Reduction of term in scientific theory

1. Предварительные замечания

Изучение редукции термина важно для развития методологии дедуктивных дисциплин, поскольку оно затрагивает такие проблемы, как определимость понятий и логические отношения между теориями. В естествознании дискуссии вокруг феномена редукции возникают в связи с вопросом о границе между наблюдаемыми и ненаблюдаемыми свойствами предметов, а в эпистемологии тема редукции связана с классическими философскими вопросами о соотношении абстрактного и конкретного, опыта и знания, части и целого.

Однако в современных публикациях редукция понимается слишком широко, поэтому необходимы как строгая экспликация понятия редукции, так и изучение семантических и эпистемологических следствий такой экспликации. Данная статья представляет собой попытку решить эту задачу. Исследование редукции в ней будет ограничено следующими предпосылками.

1. Редукция будет рассматриваться как отношение между терминами внутри научной теории. Поэтому необходимо определить, что именно понимается под теорией в данном исследовании. Теорией называется множество предложений, замкнутых относительно выводимости ^{[9, с. 37]}. То есть совокупность предложений Δ называется теорией Τ, если и только если для любого предложения S справедливо, что если S выводимо из Δ, то S принадлежит множеству Δ. Такое определение теории – сильная идеализация, однако оно достаточно обще, чтобы охватить различные виды теорий в дедуктивных, гуманитарных и естественных науках. Действительно, теорией обычно называют совокупность логически связанных утверждений, описывающих некоторую предметную область. Если абстрагироваться от предмета теории, то остается только отношение выводимости как необходимое и достаточное условие объединения некоторых предложений в теорию. В пользу такого абстрактного определения можно привести ряд эпистемологических аргументов ^[11], однако здесь мы не будем на них останавливаться.

2. Под термином понимается дескриптивное (нелогическое) выражение естественного или искусственного языка, значением которого выступает множество объектов из предметного универсума теории. Природа объектов нас в данном случае не интересует. С точки зрения общепринятого в современной логике теоретико-множественного подхода строго разграничить дескриптивные и логические термины нельзя, поскольку те и другие определяются через множества и операции над множествами. Однако явное различие между терминами возникает в ситуациях их употребления. Если логические термины («и», «не», «есть» «всякий» и т.п.) используются для соединения частей предложения или нескольких предложений, то есть играют синтаксическую роль, то дескриптивные термины («число», «функция», «планета», «скорость» и т.п.) обеспечивают связь предложений с предметной областью, то есть используются в семантических целях. Поэтому изучение редукции термина в научной теории можно считать семантическим исследованием.

3. Фундаментальное для определения теории понятие логической выводимости (доказуемости) мы заимствуем из формальной аксиоматической системы логики Д. Гильберта и В. Аккермана ^{[1, с. 53-54]}. Однако натуральные и резолютивные логические исчисления показывают, что для осуществления логического вывода одних теорем из других наличие аксиом в теории не обязательно, достаточно правил вывода. Более общее понятие формального вывода, определенное через отношение непосредственного логического следования, можно найти, например, у С. Клини ^{[6, с. 78]}. Таким образом, сделанные в данной статье замечания относятся не только к узкому классу аксиоматизированных дедуктивных теорий логики и математики, но и к содержательным теориям естественных и гуманитарных наук, поскольку отношение логической выводимости универсально.

4. В статье используются следующие обозначения:

∀ – универсальный квантор;

∃ – экзистенциальный квантор;

∪ – оператор объединения множеств;

→ – импликация;

& – конъюнкция;

↔ – эквивалентность (как пропозициональная связка);

|= – знак непосредственного логического следования.

2. Формальное определение редукции

Интуитивно редукцию можно понимать как операцию, обратную определению. Если при определении в словарь теории добавляется новый термин, то при редукции этот термин из словаря удаляется, и во всех содержащих его выражениях происходит замена элиминируемого термина на некоторое эквивалентное выражение. Эпистемологический смысл процедуры редукции заключается в нахождении некоторых нередуцируемых (исходных) терминов. Однако какими свойствами должен обладать термин, чтобы его редукция была возможной? Попробуем ответить на этот вопрос с помощью критериев определимости термина в формальной теории. Можно выделить как минимум четыре различных критерия, но все они логически связаны между собой.

1. Явная синтаксическая определимость. Термин P явно синтаксически определим в терминах теории T, если и только если существует предложение S, не содержащее термина P, и включающее k различных переменных x₁, x₂, … ,x_k, такое, что из множества предложений T выводима эквивалентность ∀ x₁, x₂, … ,x_k (P(x₁, x₂, … ,x_k) ↔ S).

Критерий явной синтаксической определимости не слишком полезен, поскольку для его установления требуется найти конкретную формулу, эквивалентную термину P (по этой причине он называется явным), а эффективного общего алгоритма для такого поиска не существует даже для формальных теорий.

2. Неявная семантическая определимость. Термин P неявно семантически определим в терминах теории T, если и только для любых семантических интерпретаций I₁ и I₂ на некоторой непустой предметной области U справедливо, что если каждому термину из словаря теории T они приписывают идентичные значения, то термину P они также приписывают идентичные значения. Здесь под семантической интерпретацией понимается некоторая функция, которая сопоставляет каждой константе теории T единственное значение из предметной области U.

Критерий неявной семантической определимости впервые предложил итальянский логик А. Падоа ^[18], который показал, что если термин теории определим через другие ее термины, то он не является независимым и, следовательно, может быть элиминирован из ее словаря. Согласно Падоа, доказательство независимости некоторого термина теории от остальных ее исходных терминов требует нахождения двух таких интерпретаций, в которых различны только объекты, являющиеся референтами данного термина. Иными словами, если для термина можно найти две различные семантические интерпретации (функции, которые всем дескриптивным терминам T, кроме P, сопоставляют одни и те же объекты), то он является независимым термином. Также Падоа доказал, что если термин P явно синтаксически определим в терминах теории T, то P неявно семантически определим в терминах теории T. Это утверждение известно как теорема Падоа и оно, по сути, аналогично теореме о семантической непротиворечивости исчисления предикатов ^{[9, с. 51]}.

3. Неявная синтаксическая определимость. Пусть P и Q – k-местные термины, принадлежащие словарю теории T. Обозначим через T^Q результат повсеместного замещения в T термина P на термин Q. Будем говорить, что термин P неявно синтаксически определим, если и только если из множества предложений T ∪ T^Q выводима формула

∀ x₁, x₂, … ,x_k (P(x₁, x₂, … ,x_k) ↔ Q(x₁, x₂, … ,x_k)).

4. Явная семантическая определимость. Термин P явно семантически определим в терминах теории T, если и только если существует предложение S, не содержащее термина P и включающее k различных переменных x₁, x₂, … ,x_k, такое, что из множества предложений T логически следует эквивалентность ∀ x₁, x₂, … ,x_k (P(x₁, x₂, … ,x_k) ↔ S).

На основании приведенных критериев нидерландский логик Э.В. Бет показал, что если термин P неявно семантически определим в терминах теории T, то онявно определим (синтаксически или семантически) в терминах теории T ^[14]. Это утверждение означает, что из неявной определимости символа в теории следует его зависимость от других символов. Изначально теорема Бета была сформулирована только для предикаторных констант, но В.Н. Карпович предложил ее обобщенную формулировку для функциональных констант ^{[3, с. 40-42]}. С помощью теорем Падоа и Бета В.А. Смирнов продемонстрировал равнообъемность всех четырех критериев определимости термина в первопорядковой логике предикатов ^{[9, с. 52-55]}.

Таким образом, вопрос о существовании определения термина Р в формальной теории сводится к вопросу о существовании вывода из множества теорем данной теории некоторой эквивалентности, в которой Р выступает в роли дефиниендума, а предложение S, не содержащее Р, – в роли дефиниенса. Главное требование к операции определения заключается в том, чтобы вводимые с ее помощью термины не приводили к появлению новых недоказуемых предложений. Аналогичным образом, главное требование к редукции термина должно состоять в том, чтобы эта операция не устраняла ранее доказанные теоремы из теории.

Тем не менее, введение нового термина можно рассматривать как переход от одной теории к другой, поскольку изменению подвергается фундамент теории – ее словарь. С этой точки зрения добавление любого термина в теорию T приводит к появлению новой теории T', любое дальнейшее изменение словаря T' – к появлениюT'' и т.д. Чтобы избежать такого ненужного умножения теорий, будем говорить, что теория T₁ является расширением теории T₂ тогда и только тогда, когда любое предложение S, принадлежащее T₁, выводимо из T₂. Если же верна и обратная теорема (любое предложение S, принадлежащее T₂, выводимо из T₁), то T₁ называется консервативнымрасширением теории T₂. В.А. Смирнов доказал, что множество предложений играет роль определения термина в формальной теории тогда и только тогда, когда расширение теории за счет этого множества является консервативным расширением ^{[9, c. 58-60]}.

Теперь мы можем более строго определить понятие редукции термина в формальной теории. Множество предложений R называется редукциейk-местного термина P в теории T тогда и только тогда, когда:

1. термин P неявно семантически определим в терминах теории T;
2. множество T является консервативным расширением множества T ∪ R.

Таким образом, с формальной точки зрения критерии определимости термина суть также критерии его редуцируемости. Действительно, если термин неопределим в теории, то это исходный термин и, следовательно, его нельзя редуцировать (заменить эквивалентной формулой), не нарушив условия консервативного расширения. Если же термин удовлетворяет критерию неявной семантической определимости, то, согласно теореме Бета, он также синтаксически определим в этой теории. Последнее означает возможность вывести из теории такую эквивалентность, в которой данный термин сопоставляется с некоторым дефиниенсом, то есть выражением, способным заменить этот термин в любых контекстах без каких-либо значимых изменений в семантике теории.

3. Семантические особенности редукции

В предыдущем разделе мы рассмотрели формальные критерии определимости термина и сформулировали с их помощью формальное определение редукции. Однако термин «определение» в философии науки не всегда означает формальную операцию (как, собственно, и термин «редукция»).

Например, корректные с точки зрения русского языка предложения «Я определил, что масса тела X больше массы тела Y» и «Я определил, что X – твердое тело» не указывают на введение новых определений, а, скорее, констатируют некие факты. В данном контексте слова «я определил» можно заменить на выражения «я узнал» или «я экспериментально убедился». Однако в предложении «Я определил массу как скалярную величину, выражающую гравитационные и инерционные свойства тела» содержится определение в нужном нам смысле. Такие определения называются номинальными. Номинальные определения (в отличие от «содержательных определений») устанавливают отношения между выражениями языка, а не между объектами предметной области.

Согласно Д.П. Горскому: «Номинальное определение есть определение, посредством которого: a) формулируется в явной форме значение уже введенного в язык науки или в естественный язык термина (в том числе и символов в искусственных языках науки); b) устанавливается значение вновь вводимого термина в естественный язык или в язык науки…; c) устанавливается, что термины определяемого (Dfd) и определяющего (Dfn) обозначают одни и те же объекты; d) вводится новый термин как простое сокращение для иного (обычно более сложного) выражения. При этом мы временно отвлекаемся от содержания терминов Dfd и Dfn и рассматриваем лишь их знаковые формы» ^{[2, с. 10-11]}.

Отметим, что для описания свойств (a), (b) и (c) номинального определения Горский использует термин «значение». Именно тождество значений – основной источник семантических проблем номинального определения и, следовательно, проблем редукции терминов. Действительно, уместен вопрос: почему содержание понятия номинального определения не исчерпывается свойством (d)? Почему нам хочется понимать определение не просто как введение сокращения для сложного выражения, но как процесс порождения новой семантической сущности? Следствием многочисленных попыток ответить на этот сложный философский вопрос стала дискуссия вокруг так называемого парадокса анализа, развернувшаяся во второй половине XX века.

Парадокс анализа формулируется следующим образом: «Если словесное выражение, представляющее анализируемое (analysandum), имеет то же значение, что и словесное выражение, представляющее анализирующее (analysans), то анализ просто устанавливает тождество и является тривиальным; если же эти два словесных выражения имеют не одно и то же значение, то анализ оказывается неправильным» ^{[4, с. 112]}. Например, высказывание «Понятие ‘брат’ тождественно с понятием ‘сиблинг мужского пола’» имеет то же логическое значение, что и высказывание «Понятие ‘брат’ тождественно с понятием ‘брат’». Однако первое высказывание представляет собой информативное определение понятия ‘брат’, тогда как второе высказывание – не более чем тривиальная тавтология. То есть с точки зрения классической экстенсиональной логики эти два высказывания эквивалентны, но с интенсиональной точки зрения – нет.

Существуют различные подходы к решению парадокса анализа, но все они, на наш взгляд, сводятся к двум основным способам рассуждения: номиналистскому и реалистскому ^[12]. Номиналистский подход хорошо согласуется с формализмом и логицизмом в метаматематике и с логическим эмпиризмом в философии. В его основе лежит убеждение, согласно которому дедуктивные дисциплины – это искусственные знаковые системы, связанные со своей предметной областью лишь конвенционально, а теоремы логики и математики представляют собой чисто аналитические конструкции. Реалистский способ рассуждения исходит из объективности семантической информации и рассматривает язык как сложное контекстуальное поле, не сводимое к набору формальных правил. К этому направлению можно отнести интуиционизм в метаматематике, теорию глубинной и поверхностной информации Я. Хинтикки, неопрагматизм и другие критичные по отношению к логическому эмпиризму философские течения. Особое внимание в обоих подходах уделяется информации, поскольку тривиальные тождества («a = a») отличаются от нетривиальных определений («a = b») именно информативностью.

Начиная с 50-х годов ХХ в. представители номиналистского подхода разрабатывают теорию семантической информации. Например, в работе Дж. Бар-Хиллела и Р. Карнапа «An Outline of a Theory of Semantic Information» информативность предложения связывается с вероятностью его истинности, при этом предметная область данной теории ограничивается декларативными предложениями языка (то есть прескриптивный уровень языка не рассматривается) ^[15]. Чем вероятнее высказывание, тем менее оно информативно, и наоборот, чем менее вероятно высказывание, тем больше в нем информации. Иными словами, информативность суждения обратно пропорциональна его вероятности.

Таким образом, наиболее вероятными оказываются аналитические высказывания типа «a = a» (то есть такие предложения, вероятность истинности которых равна единице), но по той же причине они для нас наименее информативны. Однако менее вероятные синтетические высказывания типа «a = b» (вероятность их истинности лишь приближается к единице) имеют определенную степень информативности, которую можно выразить математически. В этом контексте такие традиционные философские понятия, как «аналитическое» и «синтетическое», приобретают научное значение.

Другой подход к проблеме информативности, опирающийся на реалистский способ рассуждения, предлагает Я. Хинтикка. Он рассматривает известную теорему булевой алгебры, согласно которой любой сложной пропозициональной функции, составленной из атомарных предложений, можно сопоставить ее дизъюнктивную нормальную форму (построение дизъюнктивной нормальной формы возможно также для произвольной формулы логики предикатов, но с учетом кванторов, которые могут связывать переменные в формуле) ^[17]. Хинтикка замечает, что перевод языка формальной теории в дизъюнктивные нормальные формы дает нам древовидную структуру, поскольку каждая форма может быть представлена в виде графа, а совокупность графов образует дерево языка. Древовидная структура языка позволяет охарактеризовать любое предложение максимальным числом «слоев» содержащихся в нем кванторов. Число кванторов, в области действия которых находится вхождение переменной, Хинтикка и называет глубиной предложения. Глубина каждой пропозициональной функции – вычислимая характеристика, на основе которой можно определить понятия глубинной и поверхностной информации.

Будучи развернутым в древовидную структуру, синтетическое предложение (a = b) получит совершенно иную глубину, чем аналитическое предложение (a = a). Таким образом, глубинная информация – это мера сложности предложения или, иначе говоря, мера возможности развернуть данное предложение в сложную логическую структуру. Чем сложнее структура, тем информативнее предложение, тем больше в нем заключено семантических связей с предметной областью теории. Поверхностная же информация определяется как вероятность пропозициональной функции без учета ее внутренней структуры. Хинтикка поясняет соотношение между глубинной и поверхностной информацией так: «Можно сказать, что глубинная информация предложения есть поверхностная информация его после того, как мы обработали данное предложение всеми средствами, которые логика предоставляет в наше распоряжение. Таким образом, поверхностную информацию и глубинную информацию можно назвать соответственно дологической и постлогической информацией» ^{[13, с. 167]}.

Как номиналистский, так и реалистский подход решают парадокс анализа, поскольку они дают возможность производить объективную семантическую оценку предложения и отличать тривиальные тождества от номинальных определений. Однако оба подхода опираются на синтаксис и семантику искусственных языков и, следовательно, лишь частично применимы к теориям, изложенным на естественном языке. Семантическая замкнутость, грамматическая неопределенность и многозначность естественных языков препятствуют эффективному решению парадокса анализа и, следовательно, делают невозможной четкую экспликацию редукции. Здесь мы сталкиваемся с известной дилеммой: выразительные возможности против ясности и однозначности языка. Тем не менее, для большинства метатеоретических исследований предложенного определения редукции может оказаться достаточно, поскольку такие исследования касаются, главным образом, формальных теорий.

4. Эпистемологические особенности редукции

Помимо семантического возражения против предложенного определения редукции, существует также эпистемологическое возражение. Оно состоит в том, что в науке выделяются два несводимых друг к другу уровня исследования: эмпирический и теоретический. Каждому уровню обычно приписывают собственный набор методов и понятий. Данную концепцию, весьма распространенную в отечественной философии науки, мы называем эпистемологическим дуализмом ^[10]. Рассмотрим с точки зрения выбранного подхода к пониманию научной теории возможность сведения теоретических терминов к эмпирическим терминам.

Одним из первых проблемой элиминации теоретических терминов заинтересовался английский математик и философ Ф.П. Рамсей. В статье «Теории» он предлагает выделить два универсума научного дискурса: первичную систему, которая нам дана в восприятии, и в которую входят факты и обозначающие их символические выражения, и вторичную систему, которая содержит пропозициональные функции от атомарных предложений первичной системы ^[8].

Истинностные значения пропозициональных функций вторичной системы образуют, по мысли Рамсея, теоретический уровень объяснения мира. Из теоретических утверждений получаются аксиомы теории, а из аксиом дедуцируются теоремы. Множество теоретических утверждений Рамсей называет элиминативным результатом (the eliminant), поскольку это множество конструируется из терминов и пропозиций первичной системы. Согласно Рамсею: «Если взять идею теории в ее математической форме, то объяснить ее можно следующим образом. Вместо того чтобы просто говорить о том, что мы знаем о значениях функций, с которыми имеем дело, мы говорим, что они могут быть сконструированы определенным способом, который задан словарем, из функций, удовлетворяющих определенным условиям, которые заданы аксиомами» ^{[8, с. 238]}.

Таким образом, Рамсей не считает возможным в сконструированном теоретическом языке вторичной системы сказать нечто такое, чего нельзя было бы сказать вне этого языка с помощью атомарных предложений. Предложения первичной системы сложнее предложений вторичной системы, но эта сложность имеет количественный, а не качественный характер. Теоретические конструкции вторичной системы – это вспомогательные средства для краткого выражения мысли, а символы первичной системы – нередуцируемые базовые термины.

Естественно возникает вопрос: существуют ли критерии различения первичных и вторичных терминов? На наш взгляд, универсальных критериев не существует, и провести границу между первичными и вторичными терминами можно лишь в результате соглашения. Например, элементарную геометрию можно построить, избрав в качестве исходного (нередуцируемого) понятия термин «точка». В этом случае точка будет единственным индивидом предметной области теории, а все остальные понятия будут определены через точку. Однако геометрию также можно изложить с помощью четырех исходных понятий: «точка», «линия», «плоскость» и «угол». Полученные в результате теории можно назвать в каком-то смысле эквивалентными друг другу, и у нас нет никаких других способов, помимо соглашения, решить, какая из двух теорий предпочтительнее. Другой пример: задать исчисление высказываний можно с помощью разных наборов пропозициональных связок. Допустимо использовать пять связок (отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и эквивалентность), две (отрицание и импликацию) или даже одну (стрелка Пирса), но теории с разными наборами исходных связок будут, как ни странно, иметь одинаковую познавательную ценность для человека, который попытается с их помощью что-либо доказать.

Проблему сравнимости подобных теорий исследовали А. Тарский, Л.В. Щерба, Р. Монтегю, К. де Боувер и др. В частности, они предлагали понимать теории как множества предложений, связанных не только правилами вывода, но и правилами определения понятий. Например, Л.В. Щерба вводит понятие интерпретируемости теорий: теория T' интерпретируема в теории T, если все предложения T' можно получить с помощью некоторых определений из T ^{[19, с. 130]}. Если же справедлива обратная теорема (все предложения T можно получить с помощью определений из T'), то теории T и T' называются взаимно интерпретируемыми (mutually interpretable) ^{[19, с. 135]}.

Следовательно, то, что Рамсей называет первичной системой, можно понимать как специфическую теорию T, содержащую только элементарные пропозиции с нередуцируемыми базовыми предикатами. Соответственно, вторичная система – это T' с разнообразными теоретическими конструкциями и терминами. Используя терминологию настоящей статьи, скажем, что T' должна быть консервативным расширением T. Однако как технически показать T' (вторичная система) интерпретируема в теории T (первичной системе)? Можно ли построить теорию T без вспомогательных терминов такую, что каждое предложение, сформулированное в ней, доказуемо в T' тогда и только тогда, когда оно доказуемо в T? Отметим, что при такой постановке вопроса нас не интересует природа или онтологический статус вспомогательных терминов. Необходимо показать лишь возможность редукции класса терминов, определенных как вспомогательные, к классу терминов, являющихся (по соглашению) базовыми.

Собственно, уже сам Рамсей предложил логико-методологическую процедуру, позволяющую решить данную проблему в общих чертах. Однако, как и в случае с решением парадокса анализа, подход работает лишь при определенных условиях. Во-первых, базовая теория T ограничена рамками логики предикатов второго порядка. Во-вторых, предполагается, что теория T' с вспомогательными (теоретическими) терминами конечно аксиоматизируема. Для пояснения второго условия заметим, что теория T называется конечно аксиоматизируемой, если существует такое конечное подмножество ее предложений Σ, что все теоремы T выводимы из Σ.

Согласно Рамсею, выполнение указанных двух условий означает возможность построения особого предложения, элиминирующего вспомогательные предикаты из данной теории. Допустим, T' – конечно аксиоматизируемая теория, а C – конъюнкция всех ее аксиом (предложений подмножества Σ). Предложение, элиминирующее вспомогательные предикаты, строится в два шага. Во-первых, все теоретические (вспомогательные) предикаты, встречающиеся в C, заменяются предикатными переменными. Во-вторых, все переменные связываются кванторами существования.

В результате получается так называемое предложение Рамсея, которое можно использовать, например, для демонстрации вторичности ненаблюдаемых величин теорий естествознания, как в известном примере Р. Карнапа ^{[5, с. 327-339]}. Если взять n теоретических терминов физики P₁, P₂, …, P_n и m терминов наблюдения O₁, O₂, …, O_m, то произвольная теорема вторичной системы будет представлять собой комбинацию из P и О терминов, соединенных какими-то логическими связками: (P₁, P₂, …, P_n, O₁, O₂, …, O_m). Эта теорема эквивалентна формуле, в которой все теоретические термины заменены переменными x₁, x₂, …, x_n с экзистенциальной квантификацией:

∃x₁ ∃x₂ … ∃x_n (x₁, x₂, …, x_n, O₁, O₂, …, O_m).

Таким образом, в предложении Рамсея вместо теоретических терминов постулируется существование некоторой переменной, референт которой определяется в терминах наблюдения. Карнап поясняет этот трюк так: «В рамсеевском способе выражения внешнего мира такой термин, как ‘электрон’, исчезает. Это никоим образом не приводит к исчезновению электрона или, более точно, чего бы то ни было во внешнем мире, что символизируется термином ‘электрон’. Рамсеевское предложение продолжает утверждать через его кванторы существования, что во внешнем мире имеется нечто, обладающее всеми теми свойствами, которые физики приписывают электрону. В этом предложении не ставится вопрос о существовании – “реальности” – этого нечто. В нем просто предлагается иной способ рассуждения об этом нечто. Трудный вопрос, которого избегают, не есть вопрос о том, “существуют ли электроны”, а вопрос о том, “каково точное значение термина ‘электрон’”. В рамсеевском способе речи о мире этот вопрос не возникает. Нет больше необходимости спрашивать о значении ‘электрона’, потому что сам этот термин не встречается в языке Рамсея» ^{[5, с. 334]}.

Результат Рамсея был развит У. Крейгом ^[16], который также определяет теорию как формальную аксиоматическую систему, удовлетворяющую следующим требованиям: (1) заданы правила вывода; (2) определено множество логических аксиом; (3) определено множество нелогических аксиом; (4) каждая из аксиом теории является либо логической, либо нелогической; (5) заданы правила построения правильных выражений теории; (6) каждая теорема теории является правильным выражением. Здесь под логическими аксиомами подразумеваются общие для целого класса формальных теорий утверждения, а нелогические (собственные) аксиомы – это постулаты, которые определяют предметную специфику (содержание) той или иной теории.

Именно для подобных теорий Крейг доказывает теорему, утверждающую возможность построения для теории T', содержащей вспомогательные теоретические термины, такой теории T без теоретических терминов, которая аксиоматизировала бы множество предложений выбранного языка тем же самым образом. Рассмотрим условия данной теоремы подробнее.

Пусть T' – теория, сформулированная в языке L(V_p,V_o), где V_p – множество теоретических терминов, а V_o – множество терминов наблюдения. Допустим также, что теория T' удовлетворяет следующим условиям: (i) для нее справедливы вышеперечисленные требования (1)–(6); (ii) термины T' делятся на классы V_p и V_o дихотомически и эффективно, то есть относительно каждого термина всегда можно сказать, что он принадлежит либо V_p, либо V_o(как мы заметили выше, выполнить это условие можно лишь конвенционально); (iii) если в предложении S содержится термин из словаря V_p, то данное высказывание подлежит элиминации; (iv) если формула F не содержит теоретических терминов, то конъюнкция (F & F &…& F) также не содержит теоретических терминов; (v) в логике T' допустимо правило: F |= (F & F &…& F); (vi) в логике T' допустимо правило: (F & F &…& F) |= F.

Крейг показывает, что для теории T' можно построить замещающую ее теорию T такую, что: (I) для нее справедливы требования (1)–(6); (II) ни одно предложение S теории T не будет содержать терминов из множества V_p; (III) теории T' и T будут функционально эквивалентны относительно языка L(V_p, V_o), то есть произвольное предложение S языка L доказуемо в первой теории тогда и только тогда, когда S доказуемо во второй теории; (IV) (a) все правила вывода теории T' допустимы в теории T; (b) каждая логическая теорема T' является логической теоремой T; (c) каждое правило вывода T', ограниченное в применении на предложениях языка наблюдения L(V_o), допустимо в теории T; (d) каждая теорема T', не содержащая теоретических терминов, является теоремой T.

Таким образом, теорема Крейга заключается в том, что для каждой теории T', удовлетворяющей условиям (i)–(vi) можно построить теорию T, которая будет удовлетворять условиям (I)–(IV).

Теорему Крейга дополняют исследования С.К. Клини. Согласно Клини, для любой рекурсивно аксиоматизируемой, но не обязательно конечно аксиоматизируемой теории T, можно построить консервативное расширение в первопорядковом языке с конечным числом дополнительных предикатных символов, и это расширение будет конечно-аксиоматизируемо ^[7]. Это достаточно важное открытие, потому что, например, аксиоматическая теория множеств Цермело и формальная арифметика Пеано не являются конечно аксиоматизируемыми в языке логики предикатов. Но Клини доказал, что можно построить конечно аксиоматизируемые расширения этих теорий в логике предикатов с дополнительными символами. Следовательно, любой класс формул, являющийся рекурсивно перечислимым и дедуктивно замкнутым в исчислении предикатов, конечно аксиоматизируем в исчислении предикатов с использованием дополнительных предикатных символов.

Подводя итог сказанному, можно сделать вывод о том, что теории T' и T связаны редукционным отношением, если они функционально эквивалентны и удовлетворяют целому ряду условий, предъявляемых к логическим исчислениям. Несмотря на то, что теории T' и T имеют в своем словаре различное количество терминов, они идентичны в функции дедуктивной систематизации выбранного языка. Иными словами, объяснения и предсказания в данных теориях будут иметь одно и то же логическое обоснование, и любое объяснение или предсказание, которое сделано в теории с теоретическими терминами, может быть сделано также в теории без теоретических терминов.

Отметим, что все требования, предъявляемые теориям T' и Tявляются либо стандартными для формальных теорий ограничениями, либо выступают эпистемологическими конвенциями. Это дает нам возможность рассматривать редукцию не в онтологическом, а в формальном смысле. Вопрос о том, какие термины в языке науке является наблюдаемыми, а какие – теоретическими, по сей день вызывает дискуссии в онтологии, эпистемологии и семантике. Однако в рамках формально-логического подхода, который мы избрали для определения понятия редукции, данный вопрос решается путем соглашения.

Автор теории вправе задать перечень базовых (нередуцируемых) терминов и затем называть их, например, наблюдаемыми. Остальные же термины теории, получаемые с помощью корректных номинальных определений, будут считаться терминами вторичной системы и называться теоретическими терминами. При таком подходе становится возможной описываемая в теореме Крейга редукция вторичной системы T' к базовой теории T.

5. Заключение

Таким образом, понятие редукции в логике и эпистемологии науки имеет два смысла: с одной стороны, редукция может пониматься как отношение между термином и определяющим его выражением внутри теории, с другой стороны – как отношение между двумя теориями. Следуя теоретико-множественному подходу, мы понимаем теорию как класс предложений, замкнутых относительно выводимости. Поскольку расширение теории происходит за счет введения в словарь новых терминов с помощью номинальных определений, редукция представляет собой операцию, обратную определению: за счет редукции термины элиминируются из словаря теории, и словарь теории сужается.

Существуют четыре основных критерия определимости термина в научной теории: неявная синтаксическая определимость, явная синтаксическая определимость, неявная семантическая определимость, явная семантическая определимость. Если термин теории удовлетворяет, как минимум, критерию неявной семантической определимости, то это редуцируемый термин. Термины, не определимые в данной теории, называются нередуцируемыми (исходными) терминами.

Следовательно, редукция термина можно быть определена следующим образом: это множество предложений R в теории T такое, что (1) термин P неявно семантически определим в терминах теории T; (2) множество T является консервативным расширением множества T ∪ R.

Однако критерии определимости терминов, сформулированные для искусственно построенного языка, оказываются неэффективными при переходе к естественным языкам. Методы разрешения семантических парадоксов (например, теория семантической информации или теория глубинной и поверхностной информации) заключаются в ограничении языка декларативными предложениями. Это объясняется такими свойствами естественных языков, которые препятствуют эффективному использованию методов логической формализации и анализа.

Экспликация редукционного отношения между двумя теориями опирается на понятие функциональной эквивалентности теорий. Функционально эквивалентные теории – это такие теории, которые тождественны в функции дедуктивной систематизации выбранного языка. В символической логике сформулированы и доказаны теоремы, утверждающие, что для каждой дедуктивно систематизированной теории, содержащей вспомогательные теоретические термины, можно построить функционально эквивалентную ей теорию, содержащую только исходные нередуцируемые термины.

Таким образом, можно говорить, что две теории связаны редукционным отношением, если они функционально эквивалентны и одна из теорий содержит только нередуцируемые термины языка, а вторая содержит также вспомогательные теоретические термины. В этом случае теория с теоретическими терминами может быть названа редуцируемой теорией.

Перечень базовых нередуцируемых терминов теории может быть задан только конвенционально. Все введенные с помощью номинальных определений термины называются теоретическими, или вспомогательными, зависимыми, редуцируемыми. В этом случае не приходится говорить об эмпирическом значении теоретических терминов и предполагать их особый онтологический статус. С этой точки зрения единственным критерием, отличающим вспомогательный термин от базового термина, является возможность его редукции из словаря теории.