проблемами языка.

Таким образом, в «неограниченной абстракции множества» нет ничего ни «естественного», ни вдохновляющего.

Теория множеств Цермело–Френкеля ZF (или ZF⁺), построенная как корректная математическая теория, свободна от этих противоречий. Схема неограниченного свертывания не принимается — она заменена более ограничительной аксиомой выделения. Выразительные средства ZF ограничены так, что образовать противоречивые «множество всех множеств» (универсум) или множество Рассела нет никакой возможности. Никаких противоречий в ZF не выявлено, и на ее фундаменте получены содержательнейшие математические результаты. Поэтому нет никаких оснований называть, это «попыткой ослабления абстрактного понимания множества ad hoc», как то делает Мортенсен ^{[16, с.1]}. Однако в силу теоремы Гёделя о непротиворечивости нет и оснований говорить о полном решении проблемы непротиворечивости.

Другая аксиоматическая система — GB, в которой участвуют не только множества, но и классы, была предложена К. Гёделем и П. Бернайсом. Теории ZF и GB равнонепротиворечивы в том смысле, что каждая теорема ZF является теоремой GB и, наоборот, любая теорема о множествах в GB будет теоремой ZF. Еще одна аксиоматическая теория множеств была предложена В. Куайном. Несколько формализаций теории множеств основаны на теории типов. Так что, паранепротиворечивый подход, «основанный на признании существования некоторые истинных противоречий» нельзя назвать лучшим путем устранения антиномий, как то утверждает Мортенсен ^{[16, с. 2, 4]} — это лишь один из возможных подходов.

Вопреки распространенному мнению дилетантов, одной, единственно возможной математики не существует (к примеру, среди выдающихся математиков нет единого мнения, что «естественнее»: принимать континуум-гипотезу или отвергать ее ^[26]) — как математики (и математика) пришли к такому выводу убедительно и вполне доступно рассказывает М. Клайн в ^[10]. Нет шансов прийти к единому мнению и единому толкованию. Нестандартные модели арифметики и существование несчетного множества в счетной модели (псевдопарадокс Скулема (T. Scolem) — не содержащий никаких противоречий!) только подтверждают этот тезис. Так что, как уже отмечалось, математический монизм не свойственен математике — нет никаких запретов на исследования в парадигме paraconsistent logics или иные альтернативные логические конструкции: квантовая логика, нечеткая, и проч. (напр. ^{[27, 28]}).

Однако отметим, все так называемые неразрешимые проблемы теории множеств: континуум-гипотеза(CH), аксиома выбора(AC), аксиома счетного выбора (AC_^ω), существование неизмеримых по Лебегу множеств, гипотеза Суслина, аксиома Мартина и проч. исследованы посредством доказательства независимости и совместимости с ZF дополнительных аксиом. То есть в основе исследований лежит доказательство (подтверждение) именно непротиворечивости каждого из расширений ZF. Этот подход подобен расширению абсолютной геометрии в евклидову прямолинейную и неевклидовы геометрии (см. аналогию Н. Васильева) или построению различных цепей Крипке.

Здесь уместны несколько слов о терминологии. Как уже говорилось, paraconsistent принято переводить на русский как «паранепротиворечивый». Но «закон непротиворечия» — это «law of non-contradiction». А consistent — это и «совместимый», и «непротиворечивый». Название знаменитой работы К. Гёделя «The consistency of the axiom of choice and of the Generalized continuum-hypothesis with the Axioms of Set Theory» ^[29] переводится (УМН. 3. N.1. 1948) как «совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств», и по смыслу речь идет именно о доказательстве совместимости CH с ZF, и строится именно совместимое (без противоречий) расширение ZF. Не точнее ли и вернее изменить акценты и переводить paraconsistent как «парасовместимый» и inconsistent как «несовместный», а не «противоречивый»?

Обсуждая проблемы онтологии как «наиболее абстрактной теории реальных объектов», В.Л. Васюков считает, что «в некотором смысле первопорядковая логика детерминируется универсумом моделей, которые и определяют внутреннюю онтологию языка. Поскольку все эти модели представляют собой множества, то роль онтологии для логики выполняет, таким образом, теория множеств... любой философский анализ (касающийся не только онтологии) может проводиться лишь в рамках различных расширений теории множеств...» ^{[9, с.76–77]}. Мортенсен идет дальше и предлагает считать полем для проверки фундаментальных идей и концептуальных логических схем всю математику: «Я хотел бы заострить внимание на том, что единственный способ установить приемлемость парасовместимой точки зрения — продемонстрировать существование богатой и интересной несовместимой математики» ^{[16, с.11]}. Я согласен с этим подходом и предлагаю выбрать в качестве модели (интерпретации) для формальных философских теорий математику в том смысле, что общефилософские конструкции, оказавшиеся неверными на математике как объектной области, как на модели, следует считать по меньшей мере подозрительными. Такой подход логично назвать принципом математической толерантности.

Еще одна проблема (Мортенсен [с.9] называет ее третьей причиной изучения несовместимых теорий), касающаяся прежде всего социально-политических концепций, связана с возможными противоречиями (конфликтами) между несколькими источниками информации, к тому же часто недостоверными. Эта проблема касается специфики социо-гуманитарной информации (о ней см. [4.Гл.1; 30]). Противоречивость гуманитарной информации – серьезная проблема, поэтому результаты, вытекающие из ослабления закона непротиворечия в схемах «противоречивой логики» могут представлять значительный интерес. Критический анализ информации и выявление противоречий — проблема теории информации и обязательный этап исследований, предшествующий созданию теории. Заметим, последовательное сокращение зависимых данных массива информации, о котором пишет Мортенсен [с.9], ничего не дает для устранения противоречий.

На стадии исследований, предваряющих создание теории, могут появляться противоречивые данные и суждения, впоследствии устраняемые, часто предварение научной теории сопровождается «обычными неформальными рассуждениями, в которых присоединение противоречивых утверждений к непротиворечивой системе не вызывает никаких неприятностей для последней: обычно быстро выявляется источник противоречий, противоречивые суждения обнаруживаются и устраняются» [17.I, с. 114]. Формализация этой процедуры или системная работа с противоречивыми суждениями полезны и в практическом отношении.

Также следует иметь в виду различное понимание логики в контексте математизации и в контексте гуманитарной коммуникации (как «логика дискуссий») или лингвистики. «Размножение логик» — это также естественная попытка упорядочить коммуникативные диалоги и противоположные мнения и добиться взаимопонимания в целом, дав разные возможности языков коммуникации субъектов. В этом случае «логика» понимается как интерсубъективная схема, включающая общие: язык, семантику и схему рассуждений. Формализация и упорядочение диалектических диалогов, превращающие в содержательные дискуссии те «птичьи базары», которые нам всем постоянно приходится слушать в СМИ (и не только) — полезные процедуры.

Указанные выше неразрешимые проблемы теории множеств (ZF или GB) свидетельствуют о неединственности истины в идеальных теориях с инфинитными основоположениями и процедурами — после доказательства совместимости можно расширить ZF как до теории (ZFC = ZF+AC), так и до (ZF +¬AC), и мы можем считать каждую расширенную теорию истинной. При этом каждая из теорий имеет свои недостатки и не может претендовать на роль абсолютной истины ^{[31, с.484–87]}, но все непротиворечивы.

Неединственность истины в математике — твердо установленный факт, поэтому расхожее мнение, будто только в гуманитарных конструкциях могут быть, образно говоря, правы и прокурор, и адвокат, и судья, ошибочно.

Каковы причины противоречивых позиций в реальной прагматике?

Аналогом абстрактных идеальных аксиом математических теорий являются отвлеченные принципы (правила): религиозные, этические, сословные, мистические и проч., которые кладутся людьми в основы принятия решений и последующих действий. Это – первая группа причин неединственности прагматических теорий, ее можно считать соответствующей причинам неединственности математических (естественнонаучных) теорий. Другая группа связана с возможностью существенно различной расстановки приоритетов. Эволюционный социальный опыт не дает однозначных директив, какие принципы или приоритеты следует предпочесть, поэтому выбор носит субъективный характер и в этом смысле является такой же неразрешимой проблемой, как и неразрешимые проблемы в основаниях математики. Вдобавок изложению (или оправданию) занятой позиции часто сопутствуют многословные туманные рассуждения, в которых нелегко разобраться. К тому же сложность выбора стратегии и действий усугубляется неполнотой, неопределенностью, недостоверностью и прочими особенностями прагматической информации. Так что, ничего противоестественного в альтернативных прагматических теориях нет.

Множественность истины означает наличие нескольких истин, а не их отсутствие или замену истины на некие «мнения» и «смыслы». Это накладывает значительные требования к верификации основоположений и теории в целом. Доверие к дальнейшим выводам может обеспечить только строгий безупречный логический вывод. Только выстраивание исследования реальной прагматики в форме основательной и доказательной теории, включающей: полное представление и анализ предметной информации; правильную формализацию проблем, системный анализ и доказательность; обязательный поиск мотивов и конкретных механизмов реализации замыслов действующих лиц, позволяет перейти от описания прагматики к ее пониманию и "вычислению". В любом случае альтернативная теория должна быть проанализирована и доказательно квалифицирована либо как ошибочная, либо как недостоверная, либо как опровергающая, либо как возможная альтернатива.

Однако. Когда отсутствует достаточная информационная база или она неустранимо противоречива, говорить об истине в прагматическом анализе нет оснований. Также догматические принципы, не имеющие эмпирических оснований (они подобны отвлеченным понятиям и аксиомам инфинитных теорий), могут не позволить дать истинностную оценку или могут служить основанием альтернативных теорий. Тогда методы paraconsistent logics могут помочь в прагматическом анализе.

В зависимости от интерпретации паранепротиворечивую логику можно использовать в двух формах. Либо как средство работы с противоречиями как с функциональными термами, выявления источника противоречивых суждений и устранения его в рамках двухуровневой логики, где верхний уровень (типа метаязыка) с классической логикой без противоречий восстанавливает истинность и доказуемость. Либо построить формализованную логику, в которой легализованы противоречия (т.е. их истинностная оценка не «ложь») и операции с противоречивыми суждениями.

Для прагматических теорий первый вариант предпочтительнее. Вряд ли разумный человек согласится лететь на самолете, который может прилететь благополучно, а может и разбиться, или жить в доме который и рухнет и не рухнет. Вряд ли кто станет выполнять программу, в которой ему указано идти одновременно и направо, и налево. Однако есть ситуации, в которых противоречия сглажены из-за того, что пограничные ситуации плохо определены. Возможным для применения представляется вариант, когда объектная область ограничена так, чтобы противоречивая логика не легализовала предикаты, неприемлемые по прагматическим причинам. Даже такой сторонник paraconsistent logics как Мортенсен пишет: «Здесь можно признать, что мир непротиворечив (совместим), так что, несовместная база данных неизбежно была бы некорректной (Here it can be conceded that the world is consistent, so that an inconsistent database would inevitably be incorrect somehow)» ^{[16, с.9]}.

Более перспективным для прагматического анализа представляется выстраивание непротиворечивых альтернативных теорий подобно математическим теориям или цепям Крипке. Классическое исчисление предикатов и его интуиционистский (конструктивистский) вариант исследовались многие десятилетия – в настоящее время нет сомнений, что мы можем вполне доверять их выводам и методам доказательств (финитным), заложенным еще трудами Д. Гильберта, Б. Рассела, П. Бернайса, К. Гёделя, Я. Брауэра и А. Гейтинга. Для уверенности в выводах прагматической теории и принятых решениях следует использовать наиболее надежные логические схемы: слишком велика цена ошибок — человеческие судьбы и даже жизни.

Однако наиболее убедительным будет объективный аргумент: предпочтительным следует признать тот подход, который наиболее богат глубокими и неочевидными результатами (такой же аргумент выдвигает и Мортенсен ^{[16, с. 5, 11]}). Пока de facto таковым является непротиворечивый подход. Но по мере накопления содержательных результатов в paraconsistent logics положение может измениться.