Parametric model of the structure of the second molar of a human lower jaw

Yanishevskaya Anna Genrikhovna Doctor of Technical Science Professor of the Department of Engineering Geometry and CAD, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Pr. Mira, 11, aud. 342 anna-yanish@mail.ru Golikova Zhanna Vladimirovna graduate student, Omsk State Technical University 644042, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Karla Marksa, 41 k. 15, of. 305 zh.golikova@sigma-it.ru Pritykin Fedor Nikolaevich Doctor of Technical Science Professor of the Department of Engineering Geometry and CAD, Omsk State Technical University, Omsk 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, pr. Mira, 11, kab. 8-513 pritykin@mail.ru

Khomchenko Vasilii Gerasimovich Doctor of Technical Science Professor of the Department of Automation and Robotics, Omsk State Technical University, Omsk 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, pr. Mira, 11, kab. 8-619 v_khomchenko@mail.ru

Введение

Несмотря на то, что визуальные модели широко используются в различных отраслях и сферах деятельности, особенно в стоматологии и практической медицине, они зачастую применяются на уровне технологий. Использование визуальных моделей предоставляет возможность накопления, хранения, осуществление сравнительного анализа и проверки данных, получаемых из источников различного типа. В частности, это позволяет проводить сравнение результатов решений, полученных разными способами, а именно экспериментальных (фактических) данных и результатов аналитических расчетов, характеристик объектов или процессов, полученных независимыми способами, получать представление о характере и степени изменений динамических параметров системы. Главной задачей является построение модели таким образом, чтобы существенные для анализа ее состояния данные, их значения или свойства обладали максимальной наглядностью — повышенной степенью выразительности. При таком подходе модель, сохраняя свое информационное наполнение, приобретает качества, позволяющие наблюдателю анализировать только необходимые для понимания данные.

Ручное изготовление коронок и протезов зубов в стоматологии путем литья планомерно уступает место CAD/CAM – технологии. Это современная цифровая методика, в которой автоматизирован процесс создания зубных протезов. Заготовка моделируется в электронной программе и фрезеруется на станке с числовым программным управлением. К сожалению, учитывая большую стоимость самой программы и фрезерного станка, не каждая стоматологическая организация может позволить данное приобретение.

Постановка задачи

Главной проблематикой для визуального моделирования в данной области является недостаточная формализация (концептуализация и стандартизация) предметной области. Проблема может возникнуть и с входной информацией, в которой имеются разнородные временные и пространственные характеристики: данные могут быть с локальным или распределенным типом, а также являться однократно измеренной величиной или средней по времени характеристикой.

В последнее время наблюдается тенденция применения объектно-ориентированного подхода (Object Oriented Аpproach, ООА). Моделирование включает решение обратной и прямой задач. Обратная задача включает разбиение проблемы или исходной задачи на подзадачи. Иногда применяют метод функциональной декомпозиции, что обеспечивает решение (или построение модели) известными средствами или имеющимися ресурсами. Этот метод основан на сведении решения новой задачи к более мелким, но известным решениям. По существу, при этом получают элементы новой модели. Прямая задача состоит в построении модели по заданным условиям с использованием элементов модели. Перед нами поставлена задача разработать геометрическую модель зуба, учитывая основные морфологические элементы коронки зуба и опираясь на конкресцентную теорию (Кюкенталь, Рёзе, Матвеев) – теория, в основе которой учение о слиянии простых зачатков зубов с формированием сложного рельефа коронки ^[1].

Теория

Рассмотрим морфологическое строение второго моляра, сложность которого заключается в вариабельности форм коронки, проявляющаяся изменением числа основных морфологических элементов на поверхности коронки с изменением их размеров: высоты, длины и толщины коронки, что ведет за собой изменение таких параметров, как площадь, индекс и модуль коронки.

Выделим зоны жевательной поверхности коронки: 4 основных бугорка с собственной вершиной (передний щечный - prd, задний щечный - hyd, передний язычный – med и задний язычный бугорок – end. Иногда выделяют пятый – дистальный), продольный валик, краевые валики, соответствующие углубления – все это образует борозду первого порядка крестообразной формы (рис.1).

1 – передний щечный бугор, 2 – задний щечный бугор, 3 – передний язычный бугор, 4 – задний язычный бугор, 5 – дистальный бугор, 6 – борозда первого порядка

Рис. 1. Зоны жевательной поверхности

Борозда первого порядка на коронки моляра не глубокая и заканчивается в верхней трети поверхности. Характерный признак моляра заключается в том, что язычные бугорки немного выше щечных.

Исследования Ломиашвили Л.М. показали, что высота коронки моляра составляет 6,23 мм, длина коронки – 11,19 мм, ширина -10,89 мм ^[2].

Тем самым данные величины имеют следующее отношение:

(1)

где Hcor₄₆ – высота коронки, MDcor₄₅ – длина коронки, VLcor₄₅ – ширина коронки.

Признак корня определяют в положении зуба в вестибулярной норме, который выражается в отклонении корней резцов и клыков в латерально-заднем направлении, а премоляров и моляров – в заднем от продольной оси зуба, проведенной от верхушки корня через середину коронки. Коронку и корень зуба принято разделять на три составные части. Особое внимание необходимо уделить положению зубов в момент смыкания, а также расположение зубных дуг (рис. 2). В области жевательной группы зубов контакт может быть фиссурно-бугорковым, либо бугорковым.

1 – зубная, 2 – альвеолярная, 3 - базальная

Рис. 2. Расположение зубных дуг.

Нижняя челюсть по размерам меньше, чем верхняя, поэтому при смыкании зубов, медиально- и дистально язычные бугорки первого нижнего моляра попадают между бугорками первого моляра верхней челюсти и их соотношение 60 % к 40 %. Любой зуб необходимо оценивать с точки зрения его размера, формы, цвета коронки, показателя целостности твердых тканей. В норме зубы соответствуют средним размерам их групповой принадлежности. Для создания правильной конфигурации зуба, зубного ряда требуется представление подробных сведений о морфологических параметрах коронок зубов, анализ их формы и других особенностях строения ^[3,5].

Тем самым, в качестве входных данных будут следующие морфометрические параметры зубов:

H cor₄₅ (мм) – высота коронки второго нижнего премоляра;

VL cor₄₅ (мм) – вестибулолингвальный размер коронки второго нижнего премоляра;

H cor₄₇ (мм) – высота коронки второго нижнего моляра;

MD cor₄₆ (мм) – мезиодистальный размер коронки первого нижнего моляра;

VL cor₄₇ (мм) – вестибулолингвальный размер коронки второго нижнего моляра;

H cor₂₆ (мм) – высота коронки первого верхнего моляра;

VL cor₂₆ (мм) – вестибулолингвальный размер коронки первого верхнего моляра;

∠α – угол дистального бугорка первого моляра нижней челюсти;

∠β – угол медиального бугорка первого моляра нижней челюсти;

R cor₄₆ - ширина периодонтальной щели шейки зуба;

Rh cor₄₆ - ширина периодонтальной щели у верхушки корня зуба.

Высота коронки первого нижнего моляра вычисляется по формуле 2:

(2)

Вестибулолингвальный размер коронки первого нижнего моляра вычисляется по формуле 3:

(3)

Размер шейки первого нижнего моляра вычисляется по формулам 4-5:

(4)

(5)

Размер верхней коронковой части от бугров первого нижнего моляра вычисляется по формулам 6-7:

(6)

(7)

Для построения коронки зуба, необходимо разделить модель зуба на три равные части, для построения дополнительных рабочих плоскостей, расстояние между которыми рассчитывается по формуле 8:

(8)

Результаты эксперимента

Выполним построение коронки премоляра.

Общий вид уравнения поверхности модели моляра представим в формуле 9:

(9)

где а и b – фокусы эллипса.

Ограничения параметров, использованных в математической модели:

Нижний первый моляр имеет вытянутую в длину призматическую форму, поэтому представим корень зуба в форме гиперболоида.

Тогда имеем:

(10)

где M₁ - матрица поворота относительно направляющей на угол , M₂– матрица поворота относительно оси z.

В матрице M₁ угол – угол между образующей к поверхности корня зуба m и плоскость, являющей параллельной плоскости x0z. Причем данная плоскость проходит через точку t, так что:

(11)

Форму зуба можно представить, как эллипсоид, ограниченный снизу гиперболическим параболоидом – форма десны (рис. 3), и ограниченной сверху поверхностью содержащие эллиптические параболоиды – жевательная поверхность коронки зуба.

Рис. 3. Форма зуба

Каждый бугор моляра можно представить, как эллиптический параболоид, вершина которого можно смещать на угол α, не изменяя основание (рис. 4).

Рис. 4. Смещение вершины эллиптического параболоида без изменения основания

Построение коронковой части зуба по данным параметрам было выполнено с помощью AutoCAD. Результат построение представлен на рисунке 5.

Рис. 5. Конечная модель коронковой части зуба

В ходе первоначального анализа модели было установлено, что для проектирования нижнего первого моляра требуются данные параметров нижнего второго премоляра и моляра, а также верхнего первого моляра, с которым создается прикус.

Обсуждение результатов

Данные параметры вошли в начальный допустимый базис переменных в данной математической модели. В процессе проектирования 3D модели зуба, основной проблемой являлось создание бугров, так как при проектировании необходимо учитывать большое количество мелких параметров. Однако после решения всех проблем, получилась параметрическая модель зуба, в которой при программном подключении к платформе .Net можно вносить конкретные изменения параметров. В данной работе были анализированы исходные данные, представляющие важный интерес для переменных, играющих ключевую роль в параметрической модели и проведены уточнения формул, связанных с вычислением текущих размеров коронки зуба (2) и (7), связанной с разбиением коронки дополнительными рабочими поверхностями.

Выводы и заключение

Данные расчеты геометрической формы зуба можно использовать для исследования и выполнения анализа биомеханики зубов, принципов проведения дифференциальный диагностики болевых ощущений, планирования будущего ятрогенного вмешательства, а также алгоритмов лечения протетических нарушений обеспечивает врача всеми необходимыми инструментами. Построенную коронковую часть зуба в системе AutoCAD можно использовать для обучения студентов стоматологических факультетов. Данную модель можно использовать для научно-практической деятельности студентов по моделированию и реставрации коронок зубов.