Translate this page:
Please select your language to translate the article


You can just close the window to don't translate
Library
Your profile

Back to contents

Theoretical and Applied Economics
Reference:

Stochastic demand as an addition to the Solow Growth Model

Nikonorov Valentin Mikhailovich

PhD in Economics

Docent, Higher School of Management and Business, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

196158, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Zvezdnaya, 8, of. 30

nikanorv@mail.ru
Il'in Igor' Vasilyevich

Doctor of Economics

Professor, Higher School of Management and Business, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

196135, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Pr. Gagarina, 19, of. 15

nikanorv@mail.ru

DOI:

10.25136/2409-8647.2021.2.33336

Received:

29-06-2020


Published:

06-07-2021


Abstract: The subject of this research is the Solow Growth Model. The relevance is substantiated by the fact that the Solow Growth Model is conceptually simple, and simultaneously it can be complicated with clarifications and additions. The authors believe that one of such clarification is consideration of the demand as a stochastic variable. The goal of this research is to propose a model that takes into account the random nature of consumer demand based on the Solow Growth Model. The article aims to examine the Solow Growth model; conduct a literature overview of the most common modifications of the model; analyze the well-known modifications and complications of the model; outline the methods of such modifications and complications; offer Solow Growth Model supplemented with microeconomic substantiation with consideration of the stochastic demand. The article employs the methods of analysis, synthesis, comparison, and differential calculus. The novelty lies in the statement  that consumption depends on demand; it is intuitively obvious that demand can be considered as stochastic variable. This is explained by the individual traits of the consumers. Therefore, the demand can be described via stochastic differential equation based on the standard Wiener process (analogy with Brownian motion). The article offers a stochastic differential equation of demand. The Solow Growth Model is supplemented with the stochastic differential equation of demand. In conclusion, the authors determine the key modification and complication trends of the Solow Growth Model; developed the model based on the Solow Growth Model with the stochastic differential equation of demand as its addition. Further research should be aimed at solution of the obtained mathematical model supplemented with the stochastic differential equation of demand.


Keywords:

production function, capital, labor, knowledge capital, production, human capital, random process, stochastics, differential equation, usefulness


Введение

Актуальность исследования. Модель Солоу достаточно хорошо изучена, известны её достоинства и недостатки. Рассмотрение моделей национальной экономики, сформированных на основе модели Солоу, позволит выявить дальнейшие направления применения модели Солоу для разработки более совершенных математических моделей национальной экономики. Образно выражаясь, найти новые ветви на дереве «модель Солоу».

Так как глобальная цифровизация производства, вызовы человечеству (COVID-19) требуют пересмотра и усовершенствования моедли экономического роста национальной экономики.

Объект исследования – модель Солоу [1].

Предмет исследования – модели национальной экономики, сформированные на основе модели Солоу.

Цель исследования – проанализировать существующие модели национальной экономики, сформированные на основе модели Солоу, выявить предпосылки создания новых математических моделей.

Модель Солоу по праву считается базовой моделью экономического роста. Она задает экономический рост как функцию капитала и рабочей силы. Это шаг вперед по сравнению с моделью Харрода-Домара, где выпуск зависит только от капитала.[2] Если рабочая сила в модели Солоу также постоянна, то рост возможен только за счет наращивания капитала. Рост капитала обеспечивается инвестициями. Произведенный продукт y распадается на потребление (с=(1-s)y) и сбережение (i=sy).

Математическое представление модели Солоу хорошо известно

Y(t) – ВВП;

A(t) – уровень технологий;

K(t) – капитал;

L(t) – число занятых в экономике;

I(t) – инвестиции;

C(t) – потребление;

µ – коэффициент износа;

(1) производственная функция (далее – ПФ) показывает, что ВВП есть функция от капитала и числа занятых.

(2) отражает распределение ВВП на инвестиции и потребление.

(3) – инвестиции идут на пополнение капитала (К’(t)) и возмещение износа (µК(t)).

Также предполагается

(4) и (5) – убывающая отдача от труда и капитала (убывающая предельная производительность)

(6) – постоянная отдача от масштаба производства

Труд и капитал – субституты (совершенная конкуренция на рынке ресурсов).

(1)-(6) есть модель Солоу.

Структурно модель Солоу можно представить в следующем виде (рис.1).

Рис.1. Модель Солоу

Применим а=1/L и введем обозначения

(7)

Тогда (1)-(3) запишем в виде

Подставим (8) в (3’)

Из (1’) и (2’)

i=f(k)-c

(9)

Обозначим

(10)

(10) означает постоянный темп роста населения страны.

Из (3”), (9), (10)

f(k)=k’+kn+µk+c=k’+λk+c

(11)

n+µ=λ

(12)

(11) – дифференциальное уравнение модели Солоу

В соответствии с (11) выработка состоит из:

1) потребление рабочего;

2) поддержание капиталовооруженности λk;

3) скорость (темп) изменения капиталовооруженности k’.

Модель отвечает на вопрос, какой должен быть уровень k, чтобы при заданном потреблении с экономика могла расти (f(k)). Экономический рост определяют инвестиции и, соответственно, капиталовооруженность. Модель достаточно простая, но её легко усложнить. Модель позволяет оценить вклад каждого фактора (K,L) в рост производства. При этом страна считается изолированной (нет внешней торговли). Это модель экзогенного роста: A(t) задан извне. По мнению Р. Лукаса основные недостатки модели Солоу: не объясняет различия между странами; ошибочно утверждает о конвергенции капиталовооруженности в разных странах [2]. Также можно добавить, что в реальности темп роста населения страны не является постоянным [3].

Если рассмотреть зависимость инвестиций от y

i=sy

(13)

s – норма сбережения (задана экзогенно),

то рост s увеличивает k и, соответственно, рост производства. Но рост сбережений означает сокращение потребления. «Бережливое общество будет в долгосрочном периоде богаче, чем более нетерпеливое...» [2].

Литературный обзор

Рассмотрим модификации модели Солоу.

В модели Эрроу (1962г.) вводится зависимость уровня технологий от капитала [4]:

Y(t)=A(K(t))f(K(t);L(t))

(14)

На этом пути напрашивается применение капитала, связанного с интеллектом и, соответственно, с уровнем знаний. Что и было сделано в моделях Ромера и Лукаса.

В модели Ромера (1987г.) вводится зависимость уровня технологий от знаний R в области R&D, иначе говоря, от капитала знаний [5]:

Y(t)=A(R(t))f(R(t);K(t);L(t))

(15)

При этом у капитала знаний возрастающая отдача.

В модели Лукаса (1988г.) вводится зависимость ПФ от человеческого капитала Н [6]:

Y(t)=Af(K(t);g(H(t))

(16)

Здесь, по мнению авторов, потребуется методика оценки человеческого капитала.

В модели Барро (1990г.) вводится зависимость ПФ от государственных расходов G и капитала:

Y(t)=A(t)f(G(t);K(t))

(17)

В модели Накорякова В.Е. (2002г.) [8] добавляется условие запаздывания освоения инвестиций.

(18)

V(t) – скорость ввода фондов;

V’(t) – ускорение ввода фондов, если так можно выразиться;

σ – отражает скорость ввода новых фондов;

γ – отражает долю инвестиций на ввод фондов.

В модели Хацкевича В.Л. [9] ускорение ввода фондов имеет вид

V’(t)=-αV(t)+αI(t)

(19)

Очередным усложнением модели Солоу является модель Рамсея-Касса-Купманса [10]. Добавляется макроэкономическое обоснование (через максимизацию полезности потребителя с учетом стоимости денег).

(20)

u(c) – полезность потребителя;

ρ – субъективная ставка дисконтирования

Возникающее ограничение имеет вид

k’=w-c+(r-µ-n)k

w – ставка реальной заработной платы;

r – ставка процента.

Методы

Основные методы исследования: ретроспективный анализ модификаций модели Солоу, синтез, сравнение, методы теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и стохастических).

Составим таблицу по перечисленным моделям (табл.1).

Таблица 1

Некоторые направления усложнения и дополнения модели Солоу

Автор (ы) модели

Год

Направление

1

Рамсей-Касс-Купманс

1963

Добавляется условие максимизации полезности потребителя (микроэкономическое обоснование)

2

Эрроу

1962

В ПФ уровень технологий А – функция от капитала

3

Ромер

1987

В ПФ уровень технологий А – функция от капитала знаний

4

Лукас

1988

В ПФ вместо труда фактор – человеческий капитал

5

Барро

1990

В ПФ вместо труда фактор – государственные расходы

6

Накоряков

2002

Добавляется условие запаздывания освоения инвестиций

7

Хацкевич

2009

Добавляется условие запаздывания освоения инвестиций (коэффициенты иные, чем у Накорякова)

8

Нордхаус

2014

В ПФ добавлены природные ресурсы и экологический ущерб

9

Acemoglu, Autor, Dorn

2014

В ПФ добавлены информационные технологии

*- составлено авторами

Можно выделить основные направления модификации и усложнения модели Солоу:

1) появление новых факторов в ПФ;

2) добавление новых условий;

3) комбинация первых двух подходов.

Применим второй подход для уточнения модели Солоу. Это будет также микроэкономическое обоснование. Уместно предположить, что спрос (потребление) населения страны величина случайная, так как агрегированный спрос зависит от индивидуумов, населяющих страну. Запишем потребление стохастическим дифференциальным уравнением. Тогда дополненная модель Солоу будет выглядеть.

(21) – стохастическое дифференциальное уравнение спроса.

Полученная модель может быть применена, по мнению авторов, в целях оптимального управления выпуском y. По сути это означает «бережливое потребление» (lean consumption). Соответственно, потребление населения предполагается задать в фиксированных границах. Это сохранит ресурсы планеты и убережет здоровье населения.

Новизна

1) Проведена систематизация направлений модифицирования и усложнения модели Солоу за последние 60 лет.

2) Модель Солоу дополнена микроэкономическим обоснованием. Добавлено стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее спрос как случайный процесс.

Результаты

1) Выявили основные направления модификации и усложнения модели Солоу.

2) На базе модели Солоу получили математическую модель национальной экономики (макроэкономика) с микроэкономическим обоснованием (стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее спрос).

Дальнейшее направление исследования – решить полученную модель. Если эта задача будет решена, то последующее уточнение модели – максимизация полезности потребителя.

References
1. Solow R.M. Contribution to the theory of economic growth // Quarterly journal of economics. – 1956. – V.70 – P. 65-94.
2. Kharrod R.F. K teorii ekonomicheskoi dinamiki. – M.: Gelios ARV, 1999. – 160s.
3. Lukas R. Lektsii po ekonomicheskomu rostu. – M.: Izd-vo instituta Gaidara, 2013.– 288s.
4. Nureev R.M. Ekonomika razvitiya. – M.: Norma, 2008. – 367s .
5. Arrow K. J., "The Economic Implications of Learning by Doing", Review of Economic Studies, June 1962.
6. Romer P. "Growth Based on Increasing Returns Due to Specialization", American Economic Review, May 1987.
7. Lucas R. E. "On the mechanics of economic development", Journal of Monetary Economics, 22, p 3-42, June 1988.
8. Barro R. J. "Government Spending in a Simple Model of Endogenous Growth", Journal of Political Economy, October 1990.
9. Nakoryakov V.E., Gasenko V.G. Matematicheskaya model' planovoi makroekonomiki // Ekonomika i matematicheskie metody. – 2002. – Tom 38. №2. – S.118-124.
10. Khatskevich V.L. Ob ustoichivosti modifitsirovannoi modeli Ramseya-Solou, uchityvayushchei zapazdyvanie pri vvode fondov // Ekonomika i matematicheskie metody. – 2009. – Tom 46. №1. – S.137-143.
11. Rahul Giri. Growth Model with Endogenous Savings: Ramsey-Cass-Koopmans Model – [elektronnyi resurs]. URL: http://ciep.itam.mx/~rahul.giri/uploads/1/1/3/6/113608/diamond_model.pdf (data obrashcheniya 07.07.2020).
12. Nordhaus W. DICE/RICE models – [elektronnyi resurs]. URL: https://sites.google.com/site/williamdnordhaus/dice-rice (data obrashcheniya 07.07.2020).
13. Acemoglu D., Autor D., Dorn D. Return of the Solow paradox? – [elektronnyi resurs]. URL: http://www.nber.org/papers/w19837 (data obrashcheniya 07.07.2020).