Mathematical model of information-measuring system for electric current and the magnetic field control

Levina Tat'yana Mikhailovna PhD in Technical Science Associate Professor, Department of Scientific Disciplines, Salavat Branch of Ufa State Oil Technical University 453265, Russia, respublika Bashkortostan, g. Salavat, ul. Gubkina, 22b tattin76@mail.ru Filippov Vladimir Nikolaevich PhD in Technical Science Associate Professor, Department of Computer Engineering and Engineering Cybernetics, Ufa State Oil Technical University 450062, Russia, respublika Bashkortostan, g. Ufa, ul. Kosmonavtov, 1 vtik-ufa@mail.ru

Nasyrova Regina Talgatovna Assistant, Department of Scientific Disciplines, Salavat Branch of Ufa State Oil Technical University 453265, Russia, respublika Bashkortostan, g. Salavat, ul. Gubkina, 22b bareta@bk.ru

В статье рассматривается построение совокупности элементов, необходимых для существования и функционирования разрабатываемой математической модели информационно-измерительной системы (ИИС) контроля электрического тока и магнитного поля.

Для получения информации о контролируемом оборудовании необходимо проводить комплексные измерения, а значение измеряемой физической величины получать расчетным путем на основе известных функциональных зависимостей между ней и величинами, подвергаемыми измерениям.

В настоящее время на рынке ИИС доминирующее положение продолжают занимать волоконно-оптические системы, за счёт присущих волоконно-оптическому преобразователю (компоненту системы) характеристик: наибольшее быстродействие (10^-9 с.), точность (до 0,1%), надежность и малые габариты.

В работе по разработке волоконно-оптических систем для учёта, мониторинга и прогнозирования работы высоковольтного оборудования в системах управления базами данных (СУБД) с web-интерфейсом нами уже рассматривались волоконно-оптические системы на эффекте Фарадея ^[10]. Разработка подобных систем позволяет решить ряд задач: обеспечить обработку, хранение и выдачу информации о контролируемом оборудовании на предприятии; улучшить контроль качества и управление производством продукции; определять техническое состояние оборудования, предупреждать аварии, повышать эффективность ремонтов и уменьшать число необоснованных планово-предупредительных ремонтов оборудования на предприятии.

В основе построения математической модели ИИС лежат принципы построения волоконно-оптических преобразователей (ВОП) на эффекте Фарадея ^[2] для систем контроля электрического тока и магнитного поля (рис.1):

Рис.1. Принципы построения ВОП на эффекте Фарадея

Каждый их рассмотренных принципов построения обладает определенными свойствами чувствительных элементов. Удовлетворяющими свойствами для современных ИИС контроля электрического тока и магнитного поля обладает принцип построения, основанный на повороте плоскости поляризации в элементе Фарадея с плоской анизотропией ^[9].

В связи с этим, особое внимание следует уделить качеству технических характеристик ИИС контроля. Применениеэффективного численного метода и алгоритма определения технических параметров ИИС в виде ориентированного программного средства позволит повысить качество функционирования измерительной системы.

Основываясь на системном анализе ИИС, мы приходим к мнению, что математическая модель должна включать:

где C - совокупность целей применения измерительной системы;

STR - совокупность компонентов, реализующих систему: измерительный, вычислительный и др.;

TECH - совокупность технологий, реализующих систему: численные методы, средства, алгоритмы;

COND - факторы, влияющие на функционирование системы: температура, магнитные и электрические поля, влажность окружающей среды, механические воздействия и др.;

CH - работники, осуществляющие структуризацию целей применения системы, корректировку структуры компонентов, осуществляющие выбор методов и средств моделирования ^[1].

В ИИС требуется получение информации о различных параметрах контролируемого объекта, которую необходимо обрабатывать, то есть сравнивать полученные параметры с параметрами, заданными в качестве эталонных, определять знаки и значения разности параметров измерения, вычислять некоторые производные параметры ^[11].

Рассмотрим пример структурной схемы ИИС контроля электрического тока и магнитного поля (рис.2). На каждый чувствительный волоконно-оптический элемент (6,8,9,10,11,12) поступает внешний контролируемый сигнал с контролируемого объекта, например: электродегидраторов, резервуаров, главных понижающих подстанций и другого нефтехимического оборудования. Контролируемый сигнал элементов (6,8,9,10,11,12) передается микроконтроллерам 1,2,3,4. При этом фотодиод 7 преобразует оптическое излучение в электрический сигнал. Блок оптического наблюдения 13 оповещает микроконтроллер 3 об отсутствии препятствия для дальнейшего движения, и микроконтроллер 3 передает это оповещение в устройство ввода-вывода, микроконтроллер 4 получает сигнал от устройства 15 ввода - вывода данных о дальнейшем передвижении измерительного устройства контроля физических параметров объекта на волоконно-оптических элементах на другой объект измерения и передает его на механизм перемещения 14 ^[7].

Рис.2. Структурная схема ИИС контроля электрического тока и магнитного поля

Таким образом, в ИИС измерение во все большей степени становится неразрывно связанным с другими функциями (логической обработки, анализа результатов измерений и др.).

Для большинства задач расчетная реализация полных математических моделей ИИС контроля электрического тока и магнитного поля затруднительна по причине сложной структуры компонентов, реализующих систему (STR), а также наличия факторов, влияющих на функционирование системы (COND). В связи с этим для построения модели необходимо выбрать характеристики процессов, установить систему параметров, определяющих процесс преобразования входного сигнала измерительного компонента системы, определить зависимость между характеристиками и параметрами процесса преобразования с учетом всех факторов ^[5].

Математическая модель ИИС контроля электрического и магнитного поля, учитывающая влияние факторов, основывается на интегральном соотношении

которое связывает выходной сигнал y(t) волоконно-оптического преобразователя с основными характеристиками чувствительного элемента g(t,τ) и действующими на него входным сигналом x(t) и возмущениями влияющих величин ^[6].

Моделирование ИИС контроля электрического тока и магнитного поля, учитывающее множество параметров и условий, приводит к сложным уравнениям высокого порядка. В связи с этим необходимо проанализировать также и методы аппроксимации, обеспечивающие минимизацию решения при получении заданной точности. Преимуществом методов разложения функций в бесконечные ряды является его простота и достаточная точность аппроксимации.

Рассмотрим способы вычисления механической квадратуры (однократного интеграла). Для этого обратимся к методам аппроксимации. Воспользуемся интерполяционным многочленом Лагранжа:

Представим функцию в виде многочлена . Получим равенство

(1)

где - ошибка квадратурной формулы.

Пусть требуется вычислить интеграл

,

где . Определим шаг интегрирования и разобьем отрезок на n равных частей с помощью равноудаленных друг от друга точек . Подынтегральную функцию подменим интерполяционным многочленом Лагранжа , тем самым получим приближенную квадратурную формулу

(2)

Определим явные выражения для коэффициентов квадратурной формулы (2). Полином имеет коэффициенты:

.

Введем обозначения и и, учитывая эти обозначения, запишем полином Лагранжа в виде:

(3)

Заменяя в формуле (2) функцию полиномом в виде (3), получим:

,

где .

В связи с тем, что, , и произведена замена переменных в интеграле, получим:

.

Так как , то можно записать коэффициенты Котеса в виде:

(4)

Квадратурная формула при этом принимает вид:

(5)

Важным является и то, что погрешность решения включает погрешности метода δ_M и погрешность округления δ_O. При увеличении числа узлов n δ_M уменьшается, но растет δ_O. Это связано с увеличением количества арифметических действий для решения задачи. Зависимость этих величин показана на графике (рис.3).

Рис. 3. Структура погрешности численного интегрирования

Из графика следует, что требуемую точность ε следует выбирать больше δкр, иначе требуемая точность не может быть достигнута.

Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа ИИС контроля электрического тока и магнитного поля, так как они связывают функцию и величины, которые задают ее свойства.

Рассмотрим три наиболее распространенных метода численного решения дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса.

Метод Эйлера является сравнительно «грубым» и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальными условиями (задача Коши)

(6)

и удовлетворяются условия существования и единственности решения.

Требуется найти решение задачи Коши (6) на отрезке . Находим решение в виде таблицы . Для этого разобьем отрезок на n равных частей и построим последовательность , где - шаг интегрирования. Проинтегрируем исходное уравнение на отрезке :

Полученное соотношение можно переписать как:

(7)

Если считать подынтегральную функцию постоянной на участке и равной значению в начальной точке этого интервала , то получим

Подставляя полученный результат в формулу (7) получаем основную расчетную формулу метода Эйлера:

(8)

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений ^[8]. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:

(9)

где h - шаг интегрирования.

Данный метод имеет погрешность .

Для практического выбора h с целью обеспечения заданной точности решения задачи e применим следующий прием. Выполним два расчета: с n и 2n узлами. Если полученные значения функции во всех узлах отличаются не более, чем на , задачу будем считать решенной. Если нет, то число узлов вновь удвоим и снова сравним полученные значения функций.

Таким образом, расчет продолжается до достижения условия

(10)

Метод Рунге-Кутта является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в связи с тем, что имеет более высокую точность.

Пусть на отрезке требуется найти численное решение задачи Коши (6), где . Представим этот отрезок в виде n равных частей и построим последовательность значений аргумента x искомой функции .

Выражение (7) можно представить в виде:

(11)

где - приращение искомой функции на (k+1)-ом шаге интегрирования.

Зададим аргументу x приращение h, являющееся шагом интегрирования, и разложим функцию y(x+h) в ряд Тейлора в окрестности точки x, сохранив в нем пять членов:

Выполнив перенос слагаемого y(x) в левую часть, получим:

(12)

В данном случае производные будут определяться последовательным дифференцированием уравнения (1).

В методе Рунге-Кутта для каждого значения определяются четыре числа, избегая непосредственных вычислений по формуле (12):

(13)

Таким образом, рабочая формула Рунге-Кутта для интегрирования ^[4]:

Метод Рунге-Кутта может быть использован также и при решении систем дифференциальных уравнений ^[3]. Для этого рассмотрим задачу Коши для системы второго порядка (6). В этом случае приращения Δy_k и Δz_k вычисляются по формулам:

Приближенное интегрирование системы уравнений осуществляется по формулам вида:

(14)

Данный метод имеет погрешность .

В отличие от расчетной схемы метода Эйлера, в которой каждое следующее значение y_k+1 вычисляется непосредственно по единой формуле, в методе Рунге-Кутта необходимо проведение промежуточных вычислений по нескольким формулам.

Пусть для задачи Коши найдены каким-либо способом (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта) три последовательных значения искомой функции

Вычислим величины:

Метод Адамса позволяет найти решение задачи – функцию - в виде таблицы функций. Продолжение полученной таблицы из четырех точек осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса:

(15)

Затем уточнение проводится по интерполяционной формуле Адамса ^[8]:

(16)

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений. Погрешность метода Адамса имеет тот же порядок, что и метод Рунге-Кутта.

В результате проведенного анализа методов численного интегрирования, аппроксимации и численного решения дифференциальных уравнений можно говорить о том, что для построения математической модели ИИС контроля электрического тока и магнитного поля необходимо учитывать точность выбранного метода, а также способность учитывать все факторы, влияющие на конечный результат измерений.

Таким образом, рассмотрены совокупности элементов, необходимых для существования и функционирования разрабатываемой математической модели ИИС контроля электрического тока и магнитного поля. На основе системного анализа мы предприняли попытку построения математической модели ИИС с применением численных методов, точность которых позволит снизить погрешность измеряемых величин.