Pythagoreanism and Platonism in mathematics: history and modernity

Iashin Boris Leonidovich Doctor of Philosophy Professor; Department of Philosophy, Institute of Social and Humanitarian education, Moscow Pedagogical State University 117571, Russia, g. Moscow, ul. Prospekt Vernadskogo, dom 88, к.1 jabor123@rambler.ru Other publications by this author

Многие современные философы и историки математики в своих работах утверждают, что первой философской теорией математики был пифагореизм. С этой точкой зрения нельзя не согласиться, так как в дошедших до нас источниках утверждается, что именно пифагорейцы, называвшие себя в честь своего учителя Пифагора, обнаружили в математике выражение глубинной сущности мира, нечто связанное с истинной и неизменной природой вещей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число», именно «число владеет … вещами» ^{[1, с. 143]}. Видимо, поэтому К. Маркс назвал Пифагора «статистиком мироздания» ^{[2, с. 32]}.

К этой идее пифагорейцы пришли благодаря тому, что сумели связать представления о Мире – Космосе - с идеями порядка, меры и гармонии, которые, как они полагали, вполне можно было выразить посредством чисел. Обожествив число, пифагорейцы положили его в основание своей философии, сводя все отношения, существующие в реальном мире, к количественным отношениям. Другими словами, первоначалом, первосущностью всех имеющихся многообразных внутрикосмических связей в нашем мире для пифагорейцев стало именно число.

Через «призму» числа и числовых отношений в пифагорейской школе стали рассматриваться не только чувственно воспринимаемые вещи, но и их свойства, и отношения. Эти последние стали трактоваться здесь по аналогии со свойствами того или иного числа или числового соотношения как проявление числовой гармонии.

Однако число стало для пифагорейцев не только первоначалом мира, оно было возведено у них в базовый принцип познания, так как благодаря числу человек может мыслить «нечто» как определенное, имеющее границу, предел. А, кроме этого, число дает, по их мнению, возможность отличать одно от другого, возможность различать.

Надо сказать, что пифагорейцы собственно в математике достигли многого. В области геометрии их заслугой было построение довольно большой части планиметрии прямолинейных фигур, доказана хорошо известная сегодняшним школьникам теорема Пифагора и решена задача заполнения плоскости правильными многоугольниками, а пространства – правильными многогранниками. Оценивая вклад Пифагора и его последователей в геометрию, можно сказать словами Прокла, что они придали ей «форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения» ^{[1, с. 143]}.

Немало сделали пифагорейцы и в арифметике. Прежде всего, надо отметить, что они выделили отдельную область - теорию чисел, в которой рассматривались общие свойства операций с натуральными числами. Здесь ими были найдены признаки делимости чисел и сумм простейших арифметических прогрессий, среднего арифметического и среднего геометрического. Они выявили признаки совершенных чисел (чисел, которые равны сумме всех своих делителей, отличных от самого числа) и обнаружили способ отыскания целых пифагоровых чисел, удовлетворяющих соотношению . И это далеко не полный перечень их заслуг.

Однако из всех открытий, приписываемым пифагорейцам, наиболее важным, по мнению многих ученых и философов, является открытие несоизмеримых отрезков. Оно явным образом противоречило их учению о том, что с помощью отношений между рациональными числами, единственно только и считавшимися у пифагорейцев числами, возможно выражение любой величины. Обнаружилось, что с помощью этих чисел никоим образом нельзя выразить диагональ квадрата со стороной равной единице. Пифагорейцам удалось доказать, что величина диагонали такого квадрата, равная , не является отношением целых чисел.

Доказательство этого факта строилось весьма просто. Если представить величину √2 с помощью отношения двух взаимно простых чисел p иq в виде равенства √2 = p/q, то после возведения в квадрат левой и правой части равенства получим, что . Из чего следует, что число p – четное,а числоq – нечетное. Однако из того, что p = 2r следует, что . А это, в свою очередь, означает, что число , а следовательно и q - четные. Налицо противоречие. Когда пифагорейцы убедились, что это доказательство безупречно, они поняли, что их учение о числе как первооснове всего сущего столкнулось с серьезными трудностями.

По сути дела, открытие несоизмеримых отрезков нанесло сокрушительный удар по обожествлению пифагорейцами целого числа, так как поставило под сомнение важнейший пункт их философской доктрины «единица – начало всего» ^[3]. Оно нарушило имевшуюся гармонию между геометрией и арифметикой, что требовало не только пересмотра исходных принципов математики, но и оснований построенной ими философской модели мира.

Это открытие, по мнению многих ученых и философов, привело к кризису греческой математики, который оказался первым кризисом в истории математики. Для античной математики оно стало поворотным пунктом в ее истории, так как «привело к созданию новых, очень тонких и глубоких теорий» ^{[4, с.72-73]}.

Осознав, что арифметика не может быть основанием для геометрии и что геометрические абстракции или категории имеют более общий характер по сравнению с числами и их отношениями, пифагорейцы пришли к выводу о необходимости положить в основание математики именно геометрию. Создав исчисление в геометрической форме, которое в дальнейшем получило в литературе название геометрической алгебры, греческие математики восстановили нарушенную гармонию между геометрией и арифметикой.

Однако следует отметить, что вскоре в использовании методов геометрической алгебры обнаружились определенные трудности, которые возникали из-за необходимости оперирования с математическими объектами, имеющими неоднородные характеристики (отрезками, прямоугольниками, параллелепипедами). Эти трудности сохранялись до тех пор, пока Декарт окончательно не отбросил требования, связанные с однородностью математических объектов, и не стал рассматривать как отрезки, а любое алгебраическое уравнение - как соотношение между числами. Вдобавок к этому надо сказать, что вскоре обнаружились слабости средств геометрической алгебры, связанные с невозможностью получить точные решения задач типа хорошо известных уже в то время задач о трисекции угла, об удвоении куба и о квадратуре круга.

Тем не менее, геометрическая алгебра пифагорейцев еще долгое время оставалась прочным фундаментом античной математики. Этому способствовали и такие достижения греков, как созданный Евдоксом Книдским «метод исчерпывания», широко использующийся математиками Древней Греции при определении площадей и объемов; разработанная им же общая теория пропорций, которая, по сути, была геометрическим аналогом теории положительных вещественных чисел; классификация квадратичных иррациональностей Теэтета и Евклида.

Надо отметить еще одну сторону значения открытия несоизмеримых величин: оно фактически подготовило переход от качественного, субстанциального понимания бесконечности к пониманию ее как определенной числовой характеристики вещей и процессов, т. е. – к количественной трактовке бесконечности. Важную роль в формировании такого подхода к пониманию бесконечности сыграло «учение Анаксагора о «семенах вещей» («гомеомериях», как называл их Аристотель), в котором впервые была выдвинута мысль о возможности разложения объекта на бесконечно большое число бесконечно малых частей» ^{[5, 16-17]}.

Существенное значение для укоренения количественного подхода в понимании бесконечности имела и позиция Аристотеля, для которого бесконечность была тем, «вне чего всегда есть что-нибудь», тем, у чего нет ни начала, ни конца. Бесконечное – это нечто становящееся. Иными словами, бесконечность в его понимании существует лишь как потенциальная бесконечность. Для Аристотеля это является очевидным фактом, хотя бы потому, что бесконечности ставшей, завершенной, т. е. актуальной бесконечности, с его точки зрения попросту не существует, так как все имеющее предел, завершение нельзя считать бесконечным.

В дальнейшем оказалось, что количественная трактовка бесконечности, введение ее в упорядоченный мир числовых отношений, смешивание понятий актуальной и потенциальной бесконечности и использование в практике работы с бесконечными величинами одних и тех же способов, что и с конечными, нередко приводило к ошибкам, заблуждениям и противоречиям. Такое положение дел осложняло выход из кризиса, в котором оказалась античная математика в связи с открытием несоизмеримых величин.

Тем не менее, следует отметить, что введение Аристотелем понятий актуальной и потенциальной бесконечности и разработкой им достаточно убедительной концепции последней, острота этого кризиса, в определенной мере была снята. Созданные же Евклидом «Начала», где он учел и достижения пифагорейцев, и уроки решения знаменитых задач о трисекции угла, квадратуре круга и удвоении куба, а также вытекающие из них требования ограничения на использование таких средств геометрических построений как идеальные циркуль и линейка, способствовали преодолению кризиса основ древнегреческой математики.

Говоря о заслугах пифагорейцев, нельзя не согласиться с Р. Пенроузом, который считал, что в первую очередь среди их достижений, несомненно, надо выделить, «обоснование концепций доказательной истины и элементарного понятия числа» ^[6].

Глубокая убежденность пифагорейцев в гармонии окружающей их физической реальности, представляющей собой проявления законов математики, во многом способствовала установлению ими не только глубокой связи между арифметикой и геометрией, но и числовыми соотношениями между длинами струн и созвучиями звукоряда. «Благодаря достоверно установленным числовым закономерностям», - отмечает Р. Пенроуз, - пифагорейцам «удалось открыть вневременную природу математики.Это открытие абсолютной роли числа с течением времени не претерпело изменений и в этом смысле стало подлинно истинным. Понятие числа считается более «элементарным», чем понятия пространства и времени. Поэтому геометрические истины уже не обладают подобным фундаментальным постоянством» ^[6].

На современном этапе развития науки и философии пифагореизм по-прежнему имеет своих сторонников. Некоторые из них как, например, М. Тегмарк, полагают, что эффективность аппарата математики, используемого при описании реального мира, связана с тем, что сама математика представляет собой реальность. Отталкиваясь от концепции пифагорейцев, он высказывает весьма интересную идею о том, что любой объект математики, любая ее структура является, по сути дела некоторой вселенной, что сама наша Вселенная есть не что иное, как математический объект. А окружающий нас Мир в своей основе, считает он, имеет априорную структуру, изоморфную классической реляционной системе. Иными словами, М. Тегмарк, по сути дела, утверждает, что мы живем в гигантском математическом объекте и все в нашем мире чисто математическое — включая нас самих.

Поэтому, он считает, что эти вселенные не только изоморфны, они совпадают. А, значит, тезис пифагорейцев «космос есть не более чем математика» справедлив. И хотя истинная математическая структура, изоморфная нашему миру пока еще не найдена, по его мнению, следует продолжать ее поиск до тех пор, пока остается надежда, что когда-нибудь обязательно будут найдены математические уравнения «теории всего», идеально описывающей нашу внешнюю реальность во всех масштабах ^[7].

Теория М. Тегемарка, действительно, показывает тесную «взаимосвязь идеального мира чисел с его воплощением в рациональное отношение человека к реальности», что в настоящее время проявляется в различных отраслях науки и практики, в культуре в целом. «Цифровой» образ мышления с очевидностью обнаруживает себя сегодня в «онтологизации математических моделей в мире медиакультуры и образования» ^[8]. В этой «цифровой экспансии» приоритетными направлениями являются инженерная лингвистика, медиадизайн, технологии виртуализации и др.

Многие историки и философы математики отмечают, что проникновение пифагореизма в европейскую культуру стало возможным, прежде всего, благодаря философии Платона, который в своем понимании математики и ее роли в познании мира многое взял у пифагорейцев. Поэтому некоторые исследователи, ссылаясь на имеющееся определенное сходство этих философских концепций математики, пытаются их отождествить. Однако с этим нельзя согласиться, так как математический платонизм и математический пифагореизм вместе с некоторыми общими чертами имеют и весьма существенные отличия. В чем же состоят эти отличия?

Прежде всего, считаю важным отметить, что пифагореизм и платонизм расходятся в том, как математическая реальность соотносится с чувственно-воспринимаемым миром. Если у представителей первого эта реальность, либо тождественна миру чувственного опыта, либо представляет собой некий его каркас, присущую ему основу, то представители второго утверждают, что математические объекты существуют вполне реально. И кроме этого приверженцы математического платонизма настаивают на том, что человеческий ум обладает способностью, которая в определенной мере отличается от восприятия и которая производит все наилучшие интуиции о поведении этих объектов.

Сам Платон и его последователи полагают при этом, что математическая реальность не тождественна реальному физическому миру, что она представляет собой даже нечто более реальное, чем этот мир. Что сам этот мир вполне может мыслиться как производное от реальности математической. Объекты математики у Платона «существуют как особые сущности между миром идей и миром материальных вещей», а «математические высказывания описывают в действительности не реальные физические объекты, а некие идеальные сущности. Именно у него впервые «обретают подлинное право на существование «идеальные объекты», то есть такие объекты, которые в принципе не могут существовать в мире физических феноменов» ^{[9, с. 468 – 469]}.

Иными словами, можно сказать, что все математические структуры для платоников имеют место быть только в «третьей реальности». Их нет ни в реальности окружающего нас мира, ни в реальности самой математики. Познание этой «третьей реальности», которая и является для них единственно достоверной, возможно лишь с помощью средств, которыми обладает математика. Однако, с их точки зрения, доказательства существования какой-либо связи математики с окружающей нас действительностью нет, как нет и подтверждения того, что математика на самом деле верно описывает эту действительность ^[10].

Вот что пишет об этом знаменитый астрофизик, четверть века работавший с данными космического телескопа «Хаббл», Марио Ливио в одной из своих книг.

«Согласно платонизму, реальное существование математических понятий – столь же объективный факт, сколь и существование самой Вселенной. Существуют не только натуральные числа, окружности и квадраты, но и мнимые числа, функции, фракталы, неевклидовы геометрии, бесконечные множества, а также самые разные теоремы, которые их описывают. Короче говоря, каждое математическое понятие или «объективно истинное» суждение … когда бы то ни было сформулированные или возникшие в чьем-то воображении, и бесконечное количество понятий и утверждений, еще не открытых, - все это абсолютные сущности, или «универсалии», которые нельзя ни создать, ни уничтожить. Они существуют независимо от наших знаний о них. Нет нужды говорить, что это не физические объекты, они обитают в автономном мире сущностей» ^[11].

Позиция платоников по отношению к математике весьма лаконично и достаточно ясно была выражена Шарлем Эрмитом еще в XIX веке. «Я полагаю, - писал он, - что числа и функции Анализа не являются произвольным продуктом нашего ума. Думаю, что они существуют вне нас, обладая характером необходимости, присущим объективной реальности, и что мы встречаем их, открываем их и изучаем их, как это делают физики, химики и зоологи» ^[12].

Именно на девятнадцатый век приходится пик развития математического платонизма, когда многие ученые и философы, как и Галилей, были убеждены, что «математика является языком, на котором Бог написал Вселенную». Основанием для этого был очевидный факт: математика с помощью арсенала имеющихся у нее средств позволяла весьма просто выразить числовые и геометрические отношения реального мира.

Из того, что математическая реальность существует вне нас, как считали многие ученые и философы, стоявшие на позициях платонизма, ими делался вывод, что задачей исследователей должно быть обнаружение и наблюдение этой самой реальности, а теоремы, которые доказываются и которые считаются их творениями, представляют собой всего лишь отчеты об этих наблюдениях ^[13].

Термин «математический платонизм» появился сравнительно недавно. Его введение в философию науки связывают с именем П. Бернайса, который в 1934 г. написал статью, названную им «О платонизме в математике». В ней он раскрывает суть тенденции в математике, утвердившейся «в особенности в философии Платона», состоящей, как пишет П. Бернайс, «в рассмотрении объектов отдельно от всех связей с мыслящим субъектом» ^[14].

С его точки зрения, «ценность платонистически вдохновленных математических концепций» состоит в том, что «они представляют модели абстрактного воображения», которые не только «выделяются своей простотой и логической силой», но и «формируют представления, экстраполированные из конкретных областей опыта и интуиции». П. Бернайс уверен, что именно поэтому применения этих концепций широко распространены в математической науке, и «что не будет преувеличением сказать, что платонизм царит ныне в математике» ^[14].

Казалось бы, что это давно известное и хорошо изученное направление философии математики в век цифровых технологий отжило свой век и забыто. Однако это не так. Многие, если не большинство, из числа работающих сегодня математиков являются по своим убеждениям явными или «стихийными» платониками.

«Работающий математик, - пишет В. В. Целищев, - как правило, в душе является платонистом. Это означает, что он верит в объективное существование математической реальности, исследованием которой занимается. Для него математические сущности столь же реальны, как для зоолога — кенгуру. Он должен быть убежден в том, что открываемые им объекты и их свойства существуют независимо от его ума, и сама математика не является просто “выдумкой”» ^[15].

Эту точку зрения подтверждают и американские ученые Ф. Дэвис и Р. Херш. «Типичный работающий математик, - утверждают они, - является платоником по рабочим дням и формалистом по выходным. Другими словами, когда он занят математикой, он убежден, что имеет дело с объективной реальностью, свойства которой он и пытается определить. Но когда от него требуют философского осмысления этой реальности, он находит, что проще делать вид, что он, в конечном итоге, не верит в нее» ^{[16, р. 321]}.

К сторонникам платонизма в математике относят сегодня таких известных ученых как К. Гёдель и В. Куайн, А. Конн и Д. Мамфорд, Р. Пенроуз и Х. Патнэм , Г. Фреге и др. Возникает вопрос «Почему же математики, придерживающиесяэтой концепции,несмотря на её серьезную критику, остаются на позициях платонизма?»

Причины этого, на мой взгляд, коренятся в том, что «работающие математики» не обременены поиском ответов на философские вопросы, которые ставит перед ними математика. Эту позицию, как мне кажется, можно объяснить достаточно легко: они их не замечают в силу того, что представления, на которых базируется платонистская концепция математики «абсолютно естественны и просты». «Работающие математики» уверены в том, что все «математические объекты существуют вне и независимо от человеческого сознания. Больше того, они существуют не в материальном мире, а в мире идеальных сущностей» ^{[17, с.10]}.А, кроме того, «работающие математики» полагают вполне естественным и существование огромного числа математических истин, среди которых есть уже открытые и еще неоткрытые, и считают целью своей работы расширение круга первых.

Для математиков-платонистов вполне очевидно, что все математические структуры существуют лишь в «третьей реальности» (первые две – это реальность окружающего мира и реальность нашей человеческой математики). Аксиомы же суть средство познания и описания этой единственно достоверной «третьей реальности» − огромного мира плоскостей, функций, простых чисел, бесконечности и прочих математических предметов в их подлинном, «идеальном» плане. Научного обоснования существования какой-либо связи математики с окружающим нас реальным миром и подтверждения правильности его описания наукой для платоников не существует.

Иными словами, с точки зрения платонистов, математика, будучи результатом деятельности человека, с помощью созданного им языка выражает объекты этой «третьей реальности», представляющие собой внечувственные сущности, которые существовали всегда. Объекты эти не создаются математиками. Они их не изобретают, а только лишь открывают.

Необходимо подчеркнуть, что математики-платонисты второй половины XX века, в отличие от представителей античного платонизма, убежденных в существовании всеобщих понятий, форм (идей), предшествующих существованию реальных предметов, говорят об особого рода абстрактных объектах - «математических отдельных предметах» («mathematical entities»), существующих вне пространства и времени. Практически все они, среди которых есть такие известные математики, как К. Чихара, M. Даммитт, П. Мэдди, M. Резник, сходятся во мнении, что этими предметами являются числа, множества и функции ^[18].

Возвращению платонизма в современную математику во многом способствовал В. Куайн, который в своих известных тезисах ^[19] писал об отсутствии оснований для утверждений о наличии качественных различий естественнонаучных и математических высказываний в отношении их онтологического и эпистемологического статуса. Он настаивал на том, что «придание онтологического статуса тем или иным конкретным или абстрактным предметам зависит только от того, содержатся ли указания на эти предметы в высказываниях, которые являются необходимыми для формулирования наиболее простой и эффективной теории, и от областей значений переменных, связанных с этими указаниями» ^[18].

Говоря о широком распространении платонизма среди современных математиков, нельзя не согласиться с мнением известного итальянского ученого Г. Лолли о весьма значимой роли, которую сыграл в поддержке этой концепции К. Гёдель. «Обаяние платонизма, - пишет Г. Лолли, - опирается, прежде всего, на авторитет Гёделя, который не ограничился одной лишь верой, а пытался обосновать его» ^{[20, с.10]}.

Свою точку зрения относительно математики и ее объектов К. Гёдель отчетливо выразил в одной из своих работ ^[21], где он, сравнив математику с физикой, утверждал, что математические объекты, какими являются, например, классы и концепции, вполне могут рассматриваться точно так же, как и объекты физики, как реальные объекты. Классы – в качестве «множественности объектов» или структур, состоящих из множественностей объектов. Концепции – «как свойства и отношения между объектами, которые существуют независимо от наших определений и построений». Признание этих и им подобных объектов К. Гёдель считает не менее законным, чем признание реальных объектов, с которыми имеет дело физика, а, значит, есть такое же основание верить в их существование».

Г. Лолли пишет, что, по мнению К. Гёделя, такого рода объекты «необходимы для обеспечения приемлемой системы математики в том же самом смысле, в котором физические тела нужны для удовлетворительной теории наших сенсорных ощущений», а суждения, которые высказываются об этих объектах в обоих случаях невозможно интерпретировать иначе как утверждения о «данных», то есть, во втором случае о действительных сенсорных ощущениях» ^[22].

Математический платонизм такого рода Дж. Коул (Julian C. Cole) называет «объект-платонизмом». Его суть состоит в единстве трех тезисов: 1) существуют некоторые математические объекты; 2) эти математические объекты абстрактны; и 3) эти математические объекты не зависят от любых рациональных действий ^[22].

Надо сказать, что в настоящее время ученые и философы, говоря о математическом платонизме, выделяют различные его формы: онтологический, эпистемологический и методологический платонизм, платонизм «полнокровный» или «полный» (plenitude), который называют еще и «зрелым» (full-fledged), простой и гиперплатонизм, платонизм монистический и плюралистический... И каждый из них имеет свои особенности.

Так, например, онтологический платонизм, четкому взгляду которого в отношении математики , как считает В. В. Целищев, мы обязаны Г. Фреге, не только признает числа абстрактными объектами, но и приравнивает роль этих объектов в математике «к роли обыденных объектов в физике, без всякой попытки осуществить редукцию одних сущностей к другим» ^{[23, с. 496]}.

Онтологический платонизм, по сути дела, опирается на веру в то, что, хотя математики и не знают, верно или неверно они рассуждают, искренно «верят в то, что они делают это верно, и движутся в нужном и правильном направлении исследования» ^{[9, с. 477]}.

Представители эпистемологического платонизма, в основе которого лежит представление о том, каким образом познаются абстрактные математические объекты, считают (Г. Фреге и К. Гёдель, например), что суть этого способа, состоит в признании того, что «познание подобного рода связано с некоторого рода восприятием, которое аналогично, но не тождественно чувственному восприятию» ^{[23, с. 496]}.

Одной из важнейших характеристик методологического платонизма можно назвать широкое использование неконструктивных математических методов, в частности, закона исключенного третьего, непредикативных определений и непредикативных множеств.

Все три названные разновидности платонизма, которые, как показывает В. В. Целищев, обнаруживаются во взглядах Г. Фреге, по его мнению, являются «наиболее отчетливым выражением того, что называется платонизмом в математике» ^{[23, с. 496]}.

В основании «плентьюдного» или, как его еще называют, «полного» (plenitude) платонизма, лежит идея о том, что любая математическая теория содержит в себе представления о ее объектах, которые должны безоговорочно приниматься в качестве существующих реально, если они не содержат противоречий ^{[24, с. 54]}.

Иными словами, если произвольно данные аксиомы не противоречат друг другу в своих следствиях, то тогда они считаются истинными, а вещи, определяемые аксиомами, - существующими. Это положение Д. Гильберт считал критерием и истины, и существования в математике. Однако, несмотря на это, он «не стал “полнокровным платонистом”, потому что для него некоторые (даже непротиворечивые) объекты все-таки не существовали» ^{[23, с. 501]}.

Несколько иначе суть этой разновидности математического платонизма, которую называют еще и «полнокровным», «зрелым» платонизмом (plenitudinous or full-blooded platonism - FBP), раскрывает Дж. К. Коул. Фундаментальная идея FBP заключается в том, считает он, что человеческие существа могут иметь достаточно обоснованные истинные убеждения о «платоновском математическом царстве» - особой математической области, удовлетворяющей тезисам существования, абстрактности и независимости, которая тем или иным образом оказывает влияние на нас, а мы определенным образом влияем на нее.

Кроме этого Дж. К. Коул считает необходимым иметь в виду, что связь между математическими теориями и математической сферой в FBP, во-первых, является чисто формальной (purely schematic) или, по крайней мере, близкой к таковой. А, во-вторых, - что математическое царство ОЧЕНЬ большое и содержит объекты, которые связаны друг с другом всеми возможными способами, которыми объекты могут быть связаны друг с другом ^[22].

В рамках этой формы математического платонизма, как считает В. А. Шапошников, признается существование «особой математической области, которая независима от нас (нашего языка, мышления и социальных практик) и «населена» абстрактными объектами». Эти объекты, утверждает он, «пребывают в некотором смысле «вне» пространства и времени, а также «вне» системы казуальных (причинно-следственных) связей физического мира». Высказывания математиков об этих объектах, придерживающихся концепции «зрелого» математического платонизма, считаются зависимыми «от того правильно или нет они описывают эти объекты», а сама деятельность математиков – состоящей «в открытии, а не изобретении» ^{[25, сс. 411- 414]}.

Об «умеренном платонизме», на позициях которого стоят многие «работающие» математики, пишут Е. М. Вечтомов и Н. В. Михайлова. По мнению Н. В. Михайловой, «суть умеренного платонизма состоит в том, что смыслы математических сущностей «изначально заданы в своей потенциальной и непроявленной форме», что снимает «возражение о том, что гипотетические платоновские сущности не могут быть познаны в силу «каузальной», или причинной, теории познания» ^{[9, с. 472]}.

Е. М. Вечтомов в своем понимании сути «умеренного платонизма» и его роли в развитии математики, на мой взгляд, идет дальше Н. В. Михайловой. Он уверен в том, что платонизм именно этой формы может стать философской основой математики. С его точки зрения, это определяется тем, что «умеренный, освобожденный от крайностей и мистики, платонизм, служащий реальной методологией действующих математиков, соответствует природе математики, является подходящей философией познания, способной правильно оценить, что такое математика» ^{[26, с. 209]}.

Считаю вполне возможным согласиться с Ю. И.Семеновым в том, что наиболее важными характерными чертами, свойственными современному математическому платонизму, являются следующие.

Во-первых, - он опирается на идею существования в математике специфической предметной области, по отношению к которой и определяется значение истинности математических утверждений.

Во-вторых, - в рамках математического платонизма считается, что каждое математическое высказывание является обозначением какого-либо предмета этой области. В таком случае оказывается, что условия их истинности не имеют принципиальных отличий от условий истинности предложений языка обыденного общения.

В-третьих, - в силу того, что семантика предложений в этом случае определяется их грамматической структурой, оказывается возможным применять к ним «обычные» денотационные теории значения.

Наконец, в-четвертых, - математическая наука приравнивается здесь по своей сущности к эмпирическим наукам, т. е. с точки зрения научного реализма ^[18].

Тот факт, что платонизм в математическом познании и сегодня сохраняет прочные позиции, как мне кажется, во многом связан с тем, что многие математики в своей практической деятельности осознанно или неосознанно опираются на идею о существовании особого рода математических сущностей (объектов). Эти объекты, во-первых, - являются абстрактными, во-вторых, - не зависят от любых наших рациональных действий, и, в-третьих, - «понимаются не как конструкции разума, а как отражение глубинных форм окружающего нас мира» ^{[27, с. 24]}.

Одним из серьезных аргументов в пользу идеи о существовании «третьей» реальности («царства» математики), находящейся между миром идей и миром вещей, где и существуют вполне объективно математические понятия, высказанной Платоном, может служить и то, что «удаленные друг от друга древние цивилизации строили математику на одних и тех же понятиях, которые не утратили своего значения до настоящего времени» ^{[27, с. 24]}.

Прочность позиции математического платонизма среди современных математиков можно объяснить, как мне кажется, еще и тем, что с его помощью достаточно легко и просто интерпретировать повседневную практическую деятельность математика.

Вместе с тем, нельзя не отметить, что у концепции математического платонизма имеются серьезные оппоненты. Хорошо известна, например, аргументация П. Бенацеррафа, которая, как он полагает, доказывает ложность математического платонизма.

«1. Люди существуют в пространстве и во времени.

2. Если существуют абстрактные математические объекты, они существуют вне пространства и времени.

3. Если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа.

Следовательно,

4.Если математический платонизм верен, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа.

5.Человеческие существа имеют-таки математическое знание.

Следовательно,

6. Математический платонизм не верен» ^{[28, сс. 51 - 52]}.

Из этих тезисов можно сделать вывод, что П. Бенацерраф не согласен с платонистами, не только в понимании ими сущности объектов математики, которое остаётся в рамках теории Платона, но и в том, что в качестве этих объектов они не предлагают ничего, кроме собственно платоновских идей. Поэтому он считает, что все положения математического платонизма, которые базируются на предпосылке, утверждающей онтологический статус математических объектов, не могут быть приняты.

Среди философов и ученых есть и те, которые критикуют платонизм, считая его бессодержательным даже по постановке вопроса. Так, например, А. Сло­ман, скептически оценивая позицию Р. Пенроуза по отношению к платонизму в математике, утверждает, что «нет никакой разницы, существуют ли математические объекты до их открытия или нет». Поэтому, не имеет смысла «спрашивать, существуют ли все целые числа, или существуют ли они независимо от нас, и все дело в том, что понятие существования весьма плохо определено» ^{[28, с. 40]}.

Математический платонизм подвергается критике и в силу того, что, принятие его тезиса о том, что нет никаких устойчивых вещей, существующих вне отношений и наблюдателей, ведет к принятию и положения о том, что не существует и платоновских идей, в том числе независимых от людей платонических математических объектов. Из этого делается вывод, что взгляды математиков-платонистов являются всего-навсего коллективной иллюзией. Правда, автор статьи при этом делает оговорку, что эта иллюзия «не вредит фатально результатам их (математиков) работы» ^{[29, с. 40]}.

Еще одним возражением математическому платонизму является утверждение о том, что, будучи результатом «склон­ности математиков к вневременным и внепространственным сущ­ностям», он «идет вразрез с естественными науками, где изучаются сущности, находящиеся в пространстве и во времени. Больше того, некоторые философы полагают, что такая страсть математиков име­ет некоторый нормативный характер, выражающий в известной мере ценности математиков» ^{[28 , c. 39]}.

Необходимо отметить, что, несмотря на то, что концепция математического платонизма активно критикуется и сегодня, многие его исследователи обращают внимание на то, что в этой критике имеются и слабые места.

Не все ученые и философы принимают, например, аргументы против математического платонизма, сформулированные П. Бенацеррафом. Некоторые из них считаются недостаточными хотя бы потому, что при защите платонизма, как полагает В. В. Целищев, вполне возможно отказаться от утверждения о существовании абстрактных математических объектов вне пространства и времени. Или же, приняв тезисы (1) и (2), отказаться при этом от признания того, что тезис (3) – «если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа» - является логическим следствием (1) и (2). Этот вариант является менее радикальным при защите платонизма, но именно его, по мнению В. В. Целищева, придерживается большая часть исследователей [28 c. 39].

Есть и такая точка зрения, в соответствии с которой, если следовать анализу П. Бенацеррафа, то «числа sui generis, как они существуют, не могут быть вообще идентифицированы как числа». Сама же аргументация П. Бенацеррафа в целом, с помощью которой он пытается «решающим образом опровергнуть» позицию математического платонизма, не приводит его к успеху, утверждает Ю. И. Семенов, ссылаясь на одну из работ Р. Бублака ^[30]. Это связано с тем, как считает последний, что она «является некорректной» и П. Бенацерраф «ошибается, когда полагает, что указанные условия корректности описания чисел являются достаточными для поставленной перед ними задачи» ^[18].

Ю. И. Семенов пишет о трех вариантах защиты стандартно-платонистской позиции перед онтологической аргументацией, которые предлагает Р. Бублак:

- «структурный платонизм», признающий аргументацию П. Бенацеррафа, но остающийся на стандартно-платонистской позиции, где математическими объектами «становятся не числа как отдельные предметы, а математические структуры»;

- «арифметический платонизм», возможный при условии опровержения хотя бы одного из трех первых аргументов, в котором «естественными математическими предметами» можно было бы считать натуральные и все действительные числа;

- «теоретико-множественный платонизм», признающий правоту П.Бенацеррафа относительно чисел и других «мнимых» математических предметов, но, сохраняющий онтологический базис математики и утверждающий, что единственными существующими математическими предметами являются множества ^[18].

Каждый из этих вариантов, по моему мнению, действительно, существенным образом ослабляет аргументацию П. Бенацеррафа, но не решает, однако, поставленной им проблемы в целом.

Достаточно весомым аргументом в поддержку математического платонизма может служить, с моей точки зрения, и подход, в основе которых лежат свойства так называемых p-адических чисел. Это перспективная и интересная, как мне кажется, попытка использовать математический аппарат арифметической физики, ориентированной на числовые представления моделей бесконечных иерархических структур (арифметических, физических, информационных и т.п.), которые вполне могут рассматриваться в качестве моделей платоновского мира идей ^[31;32].

К наиболее важным, с этой точки зрения, свойствам p-адических чисел можно отнести не только возможность рассматривать их как эталон бесконечной делимости материи, но и представить с их помощью в арифметической форме любое текстовое сообщение, а также то, что они «совмещают несовместимые алгебраические и топологические свойства – дискретность и непрерывность»^[8].

В заключение полагаю возможным сделать вывод, что, несмотря на имеющиеся в концепции математического платонизма слабости, которые являлись и являются, в определенной мере, основанием для ее критики с разных позиций учеными и философами, ни одна из современных философских концепций математики, тем не менее, не может с ней соперничать.

Во-первых, потому, что ни одна из них не может ни представить в достаточной мере убедительных аргументов, позволяющих признать несостоятельность концепции математического платонизма, ни «предложить никакой, столь же интуитивно убедительной для математиков альтернативы» ^{[23, с. 495]}.

Во-вторых, потому, что большинство работающих математиков в своей деятельности опираются на веру «в объективность существования открываемых ими объектов математической реальности, и в этом расплывчатом понимании природы абстрактных объектов математики они являются платонистами» (23, с. 495)..

В-третьих, потому, что результаты развития современной математической науки дают достаточно весомые аргументы, подтверждающие не только работоспособность концепции математического платонизма, но и наибольшую её эффективность по сравнению с другими существующими сегодня философскими концепциями математики.