Elements of algebra of triplexes in idempotent bases

Malashkevich Vasilii Borisovich PhD in Technical Science Associate Professor, Department of Computer Science and Engineering, Volga State University of Technology 424038, Russia, respublika Marii El, g. Ioshkar-Ola, Leninskii pr., 14, kv. 121 malashkevichvb@volgatech.net

Malashkevich Irina Ardalionovna Associate Professor, Department of Information and Computer Systems, Volga State University of Technology 656035, Russia, Altaiskii krai, g. Barnaul, pr. Lenina, 61 malashkevichia@volgatech.net

В задачах механики и теоретической физики широко применяются кватернионы, исследованные ирландским математиком У.Р. Гамильтоном, а также бикомплексные числа ^[1,2]. Интерес исследователей к этим математическим объектам связан с тем, что они представляют элементы четырехмерных евклидовых пространств с помощью скалярных величин – гиперкомплексных чисел. Гиперкомплексные числа являются обобщением комплексных чисел, которые стали удобным инструментом при решении задач синтеза и анализа алгоритмов обработки сигналов. Поэтому методы гиперкомплексных алгебр применимы также к задачам обработки многокомпонентных сигналов. Примерами таких задач является обработка цветных изображений, потоков видео или квадратур ортогонально поляризованных компонент плоской электромагнитной волны. При этом основной интерес исследователей касается алгебры кватернионов, как алгебры с делением ^[2]. В задачах обработки сигналов находят применение также и методы бикомплексной алгебры. Хотя алгебра бикомплексов – это алгебра без операции деления, в работах ^[3-6] ее методы использованы для анализа электромагнитных волн и фильтрации сигналов.

Алгебры без деления имеют специальную форму представления гиперкомплексных чисел в идемпотентном базисе. Такое представление значительно упрощает многие операции обработки многокомпонентных сигналов и позволяет их выполнить с меньшими вычислительными затратами в сравнении с операциями матричной алгебры. Поэтому поиск идемпотентного базиса составляет важную задачу построения соответствующей гиперкомплексной алгебры.

Ряд задач обработки изображений связан с операциями над трехкомпонентными объектами. К таким задачам относятся обработка цветных изображений, работа с трехмерными объектами, анализ пространственных контуров. Их решение с привлечением кватернионов или бикомплексных чисел требует избыточных вычислительных операций, так как одно из измерений оказывается избыточным. В связи с этим перспективным представляется анализ возможностей алгебры трехкомпонентных гиперкомплексных чисел в области обработки трехкомпонентных сигналов. Задачей данной работы является построение идемпотентного базиса алгебры трехкомпонентных гиперкомплексных чисел, определение правил вычисления арифметических операций и элементарных функций в идемпотентном базисе и перспектив их применения в задачах обработки сигналов.

Система коммутативных трехкомпонентных гиперкомплексных чисел определена в работах ^{[7, 8]} в форме

(1)

где - поле вещественных чисел, - компоненты гиперкомплексного числа , - комплексные единицы. Правила умножения базисных комплексных единиц (ортов) определяются соотношениями

(2)

Числа вида (1) имеют три вещественных компонента. Также как комплексное число представляет точку плоскости, компоненты гиперкомплексного числа могут рассматриваться как скалярное представление точки трехмерного пространства. Поэтому в дальнейшем по аналогии с комплексными числами трехкомпонентные гиперкомплексные числа вида (1) будут именоваться триплексами.

Для триплексов определены все четыре арифметические операции. Правила их выполнения легко выводятся из (1) и (2). Полное определение этих операций можно найти в ^[7,8]. В частности, операции умножения и обращения триплексов и определяются как

	(3)
	(4)
	(5)

Правила умножения комплексных единиц (2) носят эмпирический характер. Такой выбор обеспечивает равномерное распределение 9 комбинаций произведений компонентов двух триплексов по компонентам результата произведения. Несложно проверить, что другие возможные определения правил произведения комплексных единиц ведут к немотивированным неравномерным распределениям произведений компонентов сомножителей.

Алгебра триплексов является замкнутой, коммутативной и дистрибутивной по умножению и сложению. Однако алгебра триплексов определяется как алгебра без деления. Это не означает, что операция деления триплексов не существует. Такое определение связано с тем, что в алгебре триплексов кроме деления на ноль (как в алгебре вещественных чисел) запрещено также деление на некоторые числа специального вида. Действительно, из (4) следует, что операция деления не определена при . Используя (5), можно найти триплексные делители двух видов

	(6.1)
	(6.2)

Делители (6.1, 6.2) называются делителями нуля в алгебре триплексов. Невозможность деления на эти числа налагает также запрет на сокращение подобных членов уравнений и неравенств, если эти члены являются делителями нуля.

Триплексные делители нуля обладают свойством ортогональности

Произведение произвольного триплекса на делитель нуля дает в результате делитель нуля того вида, к которому относится сомножитель – делитель нуля.

где - произвольный триплекс.

Делители нуля имеют простую геометрическую интерпретацию. Если триплекс - это точка трехмерного евклидова пространства, то делители нуля первого вида (6.1) расположены в плоскости , перпендикулярной линии трисекции , на которой расположены делители нуля второго вида (Рис.1).

Рис.1 Плоскость с уравнением и линия трисекции с уравнением , проведенные через начало координат .

Геометрическая ортогональность триплексных делителей нуля первого и второго видов говорит о возможности определения триплекса в базисе координат, связанном с делителями нуля. Орты такого базиса должны обладать свойством , т.е. являться идемпотентными элементами алгебры триплексов. Такие элементы можно найти как решения системы уравнений:

Система имеет восемь решений , которые определяют восемь идемпотентных элементов . Два элемента и являются тривиальными и не представляют интереса. Среди оставшихся шести элементов

	(7)

существуют шесть ортогональных пар, которые потенциально могут быть выбраны в качестве двухкомпонентного идемпотентного базиса (ДИБ). Они приведены в таблице 1:

Таблица 1. Ортогональные идемпотентные элементы алгебры триплексов

	Орт 1	Орт 2
1
2
3
4
5
6

Отметим, что ортами идемпотентных базисов 1-3 являются делители нуля разных видов. Орты базисов 4,5 не являются делителями нуля, а оба орта базиса 6 представлены делителями нуля первого вида. Поэтому базисы 4-6 не могут использоваться для представления произвольных триплексов. Базисы 2 и 3 эквивалентны, так как отличаются только комплексным сопряжением орта . Таким образом, практический интерес представляют только базисы 1, 2.

Рассмотрим идемпотентный базис 1. Формулы для разложения произвольного триплексного числа по идемпотентному базису получаются из равенства

(8)

Полагая, что – триплексы, раскрывая и приравнивая вещественные, h- и k- компоненты, получим систему уравнений

Решение системы имеет вид:

Таким образом, произвольный триплекс может быть представлен в идемпотентном базисе 1:

(9)

Обратное преобразование имеет вид

(10)

Несложно видеть, что компоненты идемпотентного базиса триплекса – числа более простой структуры: - вещественное число, – биплексное число.

Отметим, что для случая кодирования пикселей цветного изображения, представленных красной (R), зеленой (G) и голубой (B) составляющими

вещественный компонент идемпотентного базиса можно интерпретировать как яркость пикселя, а биплексный компонент - как цветоразностные составляющие пикселя.

К сожалению биплексные числа в соответствии с правилами (2) не образуют замкнутого кольца. Это означает, что операции умножения с такими числами приводят к триплексным числам. Поэтому представление триплексов в базисе 1 не имеет существенных преимуществ с вычислительной точки зрения.

Для базиса 2 решения уравнения (8) не существует. Таким образом, единственным ДИБ триплексов является базис 1.

Комбинируя тройки идемпотентных элементов можно получить два трехкомпонентных идемпотентных базиса (ТИБ) триплексов:

(11)

такие, что

Несложно заметить, что , где символ * обозначает обычное комплексное сопряжение.

Формулы для разложения произвольного триплексного числа по ТИБ можно получить из равенства

(12)

Решение системы (12) дает

(13)

где . Несложно также заметить, что .

Обратный переход можно выполнить по формулам

(14)

Таким образом, ТИБ позволяет представить произвольный триплекс с помощью одного вещественного и пары комплексно сопряженных чисел. Причем в силу комплексной сопряженности компонентов такое представление не потребует дополнительной памяти и дополнительных вычислительных операций.

В алгебре комплексных чисел большое значение имеет операция сопряжения. Алгебры гиперкомплексных чисел дают разные определения этой операции. В алгебре триплексов также можно дать несколько различных определений для операции сопряжения.

Алгебраическое сопряжение подобно обычному комплексному сопряжению и позволяет определить модуль триплекса. Оно находится из условия

где * - символ алгебраического сопряжения триплекса, - модуль триплекса . Решение этого уравнения относительно имеет вид

(15)

где

Очевидно, что алгебраическое сопряжение не существует для триплексов – делителей нуля.

Операция геометрического сопряжения имеет вид

(16)

Этот вид сопряжения позволяет выделить вещественную и комплексную составляющие триплекса

Другой вид сопряжения дает идемпотентное представление триплексов ( – вещественный, – комплексно сопряженные компоненты)

Несложно показать, что

(17)

и тогда

где , а и – проекции трехмерного вектора на линию трисекции и плоскость . Идемпотентное сопряжение позволяет также вычислить модуль делителей нуля:

(18)

Возможны и другие определения операции сопряжения. Однако их целесообразность и физический смысл требуют дополнительных исследований.

Идемпотентный базис существенно упрощает определения арифметических операций над триплексами и функций триплексного аргумента. Снижение сложности здесь достигается за счет того, что все определения могут быть сделаны в рамках алгебр, в которых представлены идемпотентные компоненты. Для ТИБ это хорошо известные алгебры вещественных и комплексных чисел. Указанное упрощение достигается с помощью следующих свойств идемпотентного базиса

Три подмножества множества триплексов

образуют идеалы в кольце триплексов со свойствами

Отсюда следует простое правило определения функций триплексов в идемпотентном базисе. Если – произвольный триплекс, представленный в идемпотентом базисе, то справедливы следующие определения:

	(19)

где - функция отображения триплексного аргумента в кольцо триплексов.

Свойства (19) позволяют дать новые определения арифметическим операциям умножения и обращения триплексов и в ТИБ:

	(20)

Простой подсчет числа вещественных арифметических действий, необходимых для выполнения арифметических операций над триплексами в разных базисах, показывает преимущество вычислений в ТИБ. В таблице 2 приведены количества вещественных операций для вычислений в алгебре триплексов по определениям (3,4) и по определениям (20).

Табл.2 Количество вещественных операций

Приведенные оценки числа операций в ТИБ не учитывают операции преобразования базиса. Это связано с тем, что в реальных вычислениях всегда приходится выполнять последовательность арифметических преобразований. Все эти действия вычислительно эффективнее реализовать в ТИБ. При этом операции перехода в ТИБ (13), выполняемые в начале вычислений, и обратного перехода в исходный базис (14) в конце вычислений лишь несущественно увеличат общую вычислительную сложность.

Идемпотентный базис и свойства (19) позволяют также дать простое определение элементарных функций триплексного аргумента.

В работах ^[7,8] дано определение экспоненциальной функции с привлечением разложения функции в ряд Тейлора, введения косэкспотенциальных функций ^[7,8] и нетривиальных алгебраических преобразований. Определение, полученное в ^[7,8], здесь не приводится вследствие его громоздкости. Достаточно отметить, что вычисление одного значения экспоненциальной функции триплексного аргумента по этому определению требует расчета 11 значений элементарных вещественных функций, 31 вещественную операцию умножения/деления и 13 сложений.

Определение экспоненциальной функции в ТИБ имеет вид:

Для вычисления ее значения достаточно иметь значения только 4 элементарных вещественных функций.

Аналогичные определения несложно получить и для всех других элементарных функций. И для каждой из них вычисления в ТИБ оказываются существенно эффективнее. Другим важным достоинством представления функций в ТИБ является простое и строгое определение областей допустимых аргументов триплексных функций. Например, из определения

сразу следует, что функция логарифма определена только для триплексов, у которых .

Используя идемпотентный базис и (19), несложно доказать справедливость тождеств, известных для элементарных функций вещественного аргумента. Например

так как .

Основным результатом работы является построение идемпотентного базиса триплексов. Полученный базис (11), несмотря на его комплексный характер, не является избыточным и не требует дополнительных затрат памяти. Формулы перехода (13,14) просты, они не требуют существенных вычислительных затрат. Вместе с тем, вычисления в ТИБ существенно снижают вычислительную сложность алгоритмов обработки триплексных сигналов. Причем, так как компоненты ТИБ принадлежат полям вещественных и комплексных чисел, программная реализация вычислений может использовать уже готовые, проверенные и отлаженные вычислительные процедуры.

Приведенные в работе вычислительные определения протестированы с помощью вычислительных экспериментов. С этой целью разработан класс триплексных чисел, в котором реализованы методы вычислений, полученные в работах ^[7,8], и предложенные методы вычислений в ТИБ. Проведенные эксперименты демонстрируют полную идентичность результатов вычислений в обоих базисах, что подтверждает достоверность полученных в работе определений.

Вычислительная эффективность обработки триплексов в ТИБ обуславливает перспективность применения методов алгебры гиперкомплексных триплексных чисел в задачах обработки сигналов. Полученный идемпотентный базис триплексов создает основу для исследования таких объектов как матрицы триплексов. С помощью ТИБ несложно определить преобразование Фурье триплексов, исследовать методы корреляционного анализа триплексных сигналов, методы синтеза триплексных фильтров, применить методы статистического синтеза алгоритмов обнаружения и классификации триплексных сигналов, а также другие математические инструменты и модели, используемые в задачах обработки сигналов.