Stochastic demand as an addition to the Solow Growth Model

Nikonorov Valentin Mikhailovich PhD in Economics Docent, Higher School of Management and Business, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University 196158, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Zvezdnaya, 8, of. 30 nikanorv@mail.ru

Il'in Igor' Vasilyevich Doctor of Economics Professor, Higher School of Management and Business, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University 196135, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Pr. Gagarina, 19, of. 15 nikanorv@mail.ru

Введение

Актуальность исследования. Модель Солоу достаточно хорошо изучена, известны её достоинства и недостатки. Рассмотрение моделей национальной экономики, сформированных на основе модели Солоу, позволит выявить дальнейшие направления применения модели Солоу для разработки более совершенных математических моделей национальной экономики. Образно выражаясь, найти новые ветви на дереве «модель Солоу».

Так как глобальная цифровизация производства, вызовы человечеству (COVID-19) требуют пересмотра и усовершенствования моедли экономического роста национальной экономики.

Объект исследования – модель Солоу ^[1].

Предмет исследования – модели национальной экономики, сформированные на основе модели Солоу.

Цель исследования – проанализировать существующие модели национальной экономики, сформированные на основе модели Солоу, выявить предпосылки создания новых математических моделей.

Модель Солоу по праву считается базовой моделью экономического роста. Она задает экономический рост как функцию капитала и рабочей силы. Это шаг вперед по сравнению с моделью Харрода-Домара, где выпуск зависит только от капитала.^[2] Если рабочая сила в модели Солоу также постоянна, то рост возможен только за счет наращивания капитала. Рост капитала обеспечивается инвестициями. Произведенный продукт y распадается на потребление (с=(1-s)y) и сбережение (i=sy).

Математическое представление модели Солоу хорошо известно

Y(t) – ВВП;

A(t) – уровень технологий;

K(t) – капитал;

L(t) – число занятых в экономике;

I(t) – инвестиции;

C(t) – потребление;

µ – коэффициент износа;

(1) производственная функция (далее – ПФ) показывает, что ВВП есть функция от капитала и числа занятых.

(2) отражает распределение ВВП на инвестиции и потребление.

(3) – инвестиции идут на пополнение капитала (К’(t)) и возмещение износа (µК(t)).

Также предполагается

(4) и (5) – убывающая отдача от труда и капитала (убывающая предельная производительность)

(6) – постоянная отдача от масштаба производства

Труд и капитал – субституты (совершенная конкуренция на рынке ресурсов).

(1)-(6) есть модель Солоу.

Структурно модель Солоу можно представить в следующем виде (рис.1).

Рис.1. Модель Солоу

Применим а=1/L и введем обозначения

Тогда (1)-(3) запишем в виде

Подставим (8) в (3’)

Из (1’) и (2’)

Обозначим

(10) означает постоянный темп роста населения страны.

Из (3”), (9), (10)

(11) – дифференциальное уравнение модели Солоу

В соответствии с (11) выработка состоит из:

1) потребление рабочего;

2) поддержание капиталовооруженности λk;

3) скорость (темп) изменения капиталовооруженности k’.

Модель отвечает на вопрос, какой должен быть уровень k, чтобы при заданном потреблении с экономика могла расти (f(k)). Экономический рост определяют инвестиции и, соответственно, капиталовооруженность. Модель достаточно простая, но её легко усложнить. Модель позволяет оценить вклад каждого фактора (K,L) в рост производства. При этом страна считается изолированной (нет внешней торговли). Это модель экзогенного роста: A(t) задан извне. По мнению Р. Лукаса основные недостатки модели Солоу: не объясняет различия между странами; ошибочно утверждает о конвергенции капиталовооруженности в разных странах ^[2]. Также можно добавить, что в реальности темп роста населения страны не является постоянным ^[3].

Если рассмотреть зависимость инвестиций от y

s – норма сбережения (задана экзогенно),

то рост s увеличивает k и, соответственно, рост производства. Но рост сбережений означает сокращение потребления. «Бережливое общество будет в долгосрочном периоде богаче, чем более нетерпеливое...» ^[2].

Литературный обзор

Рассмотрим модификации модели Солоу.

В модели Эрроу (1962г.) вводится зависимость уровня технологий от капитала ^[4]:

На этом пути напрашивается применение капитала, связанного с интеллектом и, соответственно, с уровнем знаний. Что и было сделано в моделях Ромера и Лукаса.

В модели Ромера (1987г.) вводится зависимость уровня технологий от знаний R в области R&D, иначе говоря, от капитала знаний ^[5]:

При этом у капитала знаний возрастающая отдача.

В модели Лукаса (1988г.) вводится зависимость ПФ от человеческого капитала Н ^[6]:

Здесь, по мнению авторов, потребуется методика оценки человеческого капитала.

В модели Барро (1990г.) вводится зависимость ПФ от государственных расходов G и капитала:

В модели Накорякова В.Е. (2002г.) ^[8] добавляется условие запаздывания освоения инвестиций.

(18)

V(t) – скорость ввода фондов;

V’(t) – ускорение ввода фондов, если так можно выразиться;

σ – отражает скорость ввода новых фондов;

γ – отражает долю инвестиций на ввод фондов.

В модели Хацкевича В.Л. ^[9] ускорение ввода фондов имеет вид

Очередным усложнением модели Солоу является модель Рамсея-Касса-Купманса ^[10]. Добавляется макроэкономическое обоснование (через максимизацию полезности потребителя с учетом стоимости денег).

u(c) – полезность потребителя;

ρ – субъективная ставка дисконтирования

Возникающее ограничение имеет вид

k’=w-c+(r-µ-n)k

w – ставка реальной заработной платы;

r – ставка процента.

Методы

Основные методы исследования: ретроспективный анализ модификаций модели Солоу, синтез, сравнение, методы теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и стохастических).

Составим таблицу по перечисленным моделям (табл.1).

Таблица 1

Некоторые направления усложнения и дополнения модели Солоу

*- составлено авторами

Можно выделить основные направления модификации и усложнения модели Солоу:

1) появление новых факторов в ПФ;

2) добавление новых условий;

3) комбинация первых двух подходов.

Применим второй подход для уточнения модели Солоу. Это будет также микроэкономическое обоснование. Уместно предположить, что спрос (потребление) населения страны величина случайная, так как агрегированный спрос зависит от индивидуумов, населяющих страну. Запишем потребление стохастическим дифференциальным уравнением. Тогда дополненная модель Солоу будет выглядеть.

(21) – стохастическое дифференциальное уравнение спроса.

Полученная модель может быть применена, по мнению авторов, в целях оптимального управления выпуском y. По сути это означает «бережливое потребление» (lean consumption). Соответственно, потребление населения предполагается задать в фиксированных границах. Это сохранит ресурсы планеты и убережет здоровье населения.

Новизна

1) Проведена систематизация направлений модифицирования и усложнения модели Солоу за последние 60 лет.

2) Модель Солоу дополнена микроэкономическим обоснованием. Добавлено стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее спрос как случайный процесс.

Результаты

1) Выявили основные направления модификации и усложнения модели Солоу.

2) На базе модели Солоу получили математическую модель национальной экономики (макроэкономика) с микроэкономическим обоснованием (стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее спрос).

Дальнейшее направление исследования – решить полученную модель. Если эта задача будет решена, то последующее уточнение модели – максимизация полезности потребителя.