Ethnomathematics and ethnologic

Iashin Boris Leonidovich Doctor of Philosophy Professor; Department of Philosophy, Institute of Social and Humanitarian education, Moscow Pedagogical State University 117571, Russia, g. Moscow, ul. Prospekt Vernadskogo, dom 88, к.1 jabor123@rambler.ru Other publications by this author

Работа ведется в рамках научно-исследовательского проекта № 15-03-00760, поддер­жанного РГНФ.

С конца прошлого века в истории и философии математики появилось значительное количество работ, связанных с выяснением того, «каким образом математика в своем развитии зависит от социальных факторов (и в какой мере ими определяется)» ^{[1, с. 10]}.

В рамках этого подхода, который в настоящее время называют нефундаменталистским ^[2], исследователи акцентируют внимание на многообразных взаимосвязях математики с другими науками, обращаются к проблемам культурно-исторического характера, к проблемам, относящимся к личностному контексту математического познания.

В работах, базирующихся на этом подходе, который нередко отождествляется с социокультурным подходом, ставятся под сомнение не только идея о непогрешимости математики и безупречности ее важнейших методов - доказательства и дедукции, но и идея универсальности и объективности математики, ее нейтральности по отношению к культуре. Иными словами, в этих работах обосновывается идея существования различных математик, в определенной мере зависимых от времени и географии, от особенностей культуры и социума конкретных стран. Математика в них рассматривается как социальный конструкт, специфический продукт тех или иных математических практик различных культурных групп. Многие из таких работ вписываются в достаточно широкое поле исследований, называемое сегодня «этноматематикой» ^{[3, 4, 5]}.

В области этноматематических исследований можно выделить четыре основных направления.

Первое – антропологическое - объединяет работы, в которых исследуются математики традиционных культур, где первостепенное внимание уделяется свойственным этим культурам числовым системам, жестам, символам, играм и головоломкам, складывающимся у членов этих культурных сообществ геометрических представлений, специфике выражения математических идей в искусстве, архитектуре и т.д.

Второе направление, которое называют историческим, включает работы, в которых критикуется западноевропейский центризм в истории математики и раскрывается важная роль неевропейских цивилизаций (египетской, иракской, японской, майя и др.) в процессе возникновения и развития математики.

К третьему направлению, называемому социально-психологическим, относятся работы, где анализируются математические знания, формирующиеся в повседневной практике различных социальных и этнических групп, изучаются особенности интуитивного математического мышления в культурах коренных народов Австралии, Африки, Северной и Южной Америк.

К четвертому направлению – педагогическому - принадлежат работы, в центре внимания которых находятся взаимоотношения этноматематики и математического образования. Исследования в этой области этноматематики во многом способствуют решению вопроса о том, одинаковыми ли способами различные культуры формулируют и выражают математические идеи, одним и тем же ли путем идут они в их разработке? ^[6].

Говоря об этноматематических исследованиях в целом, с уверенностью можно утверждать, что их результаты показывают не только то, что «примитивные» культуры нередко являются носителями значительно более сложных математических представлений, чем было принято считать ранее, но и то, что мировосприятие, сформировавшееся за долгие века в западном обществе и считавшееся универсальным (например, время как последовательность отдельных мгновений или идея равенства как выражения статической связи), на самом деле является продуктом исключительно западно-европейской культуры ^[7].

Результаты исследований в области этноматематики, свидетельствующие о множественности математик, рождающихся в недрах той или иной культуры и имеющих специфические отличия, подтверждаются и психологами. В 2012 г. группа ученых, работающих в этой области научного знания, установила, что универсального способа проявления непосредственных интуиций числовой оси не существует, а идея числовой прямой, используемая в математике, не является врожденной, т. е. универсальной. Она, как и многие другие фундаментальные понятия, формируется в процессе образования и воспитания ^[8].

Таким образом, вполне обоснованно можно утверждать, что в современной истории и философии математики существуют две противостоящих друг другу точки зрения: сторонники первой из них обосновывают единственность, универсальность математики, сторонники второй – отстаивают идею множественности математик, обусловленную влиянием на ее развитие социокультурных факторов.

Необходимо отметить, что это противостояние имеет отношение не к «академической», современной математике, которая изучается в средних и высших учебных заведениях, общезначимость и универсальность которой не оспаривается. Это противостояние имеет место быть тогда, когда речь идет о «первой математике», об «опытной», как ее иногда называют, математике, зарождающейся в повседневной обыденной деятельности человека. Оно возникает при поиске ответа на вопрос о том, все ли культуры формулируют математические идеи одинаковыми (или подобными) способами, идут одним и тем же путем в их разработке?

Во многом сходная ситуация наблюдается в настоящее время и в отношении проблемы универсальности логики мышления. Все чаще появляются работы, в которых единственность, универсальность этой логики ставится под сомнение.

Сразу же надо пояснить, что речь в них идет о логике «общепринятой», логике повседневной жизни, логике обыденного познания. В логике же, понимаемой как наука, давно уже существует большое разнообразие логических систем: многозначные и модальные, релевантные и паранепротиворечивые, вероятностные и временные и др.

Вместе с тем, надо заметить, что каждая из них «выросла» из традиционной двузначной логики. Каждая из них, так или иначе, опирается на эту классическую (Аристотелевскую) логику, которая, как иногда говорят, выражает наиболее важные принципы правильного мышления. Именно эту логику, нередко называемую логикой «здравого смысла» или логикой «обыденного мышления», и имеют в виду, когда пытаются решить проблему дихотомии «универсальность (единственность) – уникальность (многообразие)» логики мышления.

Иными словами, речь в этом случае идет о поиске ответа на вопрос о существовании каких-либо всеобщих, универсальных логических принципов, которые все люди независимо от культуры, представителем которой они являются, и конкретной ситуации, в которой они находятся «здесь и сейчас», считают их верными, и поэтому - гарантирующими достоверность получаемых с их помощью следствий.

Ученые и философы, отстаивающие точку зрения, согласно которой универсальные принципы «естественной» логики существуют, относят к ним такие хорошо известные принципы правильного мышления, как принцип двузначности и опирающиеся на него законы тождества, непротиворечия и исключенного третьего, аксиому силлогизма, которая выражается в модусе barbara, закон транзитивности и правильные модусы условно- категорического умозаключения (modus ponens и modus tollens) ^[9].

В подтверждение этой точки зрения ее сторонники нередко утверждают, что если предположить то, что в действительности не существует никаких общезначимых, универсальных принципов «естественной» логики, то тогда должны существовать, по меньшей мере, две группы (два класса) логических принципов мышления, которые являются в равной степени верными, но несовместимыми друг с другом. В этом случае, утверждают в опубликованной в 2011году в журнале «Вопросы философии» статье Г. Пауль и Х. Ленк, люди, рассуждающие, опираясь на принципы лишь одного из этих двух классов, получали бы разные следствия из одних и тех же посылок. Поэтому всякая попытка найти представителями этих двух групп «общий язык» была бы обречена на провал «даже в вопросах математики ‑ а это не вязалось бы как минимум с общим опытом человечества» ^[10].

Об этом же писали в одной из своих работ по проблемам непротиворечивости Н. да Коста и С. Френч, которые указывали на отсутствие «свидетельств антропологов о каких-то неудачах, а тем более о полном провале понимания одной культуры со стороны другой» ^{[11, с. 55]}.

Этот аргумент в поддержку универсальности «естественной» логики не является единственным, отмечают Г. Пауль и Х. Ленк. Они приводят и другие доводы сторонников этой точки зрения. Среди них, аргументы «к универсальности математики» (о невозможности получения универсально верных математических принципов из применения несовместимых друг с другом правил логики), «к переводу» (о невозможности перевода с одного естественного языка на другой без наличия хотя бы нескольких универсально верных правил логики, требующихся для установления семантической непротиворечивости текста) и др.

Однако наиболее важным они считают «прагматически трансцендентальный» или «фундаментальный методологический» аргумент. Его суть состоит в том, что люди, в своем желании успешно рассуждать или общаться, надеясь на взаимопонимание, осознанно или неосознанно не могут не использовать некие универсально верные логические правила ^[10].

Выступая в поддержку идеи универсальности «естественной» логики, существования в мозгу человека некой базисной логической структуры, Г. Пауль и Х. Ленк, тем не менее, делают оговорку о том, что эта идея представляет собой не более чем гипотезу, которая нуждается в подтверждении. Мы «должны убедиться в том, - пишут они, - что это без сомнения есть апостериорная интерпретация, а не просто механическое получение, или выведение, или дедукция логики из некоторого априорного принципа без всякого использования логики самой по себе» ^[10].

Приведенные выше аргументы в подтверждение универсальности «естественной» логики, несмотря на их кажущуюся достаточной убедительность, принимаются далеко не всеми учеными и философами, которые предметно занимаются этой проблемой. Сторонники уникальности, множественности обыденной логики, ее социокультурной обусловленности, по крайней мере, на первых этапах ее формирования, приводят не меньшее число не менее убедительных доводов в защиту своей позиции. В частности, они ссылаются на то, что разные культурные практики отличаются не только способами предметной деятельности (а, следовательно, и характером предметного мышления), но и способами и характером интеллектуального освоения мира. Об этом свидетельствуют многие результаты исследований в области психологии, культурологии, а также в современной когнитивистике.

На существенное влияние социальных и культурных факторов на характер не только обыденного, но и научного мышления указывали в своих работах, многие известные ученые и философы: О. Шпенглер и Н. Данилевский, Л. Леви Брюль и Ф. де Соссюр, Ж. Пиаже и Л. Выготский, А. Лурия и другие.

Правда, надо сказать о том, что не все они прямо утверждали о существовании не одной, а многих «естественных» логик. Некоторые из них писали о разных математиках, каждая из которых возникала в недрах той или иной культуры и в силу этого приобретала специфические особенности.

Так, например, О. Шпенглер в хорошо известной работе «Закат Европы» говоря о существовании не одной, а нескольких математик, отмечал, что стиль каждой из них «зависит от того, в какой культуре она коренится, и какие люди о ней размышляют»^[12].

Н. Данилевский же, в не менее известной работе «Россия и Европа» находит «три причины, по которым и наука, наравне с прочими сторонами цивилизации, необходимо должна носить на себе печать национальности». Это - предпочтения разных народов разным наукам; «естественная односторонность способностей и мировоззрения» каждого народа; и, наконец, - «народный характер», представляющий собой некоторую «примесь субъективных индивидуальных особенностей к объективной истине», сгруппированных по народностям. Эта «печать национальности», по мнению Н. Данилевского, «самым резким образом» проявляется даже в «чистой математике» ^[13].

Здесь можно было бы сказать и о том, что каждая из существующих в настоящее время математик, строится на базе своей собственной логики, что каждая логика, в определенной мере, порождает свою математику. Можно сослаться и на известное высказывание Б. Рассела о том, что «математика – это логика, переодетая в другие одежды». Конечно, это не самый сильный аргумент, но тем не менее…

Обратимся теперь не к косвенным, а к прямым, как мне кажется, аргументам уникальности (а, значит, - множественности) «естественной» логики. Одним из таких аргументов могут служить результаты исследования Л. Леви-Брюлем так называемого «первобытного» или «прелогического» мышления. В противовес исследователям, утверждавшим в своих работах, что мышление первобытного человека алогично или даже антилогично, он отстаивал точку зрения, согласно которой «прелогическое» мышление, свойственное первобытным людям, отличается от мышления современного европейца не отсутствием логики как таковой, а наличием в нем своей собственной логики.

«Факты показывают, что в огромном количестве случаев первобытное мышление отличается от нашего. Оно, - пишет Л. Леви-Брюль, - без всяких затруднений допускает, что одно и то же существо может в одно и то же время пребывать в двух или нескольких местах. Оно обнаруживает полное безразличие к противоречиям, которых не терпит наш разум» ^{[14, с. 131]}.

Иными словами, мышление первобытного человека во многих ситуациях игнорирует закон противоречия традиционной логики, считающегося со времен Аристотеля одним из основных законов правильного мышления. В таких случаях первобытный человек в своем мышлении опирается на закон «сопричастности» или «партиципации», суть которого состоит в допущении совместимости несовместимого, с точки зрения современного европейского человека, «сопричастности» воспринятого объекта как вполне самостоятельного по своей сущности, какой-либо другой сущности, чему-то иному.

В цитируемой работе Л. Леви-Брюль делает и более важный, с моей точки зрения, вывод. Отмечая некоторую общую основу высших умственных функций, свойственную всем человеческим обществам, он признает, тем не менее, и тот факт, что эти общества «могут иметь структуры, глубоко различные между собой», обусловливающие наличие соответствующих различий и в мышлении. «Следует, значит, - пишет Л. Леви-Брюль, - наперед отказаться от сведения умственных операций к единому типу и от объяснения всех коллективных представлений одним и тем же логическим и психологическим механизмом» ^{[14, с. 132]}.

Этот вывод вполне можно считать аргументом в пользу существования не одного, а множества различных способов логического мышления, а, значит, и логик, лежащих в их основаниях.

Еще одним подтверждением гипотезы о существовании различных вариантов логики повседневного, обыденного мышления стало открытие своеобразной логики представителей племени азандов. Азанды в некоторых ситуациях рассуждают примерно так же, как и члены племени бороро или трумаев, о которых писал Л. Леви-Брюль (логика представителей этих племен позволяет первым отождествлять в полном смысле этого слова себя с попугаями арара, а вторым – с водяными животными).

Все то, что считается противоречием в современном мышлении, а, значит, не допускается в нем, азанды воспринимают иначе. Азанды, пишут, например, в одной из своих работ Н. да Коста и С. Френч, считают противоречия вполне допустимыми, так как они не испытывают никаких «трудностей на практике при употреблении противоречивых высказываний» ^{[11, с. 51]}.

Это вполне естественно для мышления, подчиненного «закону партиципации», так как это мышление, по мнению Л. Леви-Брюля, «не стремится, прежде всего, подобно нашему мышлению избегать противоречия. Оно отнюдь не имеет склонности без всякого основания впадать в противоречия (это сделало бы его совершенно нелепым для нас), однако оно и не думает о том, чтобы избегать противоречий. Чаще всего оно относится к ним с безразличием. Этим и объясняется то обстоятельство, что нам так трудно проследить ход этого мышления» ^{[14, с. 140]}.

О наличии особой логики мышления у первобытных людей пишет и оппонент Л. Леви-Брюля К. Леви-Стросс. Мысль народов, не обладающих письменностью, которую он называет «дикой», «неприрученной» (sauvage) мыслью, с его точки зрения, не стремится ни к различениям, ни к расчленениям. Она оказывается ценной лишь тогда, когда сохраняет цельность и целостность, «взаимоувязанность всех сфер бытия» ^{[15, с.13]}.

Более того, К. Леви-Стросс обнаруживает несколько разновидностей этой «самодельной» логики, каждая из которых соответствует тому или иному типу жизненной ситуации, в которой она используется. Во-первых, это – логика, которую можно назвать «логикой конкретного». С ее помощью упорядочиваются объекты туземных классификаций. В этой логике отчетливо проявляется сочетание стремления к символизации с особенным вниманием к конкретному. Символы здесь по сути дела являются специфическими единицами мышления, связывающими конкретно-чувственные образы с абстрактными понятиями ^{[16, с. 10]}.

Во-вторых, это – логика «бриколажа», которая, как пишет Н. С. Автономова, «не будучи скована осознанными целями и жесткими логическими императивами», … «осуществляет рекомбинацию (на манер калейдоскопа) тех образов и символов, которые сформировались и накопились в предшествующем опыте» ^[15].

В-третьих, логика «тотализующего мышления», показывающая, «что в менталитете туземцев, использующем классификации различного типа, существуют определенные формы их взаимной логической обусловленности: переходы одних в другие; дополнительность» ^{[16, с. 11]}.

Надо сказать, что К. Леви-Стросс, соглашаясь с Л. Леви-Брюлем в том, что первобытный человек обладает специфической логикой мышления, тем не менее, утверждал, что эту логику не следует считать до-логической, исторически предшествующей обыденной логике цивилизованного человека. Более того, он считал, что она обнаруживается не только в мышлении представителей бесписьменных обществ, но и присутствует «в нашем современном мышлении, наряду с научными формами рассуждения» ^[15].

На тесную связь логики и культуры обращает внимание и один из основателей Франкфуртской школы Э. Фромм. В работе «Искусство любви» он он даже утверждает, что именно первая определяет характер развития второй. С его точки зрения, два типа логики (аристотелевская, характеризующая культуру Западной Европы, и парадоксальная, свойственная восточным культурам, культурам Китая и Индии) продуцируют и различные типы не только восприятия окружающего мира, но и жизни в нем. Первая - ведет к догматам католицизма, к научному рационализму и открытию атомной энергии, вторая - к терпимости и осознанию необходимости самосовершенствования ^{[17, с. 48]}.

О возможности существования различных вариантов логики повседневного, обыденного мышления, в которых, могут быть те или иные несоответствия законам и правилам традиционной Аристотелевской логики, а также о взаимовлиянии логики и культуры писали и наши отечественные ученые и философы.

Так, например, известный филолог и культуролог О. М. Фрейденберг, предвосхитившая новейшие исследования «археологии» культурных форм в рамках символической антропологии, обнаружила в первобытном мышлении, названном ею «доформально-логическим», «многообразное единство однотипных отличий» конкретных образов внешнего мира ^[18].

Особенности мышления первобытных людей были выявлены и исследованиями «отсталого мышления», проведенными в первой половине прошлого века психологом А. Р. Лурией. В частности, эти исследования показали, что мышление людей в неразвитых социальных общностях в некоторых случаях нарушает закон противоречия и хорошо известное логическое правило, называемое «аксиомой силлогизма» ^[19].

Подводя итог своим исследованиям, А. Р. Лурия отметил, что они отчетливо выявили зависимость структуры познавательной деятельности от условий социального бытия. На отдельных этапах исторического развития, утверждал он, эта структура не остается неизменной, а «важнейшие формы познавательных процессов – восприятие и обобщение, умозаключение и рассуждение, воображение и анализ своей внутренней жизни имеют исторический характер» ^[20].

На «исторический характер» логики обыденного мышления, на её неразрывные связи с социокультурным контекстом человеческого бытия, с практической деятельностью человека прямо указывают А. А. Ивин и А. Л. Никифоров, которые отмечают, что логика складывается в практике мышления и изменяется вместе с ней. Логические законы, - пишут они, - не являются «абсолютными истинами, никак не связанными с практикой мышления», они «такие же продукты человеческого опыта, как и аксиомы евклидовой геометрии»^{[21, с. 157]}.

Однако достаточно очевидно, что связь мышления и логики с социокультурным контекстом не является односторонней. Логика не только рождается и формируется в той или иной культуре, в тот или иной временной отрезок. Она сама существенным образом влияет на характер порождающей ее культуры. «Выросшая из потребностей культуры, однажды оформившаяся логика, - пишут Сорина Г. В. и Меськов В. С., - становится, в свою очередь, важнейшим механизмом развития и функционирования культуры»^[22]. Мышление и дух той или иной эпохи, а значит и культуры, оказывается зависимым «от преобладающих в ней “правил” мышления» и, прежде всего, от эффективного и преобладающего использования классификационных, сравнительных и количественных понятий»^[23].

Об этой неразрывной взаимосвязи логики и культуры свидетельствуют и современные когнитивные исследования, в которых показывается, «что у представителей западной культуры доминирует выраженный аналитический дискурс», означающий, что в рассуждениях они «склонны упорядочивать вещи посредством известных законов формальной логики», а при обнаружении в них противоречия, считают его «вызовом разуму» и требуют устранения. Представителям восточной культуры (за исключением, возможно, исламского мира) в большинстве своем свойственен холистический или диалектический дискурс, в котором «формально-логические законы не трактуются как принудительные, жесткие нормативы», а противоречие в рассуждениях считается «естественным состоянием», предполагающим «разрешение посредством поиска “срединного пути”, некоторого действия, которое сохраняет естественную “гармонию”»^[24].

Подводя итог своим рассуждениям, полагаю вполне возможным сделать следующие выводы.

Во-первых, достаточно очевидно, что вопрос об универсальности, т. е. единственности для всех живущих на Земле людей, или уникальности, множественности, тесной взаимосвязи логики обыденного мышления (как и «первой математики») с той культурой, в которой она рождается, и на которую она оказывает существенное влияние, остается актуальным и для современной науки и философии. Как мне кажется, во многом это связано с тем, что так или иначе при поиске ответов на этот вопрос мы выходим на проблему возникновения не только абстрактного мышления, но и мышления вообще.

Во-вторых, что, по-моему, является следствием первого, в настоящее время было бы правомерным (по аналогии с уже достаточно широко используемым сегодня термином «этноматематика») ввести понятие «этнологика» для обозначения области исследований, связанных с изучением влияния социокультурных факторов на формирование обыденной логики, с изучением её в историческом развитии, с поиском ответа на вопрос «Каким образом эта логика возникает и формируется в различных культурах?». Введение этого понятия могло бы способствовать и развитию «более глубоких, чем ранее, исследований особенностей дискурсивных практик, принятых в различных культурных образованиях»^[24].