Algorithm for calculating the normalized time-frequency correlation function

Avramchuk Valeriy PhD in Technical Science Associate Professor, National Research Tomsk Polytechnic University 634028, Russia, Tomskaya oblast', g. Tomsk, ul. Lenina, 2, aud. 115a avs@tpu.ru

Faerman Vladimir Assistant, National Research Tomsk Polytechnic University 634028, Russia, Tomska oblast', g. Tomsk, ul. Lenina, 2, aud. 115a vaf@tpu.ru

Введение

Интенсивный рост возможностей вычислительных устройств и повсеместное масштабное использование микропроцессорной техники является стимулом к развитию теории обработки цифровых сигналов. Последнее предполагает разработку новых алгоритмов, ориентированных на применение в новых технических приложениях и предназначенных для параллельного выполнения на современных многоядерных вычислительных платформах ^[1]. В статье рассматривается развитие метода вычисления частотно-временных корреляционных функций (ЧВ КФ), заключающееся в использовании вектора нормирующих коэффициентов, что позволяет в ряде случаев выделить слабые неслучайные составляющие сигналов. Отличительной особенностью предложенного алгоритма является минимальное приращение вычислительных затрат по сравнению с исходным алгоритмом.

Преимуществами метода вычисления и исследования частотно-временных корреляционных функций (ЧВ КФ) являются высокая помехоустойчивость и наглядность представления спектральных и временных особенностей сигналов в их взаимосвязи ^[2]. Эти особенности позволяют использовать метод для решения задач анализа сложных многокомпонентных сигналов, определению в них информативных составляющих и оценки их параметров. К таким задачам можно отнести оценку временного смещения ^[3] и определение периодических компонент в смеси сигналов ^[4].

В ряде работ показана применимость ЧВ КФ также для решения прикладных задач технического контроля и радиотехники: обследование линейных участков трубопроводов ^[5], диагностика двигателей внутреннего сгорания ^[6], обнаружение радиосигнала ^[7]. Предложенный в работе алгоритм может быть использован для обнаружения трубопроводных утечек корреляционно-акустическим методом и в качестве метода спектрального анализа.

Частотно-временные корреляционные функции

Алгоритм вычисления ЧВ КФ впервые представлен в ^[2]. На начальном этапе производится вычисление отсчётов взаимного комплексного спектра исследуемых сигналов ( ) в соответствии с формулой ^[8]:

где – оцифрованные с частотой дискретизации сигналы ; – операция оконного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) ( – величина окна); – комплексно-сопряженное представление результатов оконного ДПФ; символом “” обозначено поэлементное умножение векторов комплексных чисел размерностью Здесь и далее будем считать, что для реализации оконного ДПФ используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) ^[2].

На втором этапе производится разбиение комплексного спектра на составляющих частотных интервалов, содержащих только спектральные отсчеты, принадлежащие m-ому рассматриваемому частотному интервалу . С этой целью вводится вспомогательная функция

где . Далее, выполняется преобразование

.

(2)

На заключительном этапе весь набор комплексных спектральных функций подвергается обратному дискретному преобразованию Фурье (ОДПФ):

Полученный в результате массив содержит отсчёты ЧВ КФ, принадлежащие различными её частотным компонентам , показывающим степень коррелированности исходных сигналов в частотном диапазоне , и соответствующие различным значениям временного смещения ().

Вычисление нормирующих коэффициентов

Недостатком ЧВ КФ, расчёт которой производится в соответствии с алгоритмом, описанным выше, является зависимость значений отсчётов от масштаба амплитудных характеристик входных сигналов. С другой стороны, в ряде задач обнаружения сигналов в смеси ^[9], для повышения информативности анализа, при нормировании целесообразно рассматривать каждую из частотных компонент ЧВ КФ независимо. Отдельно необходимо отметить, что введение расчёта нормирующих коэффициентов не привносит существенного увеличения вычислительной сложности в известный алгоритм.

В рамках решения общей задачи рассмотрим расчёт коэффициента нормирования для произвольнойm-ой частотной компоненты ЧВ КФ. В соответствии с ^[4] нормирование корреляционной функции (КФ) сводится к следующей операции:

где – нормированная КФ, значения которой лежат в диапазоне и не зависят от масштаба сигналов на входе коррелятора; – составляющие сигналов , содержащие только спектральные компоненты, принадлежащие частотному интервалу . Непосредственное применение (3) весьма затруднительно, поскольку требует сложной с вычислительной точки зрения операции полосовой фильтрации сигналов во временной области ^[10]. Однако, из (3) легко получить

где каждый из сомножителей в знаменателе представляет собой среднеквадратичное значение соответствующего сигнала ( и ). В тоже время, пользуясь равенством Парсеваля ^[4], можно выразить среднеквадратические значения сигналов через их амплитудные спектры и :

Полагая сигналы на входе коррелятора центрированными и учитывая (2), преобразуем это равенство:

где - округление до ближайшего меньшего целого. Окончательно (3) примет вид:

Коэффициенты применяются для нормирования каждой m-ой из частотных составляющих ЧВ КФ независимо. Для одновременного нормирования всех компонент ЧВ КФ используется коэффициент

Преимуществом функции является независимость её значений от масштаба сигналов на входе коррелятора. Кроме того, её значения всегда лежат в диапазоне .

Отдельно необходимо отметить, что предложенная методика расчёта коэффициентов дополнительно не требует затратных вычислительных операций (таких как ДПФ или ОДПФ) и ограничивается обработкой M-мерного вектора комплексных чисел. В тоже время, операция нормирования сводится к умножению массивов на рассчитанные коэффициенты и является обратимой, т.е. при условии хранения коэффициентов возврат к исходной функции не требует пересчёта ЧВ КФ.

Алгоритм с нормированием

На основании исходного алгоритма и методики расчёта нормирующих коэффициентов разработан алгоритм вычисления ЧВ КФ с нормированием. Схема вычисления представлена на рисунке 1 и отражает основные этапы обработки сигналов.

Рис. 1. Схема алгоритма вычисления ЧВ КФ с нормированием.

В соответствии со схемой, массивы, содержащие отсчёты сигналов со входа коррелятора, поступают на блок вычисления БПФ. После чего, полученные комплексные спектральные отсчёты используются для вычисления нормирующих коэффициентов в соответствии с (4). В тоже время, в соответствии с (1) выполняется вычисление взаимного спектра сигналов. После чего, осуществляется формирование массивов комплексных элементов в соответствии с (2). Полученные комплексных массивов поступают на блок обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), где выполняется их преобразование. Результатом последней операции является ЧВ КФ, содержащая частотных составляющих размерностью N. На заключительном этапе производится нормирование ЧВ КФ путём деления на один из коэффициентов всех значений, входящих в соответствующую частотную компоненту функции.

Сравнение алгоритмов

Ниже представлен пример использования предложенного алгоритма для анализа многокомпонентных сигналов. Сигналы, поступающие на вход коррелятора, представляют собой смесь, содержащую пять пар коррелированных узкополосных сигналов и , и , …, и , и случайные реализации некоррелированных аддитивных шумов и :

Параметры сигналов приведены в таблице далее. Частота дискретизации кГц.

Таблица. Параметры сигналов в смеси.

На рисунке 2 представлены коррелограммы ЧВ КФ, полученных с применением известного и предложенного алгоритмов.

Из рисунка 2б видно, что корреляционные пики на каждом из обозначенных интервалов сопоставимы по величине и различимы, в то время как на рисунке 2а пики слабых составляющих маскируются шумами и более сильными составляющими. В тоже время, в результате нормирования оказываются усиленными также и слабые шумовые составляющие. Для устранения последнего недостатка следует исключать из рассмотрения частотные полосы, для которых выполняется условие

,

где – некоторое пороговое значение.

Рис. 2. Коррелограммы ЧВ КФ а) без нормирования; б) с нормированием.

Также имеет смысл игнорировать близкие к нулю значения ЧВ КФ, поскольку они не несут информацию о коррелированности сигналов. Таким образом, предложенный алгоритм позволяет повысить информативность анализа и определять наличие слабых коррелированных составляющих в смеси сигналов.

Заключение

В работе предложена методика вычисления нормирующих коэффициентов для ЧВ КФ по спектральным отсчётам входных сигналов. С её применением был модифицирован алгоритм вычисления ЧВ КФ. Полученный в результате алгоритм отличается сопоставимой с исходным алгоритмом вычислительной сложностью и возможностью независимого нормирования каждой из частотных компонент функции на выходе коррелятора.

Вычислительная эффективность алгоритма достигается путём расчёта нормирующих коэффициентов по отсчётам амплитудных спектров входных сигналов, что позволяет избежать затратных операций фильтрации во временной области и ОДПФ. В тоже время, получение нормирующего коэффициента для каждой из частотных составляющих ЧВ КФ позволяет преобразовать вид коррелограммы и определить ранее неразличимые слабые коррелированные сигналы.

Стоит отметить, что использование созданного алгоритма в ряде случаев будет способствовать также и усилению шумов и неслучайных помех. Перспективным подходом для устранения данного недостатка представляется разработка формального критерия для исключения из рассмотрения тех частотных интервалов, в которых сосредоточена малая доля энергии анализируемых сигналов.