Substantive controversy and dialectics

Zadorin Vyacheslav Vladimirovich PhD in Philosophy Docent, the department of Philosophy and Sociology, Volgograd Institute of Management of the Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration 400005, Russia, Volgograd, Gertsena Street 10, office #612 forregistration16@mail.ru

Принцип противоречия. Наиболее вероятным представляется, что впервые принцип противоречия «самым достоверным из всех начал» назвал Аристотель. Ближайшим образом, речь идет о третьей главе четвертой книги «Метафизики» (1005b 25). Положение, которое позднее получит название принципа противоречия, Стагирит формулирует следующим образом: «невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении (и все другое, что мы могли бы еще уточнить, пусть будет уточнено во избежание словесных затруднений) — это, конечно, самое достоверное из всех начал» ^{[1, 125]}. Принцип противоречия, наряду с принципом тождества и принципом исключенного третьего составили фундамент классической логики.

Термин «противоречие», таким образом, относится здесь к отдельному высказыванию, значение которого может быть однозначным образом установлено на выбранной предметной области. Совокупность высказываний стали называть противоречивой, если в ней утверждается, что один и тот же предмет и обладает, и не обладает одним и тем же свойством в одно и то же время, а рассуждение, в котором из одних и тех же посылок выводятся противоречащие высказывания – диалектикой (например, антиномии чистого разума у Канта ^[8] или отрицательно-диалектический способ отношения мысли к объективности у Гегеля ^[2]). Заметим, что Гегель, наряду с диалектическим, или отрицательно разумным способом мышления выделял и положительно разумный – спекулятивный. В истории философии после Гегеля изучение диалектики, как способа мысли и научного познания, было продолжено в рамках диалектического материализма Маркса, Энгельса и их последователей.

Программа Гильберта. В математике пристальное внимание к противоречию и принципам аристотелевской логики было приковано позднее – начиная с 1870-х гг., когда были обнаружены парадоксы в канторовой теории множеств, фрегевском обосновании арифметики ^[12], а также в дискуссиях о бесконечности – актуальной, завершенной, экзистенциальной (в трудах Дедекинда ^[5] и Кантора ^[9]) и потенциальной, становящейся, конструктивной (в трудах Брауэра). Брауэр и другие интуиционисты стали критиковать классическую математику за использование принципов аристотелевской логики, поскольку они, по их мнению, были абстрагированы от арифметики конечных множеств и совершенно не учитывали несчетных бесконечных.

Защищаясь от этой критики, Гильберт предложил сформулировать классическую математику в виде аксиоматической теории и доказать ее непротиворечивость. Как сообщает Клини, до Гильберта для доказательства непротиворечивости аксиоматических теорий использовался метод задания моделей — системы объектов, взятой из другой теории так, чтобы «каждому объекту или первоначальному понятию данной аксиоматической теории сопоставлялся объект или понятие другой теории таким образом, что аксиомы оказывались бы теоремами этой другой теории (или соответствовали им). Если эта вторая теория непротиворечива, то должна быть непротиворечивой и данная аксиоматическая теория» ^{[10, c.54]}.

Гильберт и его сотрудники – Аккерман ^[3] и Бернайс ^[4] решили поступить иначе: в неформальных (содержательных, оригинальных) теориях должны быть выделены ключевые термины и набор утверждений, полностью описывающих рассматриваемую предметную область. Среди последних особо выделяются аксиомы – высказывания о свойствах объектов рассматриваемой области, и теоремы – высказывания, доказывающие утверждения об изучаемой предметной области, описываемые аксиомами в базовых терминах. Необходимо, чтобы совокупность аксиом полностью описывала все свойства предметов, рассматриваемых в содержательной теории и обозначаемых терминами, существенными для вывода теорем. В противном случае окажется, что некоторые свойства, необходимые для вывода теорем или законов, не были аксиоматизированы. После этого интерпретация базовых терминов на рассматриваемой предметной области не будет иметь значения для проверки корректности доказательств, которые поэтому и можно будет формализовать, а результат подобной формализации будет представлять собой формальную систему.

Формальная система. Формальная система имеет два существенных признака, отличающих ее от неформальных, содержательных, или оригинальных теорий: 1) средства дедукции в ней оговариваются специально (более того, чаще всего именно для изучения этих средств формальная система и строится), и 2) каждый символ, значимое выражение или последовательность значимых выражений обозначают исключительно самих себя и не допускают других интерпретаций внутри системы (однако, допускают интерпретацию на другой теории) ^[7].

Формальная система объединяет объекты трех типов: 1) формальные символы – простейшие значимые в данной системе знаки; 2) формальные выражения – конечные последовательности формальных символов (на множестве формальных выражений обычно выделяются подмножества выражений, построенных по определенным правилам – правилам образования, так, при формализации исчисления высказываний мы получаем единственную группу значимых выражений – формулы, а при формализации исчисления предикатов к формулам добавляются термы); и 3) конечные последовательности формальных выражений (на множестве конечных последовательностей формальных выражений выделяются подмножества последовательностей, построенных по определенным правилам – правилам преобразования; наибольший интерес среди таких специально оговоренных последовательностей имеют доказательства, а само добавление правил преобразования сообщает формальной системе структуру дедуктивной теории, как замечает Клини).

В данной работе нам потребуется построить формальную систему, содержащую в качестве постулатов только постулаты исчисления высказываний. В этой реконструкции мы будем существенным образом опираться на программу Клини, реализованную во «Введении в метаматематику» и «Математической логике», которая, в свою очередь, базируется на Генценовской системе, а также программе Гильберта, реализованной в его совместных работах с Бернайсом и Аккерманом.

Таким образом, в качестве формальных символов у нас будут выступать:

Логические:

Пропозициональные буквы: Р1, Р2, …, Рn.

Скобки (,).

Правила образования. Произвольная непустая последовательность символов будет формальным выражением, среди последних особым образом выделим выражения, называемые формулами, построенные по следующим правилам:

1. Пропозициональная буква есть формула.

2. Если А – формула и В – формула, то .

3. Если А – формула и В – формула, то .

4. Если А – формула и В – формула, то .

5. Если А – формула, то .

6. Других формул, кроме указанных в правилах 1-5, нет.

Правила преобразования. Среди конечных произвольных последовательностей формальных выражений выделим постулаты исчисления высказываний:

1а.

1b.

2.

3.

4a.

4b.

5a.

5b.

6.

7.

8.

Вышеперечисленные постулаты 1a, 1b, 3-8 называются схемами аксиом, а постулат 2 – правилом вывода (the rule of inference). Формула, находящаяся под чертой в правиле вывода, называется непосредственным следствием (или заключением, formal inference by the rule) из формул, находящихся над чертой и называемых посылками (the first and the second premise). Определение формулы, доказуемой в формальной системе, имеет следующий вид:

1) если Е – аксиома, то Е – доказуема;

2) если D1 и D2 – аксиомы, а Е – непосредственное следствие из них, то Е – доказуема;

3) если D1 и D2 – доказуемы, а Е – непосредственное следствие из них, то Е – доказуема.

4) формула Е доказуема только в силу 1-3.

Таким образом, в формальной системе непустая конечная последовательность формул, где каждая формула есть аксиома или непосредственное следствие из предыдущих формул, называется доказательством (formal proof) последней формулы этой последовательности, которая, в свою очередь, называется доказанной формулой (formally provable formula), или теоремой (formal theorem). Кроме понятий доказательства и теоремы, нам потребуется ввести понятия формального вывода из исходных формул (formal deduction from the assumption formulas) и выводимой формулы из исходных формул (deducible from the assumption formulas). Непустая конечная последовательность формул называется формальным выводом из исходных формул, если каждая формула этой последовательности есть допущение или аксиома, или непосредственное следствие из предыдущих формул, а последняя формула этой последовательности называется формулой, выводимой из исходных, или заключением вывода (the conclusion of the deduction). Символически это будем записывать так: D1, D2, …, Dn ├ E, где – исходные формулы.

Простая непротиворечивость и нетривиальная противоречивость. Формальная система, содержащая отрицание, просто непротиворечива тогда и только тогда, когда никакая формула и ее отрицание не могут быть теоремами в этой системе. Формальная система, содержащая постулаты 1-8 исчисления высказываний, просто непротиворечива. Диалектика, в отличие этой системы, как считает, например, Поппер просто противоречива, поскольку одной из ее аксиом является формула , а из этой аксиомы доказуема любая формула ^[15].

Исчисление высказываний, рассматриваемое в теории моделей как содержательная теория также просто непротиворечиво. Для доказательства достаточно рассмотреть таблицу истинности для формулы А: если во всех строках данная формула принимает значение истина (является общезначимой, или тождественно истинной), то добавление отрицания к ней делает вновь образованную формулу тождественно ложной и, наоборот. В «Математической логике» Клини положение, фиксирующее простую непротиворечивость исчисления высказываний, является следствием теоремы 12, устанавливающей непротиворечивость исчисления высказываний относительно общезначимости ^{[11, c.59]}.

Теория будет называться нетривиально противоречивой, если при допущении произвольной формулы А и подстановки в постулаты формулы ¬А вместо формулы В выводимы как формула А, так и формула ¬А. Исчисление высказываний с постулатами 1-8 нетривиально противоречиво.

Доказательство. Пусть даны формулы , тогда

(1)

и

(2)

Таким образом, набор постулатов 1-8 при допущении формул приводит к выведению как формулы А, так и формулы ¬А. Это означает, что для диалектики, вопреки точки зрения Канта и Поппера, находится место и в классическом исчислении высказываний.