Construction and investigation of a filtration model for a suspension in a porous soil

Gorbunova Tatiana Nikolaevna PhD in Technical Science associate professor of the Department of Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering, Department of Information Systems and Technolologies, Moscow Polytechnic University 107023, Russia, g. Moscow, ul. B.semenovskaya, 38, of. 4603 tngorbunova@yandex.ru Other publications by this author

Введение

При строительстве зданий и сооружений на непрочном грунте необходимо укрепить грунт и создать прочный фундамент. Строительство подземных сооружений, туннелей, хранилищ опасных химических и радиоактивных отходов требует создания надежной защиты от грунтовых и паводковых вод. Для укрепления фундаментов и создания водонепроницаемых стен в непрочный пористый грунт под давлением закачивается жидкий укрепляющий раствор (укрепитель). Раствор заполняет поры грунта и при застывании создает водонепроницаемый слой, укрепляя фундамент ^{[1, 2]}.

Целью работы является моделирование движения взвешенных частиц суспензии и коллоидов и образования осадка в пористом грунте для различных режимов фильтрации. Исследуются распределения твердых частиц различных размеров, переносимых жидкостью-носителем и осевших на каркасе пористой среды, при различной скорости роста осадка.

Фильтрация суспензий и коллоидов в пористой среде - сложный физико-химический процесс, определяющий перенос частиц и образование осадка на скелете пористой среды. В зависимости от типа раствора и пористой среды на фильтрацию в большей или меньшей степени влияют электрические и гравитационные силы, диффузия, вязкость и т.д. Если распределения размеров частиц и пор перекрываются, а укрепитель и грунт не вступают в химическое взаимодействие, то основной причиной осаждения частиц является механизмы удерживания частиц ^{[3, 4]}. Взвешенные частицы могут свободно проходить через крупные поры и задерживаются на входе пор с диаметром меньшим размера частиц.

Для описания распространения взвеси одинаковых твердых частиц в рыхлом грунте используется одномерная математическая модель фильтрации монодисперсной суспензии в пористой среде ^[5-7]. Модель включает гиперболическую систему уравнений первого порядка с несогласованными начальными и граничными условиями, порождающими разрывные решения. В настоящей работе рассматривается модифицированная математическая модель для полидисперсных сред, описывающая конкуренцию частиц различных размеров за малые поры. Частицы каждого размера подчиняются классическим уравнениям фильтрации монодисперсной суспензии; взаимодействие частиц различных размеров обеспечивают коэффициенты фильтрации, зависящие от полного осадка ^{[8, 9]}.

В работе выполнен численный расчет задачи фильтрации полидисперсной суспензии в пористой среде для различных коэффициентов фильтрации. Вычислительная схема построена на основе метода конечных разностей ^[10]. Получены решения с разрывом на фронте концентраций взвешенных и осажденных частиц. Проведена апробация вычислительного метода и найденных численных решений.

В разделе 2 строится математическая модель фильтрации раствора с твердыми частицами разных размеров в пористой среде. Раздел 3 посвящен методам численного решения задачи. В разделе 4 приведены результаты численных расчетов. Дискуссия и Выводы в разделах 5 и 6 завершают работу.

Математическая модель

Безразмерные уравнения одномерной фильтрации рассматриваются в бесконечной полуполосе , неизвестными являются объемные концентрации взвешенных C_i(x,t)и осажденных частиц S_i(x,t). Уравнение переноса описывает баланс масс взвешенных и осажденных частиц; уравнение кинетической скорости определяет рост осадка.

(1)

, i=1,…n (2)

с краевым и начальными условиями

x=0: C_i(x,t)=p_i, p_i> 0 (3)

t=0: C_i(x,t)=0, S_i(x,t)=0 (4)

Здесь S общий осадок S=S₁+S₂+…+S_n; функции ; i=1,…,n непрерывны и положительны.

Функции называются коэффициентами фильтрации. Они определяются экспериментально. Если имеет положительный корень S_M, то коэффициент фильтрации называется блокирующими. S_M является предельным максимальным полным осадком, соответствующим запиранию всех малых пор пористой среды.

Несогласованность условий (3) и (4) в начале координат порождает разрыв решения. Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц движется с постоянной скоростью v=1 и делит область на две подобласти

и . В области система (1) – (4) имеет нулевое решение; в области решение положительно. Поскольку не согласованы условия для концентрации взвешенных частиц, то решение C_i(x,t) имеет сильный разрыв (скачок) на фронте концентраций — характеристической прямой t=x. Решение S_i(x,t) непрерывно в и имеет слабый разрыв на фронте концентраций (скачок производных).

Уравнения (1), (2) образуют квазилинейную гиперболическую систему уравнений первого порядка.

Схематическое изображение решения представленной модели показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема решения задачи (1)–(4).

Методы

Нелинейные модели фильтрации лишь в отдельных случаях допускают точные аналитические решения ^[11-13]. При отсутствии точных решений можно строить асимптотику ^[14-16]. Большинство задач не имеют аналитических решений, в этих случаях необходимо использовать численные методы ^[17-19].

Особенностью данной задачи является наличие разрывных начально-краевых условий, что приводит к трудностям в получении приемлемых решений вблизи линии разрыва – фронта концентраций. Как правило, многие вычислительные методы дают хорошие результаты для гладких решений и неприменимы в окрестности разрывов и зон быстрых осцилляций.

Для численного решения представленной модели использовались вычислительные схемы на основе метода конечных разностей. Наложим на исследуемую область сетку с постоянным нагом h по длине фильтра х и τ – шаг сетки по времени t. Соотношение между шагом τ по времени и шагом h по координате x выбирается из условия сходимости Куранта: .

Для решения уравнения (2) был использован модифицированный метод Эйлера, где предиктор -разность «вперед» для половинного шага по времени, корректор -также разность «вперед» уже с учетом полученного предиктора и по всему шагу по времени ^[20].

Было исследовано несколько точечных схем, показанных на рисунке 2.

Рис. 2. Шаблоны вычислительных схем метода конечных разностей.

Исследование поведения этих схем и сравнение численных расчетов с точным решением для известных случаев, позволило установить, что схема b, показавшая сходимость порядка шага сетки, является оптимальной для данной модели.

Численный расчет

Шаги по времени и координате выбраны равными 0.001. Расчеты проводились для значений времени t=0 и t=5. Выбраны квадратичные убывающие блокирующие коэффициенты фильтрации с общим корнем S_M=1. Рассмотрены два случая.

1. Коэффициенты фильтрации

Рис. 3. Концентрации частичных осадков и полного осадка

a) на входе пористой среды x=0; b) распределение осадков в пористой среде при t=5.

Рис. 4. a) Концентрации на выходе пористой среды x=1

a) частичных осадков и полного осадка; b) взвешенных частиц двух размеров.

2. Коэффициенты фильтрации

Рис. 5. Концентрации частичных осадков и полного осадка

a) на входе пористой среды x=0; b) распределение осадков в пористой среде при t=5.

Рис. 6. a) Концентрации на выходе пористой среды x=1

a) частичных осадков и полного осадка; b) взвешенных частиц двух размеров.

На практике интерес представляет расчет решения на выходе пористой среды x=1, где его можно сравнить с экспериментальными данными. На рис. 4, 6 показаны излом концентрации S осажденных частиц и разрыв концентрации C взвешенных частиц на фронте концентраций.

Дискуссия

В работе рассчитана сложная нелинейная модель фильтрации, не имеющая аналитического решения. В таких случаях для выбора численного метода, как правило, рассматривается модель, имеющая аналитическое решение. Численные решения, полученные разными методами, сравнивают с точным решением, и выбирают наилучшее.

Однако не всегда метод, подходящий для простого примера, применим для сложной модели. В задачах фильтрации для апробации выбранного численного метода можно использовать аналитические свойства решений, следующие из физического смысла глубокой фильтрации. Поскольку процесс фильтрации начинается от входа пористой среды x=0, то решения C_i(x,t); S(x,t) монотонно убывают по x при фиксированном t. В заданной точке пористой среды осадок растет, при этом процесс фильтрации замедляется, и концентрация взвешенных частиц растет. Таким образом, решения C_i(x,t); S(x,t) монотонно возрастают по tпри фиксированном x.

Рисунки 3-6 показывают, что численное решение обладает необходимыми свойствами монотонности и с ростом времени стремится к максимальным предельным значениям С_Mi=p_i; S_M =1. Это позволяет сделать вывод о приемлемости выбранного численного метода и адекватности полученного решения.

Заключение

Предложена математическая модель фильтрации полидисперсных суспензий и коллоидов в пористой среде с удерживающим механизмом, описывающая конкуренцию частиц различных размеров за малые поры.

Численное решение задачи найдено вычислительным методом на основе метода конечных разностей. Представленная явно-неявная трехточечная схема сохраняет монотонность, переводя монотонно возрастающее решение с предыдущего временного слоя на последующий с тем же направлением изменения, а также показывает приемлемый порядок сходимости. Получены решения с разрывом на фронте концентраций. Проведена апробация разработанного численного метода.

Новая модель переноса частиц разных размеров в пористой среде позволяет исследовать динамику проникновения раствора в рыхлом грунте.

Построенные вычислительные конечно-разностные схемы позволяют находить решение сложных систем уравнений с хорошей точностью при умеренном объеме вычислений.