Algebra of Generalization theory

Apartsev Oleg Rolenovich investigator 649240, Russia, respublika Altai, selo Anos, ul. Choros-Gurkina, 66 apartsev-or@yandex.ru Other publications by this author

Философское исследование процессов возникновения, существования и развития популяций, сделанное в предположении существования неких внутрипопуляционных обменных частиц, проведенное в монографии ^[1], и статьях ^[2],[3],[4] привело к появлению Теории Амбивалентной Генерализации.

Короткая история развития Теории, и, в том числе, малое количество работ, развивающих ее и рассматривающих приложения к различным популяциобразным системам, имеют следствием наличие большого количества смежных вопросов, которых не касались проведенные исследования. Одно из таких неизученных мест, это область математического описания информационных процессов в популяциях, являющихся базовой составляющей Теории Генерализации.

Не смотря на то, что софистические исследования позволили сформулировать некоторые обобщенные законы существования популяций, а так же, в указанных выше работах автора, где это было возможно, были приведены некоторые абстрактные определения и размещены «математические зацепки», оставленные для возможного построения информационных моделей популяций, при всем при этом, реальный математический аппарат Теории остался неразвитым.

Настоящая статья имеет целью обсудить некоторые подходы к абстрактно-символьному описанию Теории Генерализации, а так же выдвинуть предложения, относительно возможного применения формального математического аппарата при моделировании реальных информационных процессов в произвольных популяциях.

В монографии ^[1] и статье ^[2] обоснована теория, которая объясняет существование квази-связанной, квази-стабильной популяции наличием, как минимум, четырех экстравертных атрибутивных функций, присущих каждому «популяту», так, для краткости, в настоящей работе будет называться член любой популяции.

Атрибутивные функции популята:

• Z-атрибут, отвечающий за процесс конверсии, – это информационное представление взаимодействия популятов с окружающей средой, в биологии называемого «метаболизм».
• X-атрибут, обеспечивающий трансляцию, иначе – воспроизведение новых популятов.
• Y-атрибут, или кредитизация, – обмен атрибутами в популяции при помощи обменных частиц – «кредов».
• D-атрибут, деструкция, – выбывание популятов из популяции по различным причинам.

Для построения информационной интерпретации окружающей среды, в том числе поля ресурсов, необходимых для метаболизма популяции, к перечисленному выше описанию атрибутивных функций, необходимо добавить векторное поле ресурсов M, распределенное на медиа-пространстве популяции (окружающем пространстве), причем, по крайней мере, часть координат векторов совпадает с координатами Z- и D- атрибутов. Тут необходимо отметить, что удобнее всего связывать нахождение вектора не с геометрическим пространством, а с пространством популяции, в смысле попадания ресурсов в зону действия конкретного популята, где с вектором ресурсов будет осуществлено «провоцированное преобразование»^[1],[2], стимулируемое Z-атрибутом популята.

И далее, следуя Теории Генерализации, мы должны добавить в описываемую нами «вселенную монопопуляции», обменные частицы, креды, порождаемые популятами, и взаимодействующие с ними. Вообще говоря, даже зная, что креды взаимодействуют с атрибутами популята, невозможно задать точное содержание креда. Какое количество значений атрибутивных координат популятов будет подвержено модернизации при взаимодействии с отдельным кредами, в каком направлении произойдет изменение, – это события, зависящее от «перепроизводства» тех кредов, которые копируют свойства успешных, в потреблении ресурсов, популятов, а так же от вероятностных исходов в процессе кредитизации.

Для кредов, так же, как для ресурсов, вводится понятие «векторного поля кредов»,K , что означает представление структуры внутренней информации креда в виде вектора, в целом совпадающая с атрибутивными координатами любого популята в популяции, и координат каждого креда, для «привязки» в популяции. Координатой «привязки» креда служат: популят-донор при генерации креда, и популят-акцептор при его захвате.

Таким образом, мы имеем три информационных взаимодействующих множества:

• Ресурсов – М.
• Кредов – К.
• И, собственно, пространство самих популятов, для которых введем обозначение – P.

Правила их взаимодействия, которые очевидны из вышесказанного:

• Ресурсы взаимодействуют с популятами.
• Креды, также, взаимодействуют с популятами.
• Креды и ресурсы, вообще говоря, друг с другом не взаимодействуют, или их взаимодействием можно пренебречь.

Именно на этом «правиле трех множеств», применимом для любой популяции, основывается наш расчет на актуальность разрабатываемой нами Алгебры ко всему разнообразию популяциобразных объектов.

Введем символьные обозначения объектов, рассматриваемых Теорией Генерализации:

Локальный атрибутивный вектор ресурсов, т.е. относящийся к популяту под номером «i», будем обозначать:

|m_i> ,

Локальный атрибутивный вектор характеризующий кред, порожденный популятом под номером «j», получит обозначение :

<k_j|,

Заметим, что противонаправленность этих векторов – не просто причуда. Это, в данном случае, выражение разной природы этих векторов.

Теперь осталось ввести обозначение для комплекса атрибутов популята под номером «i», назовем это«атрибутивной матричной формой»:

< z_i|i|x_i| y_i>> ,

где пояснение, видимо, необходимо только для буквы «i», которая идентифицирует сам популят, и двойной стрелки справа - этот указатель напоминает о двойной функции: донорной и акцепторной кредитизации, т.к. обменные частицы могут, как генерироваться, так и поглощаться.

Для простоты, D-атрибут включен в состав Z-атрибута, считая, что основная причина выбывания популятов из популяции – ресурсные катаклизмы. Однако, для других случаев, можно включить его как отдельный атрибутивный показатель, например таким образом:

< z_i < d_i|i|x_i| y_i>>.

Для получения возможностей описания процессов, в соответствии с Теорией Генерализации, мы вводим операцию «Провоцированное преобразование», напомним, что это понятие включает в себя необратимое и, в рамках собственных взаимодействий популята, неустранимое изменение, которое, как процесс, протекающий только в одну сторону, мы обозначим стрелкой: «→».

И, теперь, для завершенности, введем вспомогательные символы: « * », если взаимодействие между объектами возможно, и символ: « + », если оно не может быть осуществлено, по причинам несовпадения, либо геометрических, либо атрибутивных координат. Смысл вспомогательных символов состоит только в визуализации взаимного состояния объектов, то есть, в них отражается контактная близость объектов взаимодействия и их готовность для взаимодействия.

Эта конфигурация символов позволяет записать локальные взаимодействия одного популята, подпадающие под Закон Генерализации в виде операторных выражений.

Конверсия + Метаболизм:

|m> * <z|i|x| y>> → |m > + <z| i| x| y>> (1).

Конверсия + Трансляция:

|m>*<z| i|x| y>> → |m > + <z| i| x| y>> + <z|i+1| x| y>> (2).

Конверсия + Деструкция:

|m> * <z| i|x| y>> → |m > (3).

Конверсия + Донорная Кредитизация:

|m>*<z| i|x| y_i>> → |m > + <z| i| x| y_i>> + <k_i| (4).

Акцепторная Кредитизация:

<z_i| i|x_i| y_i>> * <k_j| → <z_j| i| x_i| y_i>>, - изменение Z-атрибута (5);

<z_i| i|x_i| y_i>> * <k_j| → <z_i| i|x_j| y_i>>, - изменение X-атрибута (6);

<z_i| i|x_i| y_i>> * <k_j| → <z_i| i|x_i| y_j>>, - изменение Y-атрибута (7).

Примечание: В вышеуказанных выражениях не проставлены нижние индексы там, где очевидна принадлежность атрибутов к одному популяту.

Следует заметить, что приведенные выше символьные обозначения не новы. Первыми подобные по написанию сиволы были использованы в квантовой физике. Однако, мы не ищем, пока что, никаких соответствий между нашими и квантовыми операторными записями процессов. Нас интересует, исключительно, соответствие объектов нашего рассмотрения и графических символов, подчиняющихся логике взаимодействия, заданной Теорией Генерализации.

Выражение (1). Простой обмен с окружающей средой, в биологии называемый метаболизмом, для энергетических, или других целей. Происходит конверсия ресурсов.

Выражение (2). Воспроизводство новых популятов, также сопровождаемое конверсией.

Выражение (3). Деструкция популята при взаимодействии с окружающей средой, в данном случае – как следствие воздействия окружающей среды.

Выражение (4). Процесс донорной кредитизации. С точки зрения Теории Генерализации – первый акт наиважнейшего процесса в сохранении и развитии популяции. Процесс, конечно же, стимулируется конверсией ресурсов. Фактически, это единственная причина «антиэнтропийного» закона для биологических популяций.

Выражения (5)…(7). Демонстрация возможных результатов воздействий на атрибуты популята при акцептации креда, акт акцепторной кредитизации.

Для чего годятся такие операторные уравнения?

При суммировании идентичных элементов по всей выборке, то есть во всех локальных уравнениях, на определенный момент времени, результатом окажется вектор аддитивных величин, описывающий состояние популяции, и эту методику можно использовать для исследования динамики любой популяции.

В обобщенном виде это может быть представлено условной формулой:

{Σm_i; (Σz_i; Σx_i; Σy_i); Σk_i} = {M; P; K} (8) .

Очевидно, что именно таким приемом, но с разной степенью полноты, проводится исследования и описания любых популяций, начиная с количества эритроцитов в крови и заканчивая биржевыми индексами.

Коснемся вопросов непредсказуемых изменений в атрибутах популятов, называемых в биологии мутациями.

Все изменения, как атрибутов, так и ресурсов, для общности, будем называть диссипационными явлениями, выделяя в них мутации: стимулированные извне трансформации атрибутов, произошедшие не за счет внутрипопуляционных обменных механизмов – кредитизации.

Метаболизм - диссипация ресурсов:

|m> * <z| i|x| y>> → |m1> + <z| i|x| y>> (9).

Мутация - диссипация атрибутов:

|m> * <z| i|x| y>> → |m1> + <z1| i|x| y>> (10),

|m> * <z| i|x| y>> → |m1> + <z| i|x1|y>>(11),

|m> * <z| i|x| y>> → |m1> + <z| i|x| y1>> (12).

Самопроизвольная диссипация ресурсов:

|m> → |m1> (13).

Выражение (10) задает мутацию Z-атрибута, Выражение (11)– Х-атрибута, Выражение(12) – Y-атрибута. Выражение (13) приведено для того, чтобы показать, что ресурсы могут меняться просто так, сами по себе, по каким-либо внешним причинам, чего мы пока не можем позволить объектам, задействованным в популяции, где мы задаем полную определенность функций, а именно, их приверженность к Закону Генерализации.

В настоящей работе, мы не анализируем вероятностные характеристики мутаций, однако надо понимать, что в определенных случаях эти величины потребуются при практических расчетах.

Видимо, необходимо несколько глубже проанализировать базисные особенности Алгебры Генерализации, связанные с принимаемыми во внимание свойствами атрибутивных объектов и функций. Говоря о Провоцированном Преобразовании, как об атрибутивной операции, которая «срабатывает» при взаимодействии атрибутивной матричной формы и вектора, мы понимаем, что этот процесс является триггерной функцией переключения при совпадении значений векторов с соответствующими значениями форм. Такие события описываются в математике мультипликативными функциями, как логическими, так и вероятностными. При этом «событие» в такой функции происходит при отличии от нулевого значения всех членов мультипликативного ряда. Нами подразумевается наличие в составе каждого объекта, по крайней мере, двух составляющих: координатной и атрибутивной. Их одновременное ненулевое значение означает возможность «срабатывания» триггерной функции. Таким образом, атрибутивные функции Z, X, Y, К, M, или другие, состоят из двух частей, например:

Z1= R*Z (14).

Именно такой состав атрибутивных функций позволяет нам придти к локальным формулам, сведенным к вышеуказанные выражениям. В них неявно учтено, что совпадение по координатам уже произошло, что присваивает мультипликативному члену R значение, равное «1». При таком подходе дополнительные операторы « * » и « + », позволяют нам описать результаты взаимодействия объектов, не прописывая их атрибуты по координатным составляющим.

В этой особенности применения мультипликативных функций, который можно назвать «методом вычленения», заключены возможности для исследования многих процессов. Если быть последовательным, то можно сказать, что «провоцированное преобразование» имеет свое абстрактное выражение в мультипликативной триггерной функции, которая порождает «метод вычленения». Этими возможностями, часто в неявной, точнее, в неоговоренной форме, пользуются все исследователи.

Можно избавиться от невзаимодействующих, и неитересующих нас членов в формулах, приведенных в таблицах.

Трансляция:

m> * < z| i |x| y>> → < z| i |x| y>> + < z| i+1 |x| y>> (15).

Деструкция:

|m> * <z| i | x| y>> → 0 (16).

Кредитизация:

|m> * <z|i |x| y_i>> → <z|i |x| y_i>> + < k_i| (17),

<z_i|i |x_i| y_i>> * <k_j| → <z_j|i |x_i| y_i>> (18),

<z_i|i |x_i| y_i>> * <k_j| → <z_i|i |x_j| y_i>> (19),

<z_i|i |x_i| y_i>> * <k_j| → <z_i|i |x_i| y_j>> (20).

Метаболизм, при котором не изменяется конфигурация популяции, может не рассматриваться при упрощенных рассмотрениях популяционной динамики.

Безусловно, предлагаемая алгебра должна демонстрировать возможность адекватного представления любых возможных процессов. Попробуем записать выражения описывающие механизмы таких процессов, как, например, сигнальные процессы в популяциии.

Сигнальные функции

Не повторяя подробности введения сигнальных функций, описанных в ^[1],[3], сообщим, что сигнальные атрибуты, в целом, представляют аналог Y-атрибута, за исключением только того, что информационные частицы не провоцируют изменения основных атрибутов, и не передаются по наследству.

Атрибут сигнальной функции, S-атрибут, для любого популята обозначим, как:

< || s >>,

опустив символы принадлежности к конкретному популяту, а само сообщение представим в виде:

< p |,

(от Лат. Publicum - сообщение).

Варианты сигнального взаимодействия:

Акцептация (прием) сообщения без передачи:

< || s>> * < p | → < || s >> (21),

Акцептация сообщения с передачей:

< || s>> *→ < || s >> + < p | (22),

Но если рассматривать сигнальную функцию как средство, модулирующее деятельность других атрибутивных функций, то уравнения могут принять вид:

(< || s >> * < p |) * | m > → < || s >> + < || s >> (23),

(< || s >> * < p |) * | m > → < || s >> + < || s >> + < p | (24).

либо:

(< || s >> * < p |) * | m > → < || s >> + < k | (25),

(< || s >> * < p |) * | m > → < || s >> + < k | +

(26).

Возможны и более экзотические варианты, например, со «спасением от деструкции»:

(< d || s >> * < p |) * | m > → < d|| s>> (27),

в отличии от случая отсутствия информации-предупреждения:

< d|| s >> * |m > → 0 (28).

Отсроченная кредитизация

В предположении, высказанном в ^[1],[2], утверждается, что переход от простейших одиночных организмов к сложным симбиотическим, имеющим дифференциацию функциональных отличий для симбиотов-участников, привел к явлению отсроченной кредитизации. Это явление обозначает перенос действия обменных кредов на вновь порождаемый популят, что предотвращает изменение закрепленных функциональных связей в уже сложившемся симбиотическом популяте. Креды, действующие только при воспроизводстве сложных популятов получили название «Транскреды».

Выражение для транскредитации может быть записано следующим образом:

|m>*(< z₁| x₁| y₁>> *<k₂|) →< z₁| x₁| y₁>>+< z_1/2| x_1/2| y_1/2 >> (29).

хотя, например, генетики могут предусмотреть и другие, более детально прописанные исходы, а лингвистам и психологам может пригодиться что-то еще, следуя распространению Теории Генерализации и на область гуманитарных наук ^[4].

Попытаемся воспользоваться Алгеброй Генерализации в достаточно элементарной задаче.

Пример.

Предположим, что мы рассматриваем равномерно распределенную бесконечную популяцию, что нам необходимо для отсутствия краевых эффектов в распределении кредов и ресурсов, с равномерным распределением стабильно воспроизводимых во времени ресурсов. Также условимся, что 0,1% популяции представляет новую генерацию популятов с удвоенной частотой генерации кредов (для них Y-атрибуту присвоим обозначение y₂). Для еще большего упрощения, посчитаем что деструкция и рождаемость в популяции компенсирована, равномерно распределена, и не зависит от свойств популята. Все креды поглощаются популятами за шаг времени t. Мутации, во время эксперимента, полностью отсутствуют.

То есть, представлена совсем упрощенная модель популяции.

Тогда система локальных уравнений для популяции примет вид:

< || y₁ >> → < || y₁ >> + < k₁ | (30),

< || y₂ >> → < || y₂ >> + 2 < k₂ | (31),

< || y₁ >> * < k₁ | → < || y₁ >> (32),

< || y₂ >> * < k₂ | → < || y₂ >> (33),

< || y₁ >> * < k₂ | → < || y₂ >> (34),

< || y₂ >> * < k₁ | → < || y₁ >> (35),

Ʃ y₁ |_t=0 = 999 (36),

Ʃ y₁ |_t=0 = 1 (37).

В системе два первых выражения (30), (31) представляют донорную кредитизацию, (32)…(35) – акцепторную, (36) и (37) – начальные условия.

Для рассмотрения динамики популяции будем проводить пошаговое рекурсивное суммирование результатов в правых частях выражений (после символа «Провоцированного Преобразования»), поочередно, для подсчета кредов в (30), (31). Затем, для подсчета популятов, суммируем их в (32)…(35), и дальше - продолжим последовательное повторение вычислительных процессов.

Начальные условия характеризуют исходное соотношение различающихся популятов в одной тысяче.

Таблица 1. Результаты численного моделирования динамики популяции

Диаграмма 1. Изменение соотношения старых и новых популятов

Обсуждение: собственно, с математической точки зрения и обсуждать нечего. Проведением пошагового суммирования, получена динамика развития популяции.

Безусловно, пример очень прост. Но, кажется, вполне продемонстрирована возможность метода, от формулирования популяционной задачи, до ее математической обработки.

В части обсуждения популяционной динамики можно лишь высказать удивление: всего за 10 временных циклов, устойчивая популяция полностью перекраивается, после появления лишь одного из тысячи популятов с вдвое большей скоростью производства кредов. Демонстрируется, по сути, элементарная модель появления в популяции пассионариев и очень быстрая трансформация популяции под их воздействием.

Если теперь принять во внимание обоснования, приведенные в ^{[1],[2],[3],[4]} для распространения Теории Генерализации, не только на популяции Биологических Объектов, но, также, на Информационный обмен, и процессы Сознания, которые не только с точки зрения их происхождения, являются прямым результатом популяционной динамики. И, далее, использовать методологию Теории Генерализации в исследованиях процессов трансформации Образов и Категорий Сознания. А затем, исследовать приложения Теории на значительную часть Социальных и Экономических феноменов, и все с помощью той же Теории Генерализации. При такой перспективе широкого применения Теории, становится понятно желание автора создать универсальное «оружие», отточенное математическими инструментами, для создания простых и сложных моделей, благодаря которым, возможно, биологические и гуманитарные науки станут полноценными науками, в смысле своей математической основательности и измеримости всех и любых объектов исследований.

Алгебра Генерализации, по мнению автора, для Биологии предоставляет расширение теории Дарвина, Нейрофизиология получает возможность моделирования мыслительных процессов, Физиология исследовать модели саморегуляторной деятельности, Психология – анализ динамики психических явлений. Социологические и Экономические науки, с их заведомо популяционными законами развития объектов, могут использовать, пусть вычислительно примитивный, но реалистичный механизм изучения всех, или почти всех явлений и объектов. Вплоть до материалистически обоснованного феномена Пассионарности, который можно изложить в математической форме, с указанием измеримых переменных, имеющих материальное воплощение.

Теория Генерализации, в предлагаемом применении, усиленная математическими методами – это попытка и, вероятно, возможность пересмотра современного Мировоззрения и Философии познания окружающего мира, прежде всего, через принятие во внимание популяционной природы биологического Разума и нахождение единства всех процессов, окружающих Живую Природу, а также, математического воплощения всех существенных информационных процессов.

Необходимо отметить, что Теория Генерализации некоторым образом оппонирует современной трактовке Теории Информации, опирающейся на процессы в "статичной" Памяти, рассматривающей, вообще говоря, исключительно незамкнутые процессы в ней, что является слишком большим упрощением, или, точнее, отклонением от реальности, приводящим к систематическим ошибкам и непониманию Природы...