Modeling of trajectory of the pursuer in space using the method of constant-bearing approach

I. Введение

В методе расчета траектории преследователя на плоскости вектор скорости преследователя в точку на окружности Аполлония.

На рисунке 1 точка - это положение преследователя, а точка - это положение цели. Окружностью Аполлония называется множество точек , для которых характерно то, что отношение расстояний до двух фиксированных точек (точки и на рисунке 1).

Применительно к задаче преследования это будет выглядеть так:

где - это скорость преследователя, – скорость цели. Фиксированное направление движения цели выделяет на окружности Аполлония единственную точку и единственное направление скорости преследователя.

Тогда, для задачи преследования на плоскости, где преследователь и цель движутся прямолинейно и равномерно, имеет место быть итерационная схема, представленная на рисунке 2:

где - это интервал времени дискретной задачи преследования.

Для случая, когда вектор скорости цели известен, то положение следующего шага цели предопределено:

Координаты точки являются решением системы уравнений относительно параметра :

Радиус и центр окружности Аполлония рассчитываются следующим образом:

Или, следуя итерационной схеме, изображенной на рисунке 2, шаг траектории преследователя удовлетворяет решению системы уравнений (1), относительно параметра :

II. Постановка задачи

Целью данной статьи является описание модели задачи преследования в пространстве, когда вектора скоростей преследователя и цели, на рисунке 3 и , соответственно, не лежат в одной плоскости. Задачей является расчет точек траектории преследователя при определенной траектории цели.

Будем считать, что в любой момент времени движение цели можно представить, как прямолинейное и равномерное.

Плоскость, образованную линией визирования в момент начала преследования (на рисунке 3 это прямая ) и вектором скорости , будем считать координатной плоскостью с началом в точке , осью абсцисс направленной вдоль прямой .

Необходимо в итерационном процессе добиться того, чтобы координаты точки преследователя располагались в координатной плоскости , на рисунке 3 это плоскость . При этом точка положения преследователя принадлежала соответственной моменту времени плоскости . Плоскость содержит следующий шаг цели (точка ), перпендикулярна плоскости и параллельна линии визирования .

Кроме того, траектория преследователя должна удовлетворять ограничениям на кривизну, то есть радиус кривизны траектории не может быть меньше некоторого порогового значения.

III. Теория

1. Расчет траектории преследователя в пространстве

В кинематической модели параллельного сближения в пространстве, рассматриваемой в данной статье траектория преследователя рассчитывается для двух случаев. В первом случае сегмент траектории расположен в пространстве. Во втором случае задача превращается в преследование на плоскости. Преследователь на рисунке 3 движется по плоскости . Также рассчитывается плавный переход из пространства на плоскость.

Модель преследования является дискретной, поэтому вводится промежуток времени , за который участники итерационного процесса совершают шаг. Преследователь, находясь в точке (Рис. 3), имеет возможность совершить шаг в пределах сферы радиуса с центром в точке . - модуль скорости равномерного движения преследователя. Это возможность ограничена правильным конусом с углом раствора и вершиной в точке .

Угол раствора конуса равен , - максимальная частота углового вращения преследователя равная где - минимальный радиус кривизны траектории преследователя. Кроме того, следующая точка положения преследователя должна принадлежать плоскости (Рис. 3). В дальнейшем, при переходе на плоскость (Рис. 3), принадлежность к плоскости преобразуется в итерационную схему, представленную на рисунке 2.

Ось конуса направлена в направлении текущего вектора скорости преследователя, выходящего из точки . Таким образом, имеется геометрическая задача расчета точки, принадлежащей трем поверхностям: сфере, конусу и плоскости.

Модель задачи преследования данной статьи позволяет произвести замену правильного конуса плоскостью. Линия пересечения правильного конуса и сферы принадлежит плоскости . Параметры плоскости будут таковы: – единичный вектор нормали плоскости , вектор скорости для текущего положения преследователя , - модуль скорости равномерного движения преследователя, , где - радиус сферы, равный шагу преследователя (Рис. 3).

Расчет точек пересечения плоскостей и со сферой радиуса с центром в точке более предпочтителен, чем расчет точек пересечения сферы, конуса плоскости с точки зрения вычислительных трудностей.

У плоскости опорной точкой является точка , нормалью является вектор (Рис. 3):

где и - начальные положения преследователя и цели.

В тестовой программе, написанной по материалам статьи, находится прямая (2), являющаяся пересечением плоскостей и :

где - точка пересечения плоскостей , и (рис. 3).

Далее, выражаем точку из первого уравнения системы (3) и подставляем его во второе уравнение системы (3):

Найденное значение подставляем в первое уравнение системы (3), определив тем самым следующую точку траектории преследователя.

Таким образом, итерационный процесс расчета траектории движения преследователя в пространстве можно считать сформированным.

2. Расчет траектории движения преследователя на плоскости

В случае перехода преследования на плоскость необходимо свести задачу к параллельному сближению, как это изображено на рисунке 1. В этом случае скорость преследователя всегда направлена в точку на окружности Аполлония (на рис. 1 это точка ). Тогда используется итерационная схема, представленная системой уравнений (1).

Если скорость преследователя при переходе на плоскость направлена не на точку , как на рисунке 1, то при соблюдении некоторых условий по направлению движения преследователя, можно применить такую же итерационную схему, описанную системой уравнений (1).

Условие по направлению движения заключается в следующем. Необходимо, чтобы угол (Рис. 4) между скоростями и был меньше или равен угла , где - допустимая скорость вращения преследователя, - временной промежуток итерационного процесса.

Если угол больше , но модуль скорости преследователя больше модуля скорости цели , то в качестве итерационной схемы можно предложить следующее (Рис. 5).

В качестве однопараметрического множества параллельных линий визирования (Рис. 4) предложено множество составных параллельных линий , которое формируется следующим образом: . Следующий шаг преследователя есть точка пересечения окружности радиуса с центром в точке с линией (Рис. 5).

Первая линия однопараметрического множества линий формируется из окружности минимального радиуса и прямой касательной линии, проходящей через точку (Рис. 7).

На рисунке 7 показано взаимное расположение начальных положений преследователя и цели, вектора скорости преследователя и указанной окружности.

На рисунке 7 показано, что центр указанной окружности находится в точке . Где - это начальное положение преследователя, - минимальный радиус кривизны траектории преследователя, - единичный вектор, перпендикулярный вектору скорости преследователя . Составная линия состоит из дуги и прямолинейного сегмента , где - это начальное положение цели, а - точка касания с окружностью.

3. Критерий перехода к плоскому движению

На рисунке 8 показаны результаты расчета точек траектории преследователя в пространстве без учета перехода процесса преследования на плоскость .

На экран выведены точки пересечения плоскости (плоскость ), плоскости и плоскости (Рис. 3) и точки пересечения конуса, сферы и плоскости (плоскости параллельного сближения).

В течении всего итерационного процесса производится анализ взаимного расположения точек положения преследователя и плоскости движения цели. Поскольку плоскость движения цели совпадает с координатной плоскостью , то достаточно произвести анализ аппликаты преследователя на знак. Как только изменяется знак аппликаты, то происходит возврат на предыдущую рассчитанную точку траектории и производится расчет по другой итерационной схеме.

Показано, что аппликата точки имеет положительное значение, а аппликата точки имеет отрицательное значение. Координаты точки получены в результате пересечения сферы , конуса с осью вращения вдоль вектора с углом раствора , как на рисунке 3, и плоскости параллельного движения .

Происходит возврат в точку и ищется точка пересечения с плоскостью параллельного движения и плоскостью движения цели.

В тестовой программе, написанной по материалам статьи, реализован именно такой критерий перехода на плоскость.

IV. Результаты экспериментов

На рисунке 10 показаны результаты работы программы расчета траектории преследователя, преследующего цель, двигающуюся равномерно и прямолинейно. Траектория переходит из движения в пространстве в движение на плоскости.

Рисунок 10 дополнен ссылкой на анимированное изображение, где возможно посмотреть на процесс преследования.

V. Обсуждение результатов

В предложенной модели расчета траектории преследователя плоскость движения цели определена начальной линией визирования и вектором скорости движения цели. Плоскость в этом случае служит ограничивающей поверхностью. В тестовой программе реализована такая модель преследования: переход от преследования в пространстве к преследованию на плоскости без захода за плоскость ограничения и с ограничениями по кривизне траектории движения преследователя.

В тестовом режиме также при переходе на плоскость было испробовано использование точки в качестве центра сферы, пересекающей плоскости и , и построение траектории преследования от нее.

VI. Выводы и заключение

В данной статье была предложена кинематическая модель задачи преследования в пространстве. С развитием технологий, систем искусственного интеллекта, технологий спутникового позиционирования движущихся объектов моделирование задач преследования приобрело значимость.

Задач и условий, в которых требуются моделирование итерационных процессов преследования множество. Результаты исследований могут быть востребованы разработчиками беспилотных летательных аппаратов с элементами искусственного интеллекта.