Library
|
Your profile |
Theoretical and Applied Economics
Reference:
Borodachev S.M.
Evaluation of the parameters of economic systems through Kalman filter
// Theoretical and Applied Economics.
2019. № 1.
P. 93-97.
DOI: 10.25136/2409-8647.2019.1.21085 URL: https://en.nbpublish.com/library_read_article.php?id=21085
Evaluation of the parameters of economic systems through Kalman filter
DOI: 10.25136/2409-8647.2019.1.21085Received: 15-11-2016Published: 22-03-2019Abstract: This article discusses the application of Kalman filter for estimating parameters of economic systems using two methods: maximum likelihood and minimization of root mean square prediction error. The author examines the integrated system of foreign exchange market and stock markets in Russia. Different behavioral strategies of foreign exchange market participants are reflected. Particularly, the author builds and analyzes a simple model of dollar to ruble rate, which considers the changes in oil prices and money transactions between the foreign exchange and stock markets with up to three days lag. The parameter estimation is carried out in accordance with daily data of the dollar to ruble rate, oil prices and the MICEX index from November 1, 2015 to December 20, 2015. Along with the evident instantaneous actions of the foreign exchange market participants, the author detected the shift of the dollar to ruble rate in the same direction as the MICEX index with two days delay, as well as the same direction as the oil price with the three days lag. The article provides economic interpretation of the obtained system parameters. Keywords: maximum likelihood, state-space model, Kalman filter, exchange rates, economic systems, foreign exchange market, stock market, prediction error, adaptive filter, least squares methodВВЕДЕНИЕ Модель системы в пространстве состояний где Фильтр Калмана (ФК) [1] есть рекуррентная процедура оценки состояний и выходных величин системы (1), (2). В частности, можно получить Для такого использования ФК необходимо знание элементов Функция правдоподобия выборки выходной величины Здесь Где Здесь Оценённые таким путём параметры можно подставить в ФК для получения оценок состояния системы, прогнозов состояния и выходной величины. Альтернативный способ оценивания параметров – использование в качестве целевой функции квадратного корня среднеквадратичной ошибки (RMSE) прогноза ФК выходной величины где Tl,…,Tu – некоторое подгоняемое множество моментов времени. Это может быть вся имеющаяся выборка или некоторое окно. Окно можно применить и в (3). Во многих работах, посвященных применению ФК в экономике и финансах, см., например, [3] в сущности применяется рекуррентный метод наименьших квадратов [4] для оценки случайно изменяющегося вектора коэффициентов регрессии РЕЗУЛЬТАТЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Прежде всего оценим этими двумя способами параметры простой системы формирования обменного курса доллара к рублю, предложенной в [5]. Исходные данные курса доллара, цены на нефть и индекса ММВБ, те же что и в работе [5], приведены на Рис. 1. Рисунок 1. Ежедневные данные с 1 ноября 2015 по 20 декабря 2015. Выходная величина Вектор параметров модели θ = ( Если подгонять модель к последним 10 наблюдениям (Tl =40, Tu = 49) из полного набора (t = 0, …, 49) 50 наблюдений, получим Для того, чтобы учесть больше типов поведения участников валютного рынка при изменении цены на нефть и индекса ММВБ примем следующую модель изменения курса доллара . При подгонке к последним 10 наблюдениям методом ML, RMSE = 0.222 ₽. Естественно это лучше, чем при 3-х параметрах α, β, γ (учете только отдельных стратегий трейдеров). Для интерпретации параметров оценим их по максимально широкому временному диапазону данных: Tl = 5 (чтобы исключить начальные моменты настройки фильтра), Tu = 49. Методом ML, RMSE = 0.521 ₽. Оцененные параметры Итоговая RMSE всегда несколько лучше при RMSE – целевой функции чем в методе ML. Это ясно, т.к. предположение о нормальности является ограничительным для привязки к реальным данным.
Рисунок 2. Фактический курс доллара Возможна следующая интерпретация. Отрицательность α0 означает одномоментное разнонаправленное изменение индекса ММВБ и курса доллара: биржа вверх – рубли в неё из доллара, вниз – продажа активов и в доллар. Положительность α2 означает, что с запаздыванием в 2 дня приходят в доллар рубли от продажи выросших активов либо уходят в падающие. Отрицательность β0 – одномоментная эмоциональная покупка доллара с падением цены на нефть или откат наоборот. Значительное положительное β3 – с запаздыванием в 3 дня приход новых денег от продажи нефти или уход рублей в поддержку падающих доходов нефтяников. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Наряду с очевидными одномоментными действиями участников валютного рынка обнаружено движение курса доллара к рублю в ту же сторону что и индекс ММВБ с запаздыванием в 2 дня, и в ту же сторону что и цена на нефть с запаздыванием в 3 дня. Рассмотренный подход позволяет строить адаптивный фильтр Калмана, где параметры системы оцениваются по непосредственно предшествующему окну и с ними делается прогноз на шаг вперёд.
References
1. Kalman R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems // Trans. ASME, J. Basic Eng. 1960. V.82. P. 35 – 45.
2. Harvey A. C. Forecasting, structural time series models and the Kalman filter. Cambridge : Cambridge University Press. 1989. 302 P. 3. Chen A. S., Leung M. T., Daouk H. Application of neural networks to an emerging financial market: forecasting and trading the Taiwan Stock Index // Computers & Operations research. 2003. V.30, P.901 – 923. 4. Borodachev S. M. Recursive least squares method of regression coefficients estimation as a special case of Kalman filter // AIP Conference Proceedings. 2016. V. 1738. P. 110013. 5. Borodachev S. M. (v pechati). Prediction of the dollar to the ruble rate. A system-theoretic approach // Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM 2016, edited by Theodore E. Simos et al., AIP Conference Proceedings. |