Generalized algorithm for finding the catacaustics of an optical system

Lyubchinov Evgenii Vladimirovich Senior Lecturer, Department of Engineering Geometry and CAD, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Pr. Mira, 11, aud. 8-518 Lubchinov.E.V@yandex.ru

Введение

В прикладных областях, где активно применяются оптические системы отражения и преломления, работающие по законам геометрической оптики, в процессе геометрического расчета используются фокальные кривые, называемые каустиками. Каустика представляет собой огибающую отраженных (или преломленных) лучей. По терминологии Бернулли каустики отраженных лучей называются катакаустиками ^[1]. Расчет каустик широко применяется в геометрической оптике при исследовании интенсивности светового поля ^[2,3], в астрономии для определения геометрии небольших темных объектов (эффект гравитационной линзы) ^[4]. Каустики находят широкое применение в исследованиях волновых фронтов, например, в изучении концентрации массы вещества во Вселенной ^[5]. Теория каустик напрямую связана с одним из разделов современной математики – теорией катастроф ^[6]. Каустики применяются при решении различных задач в акустики, сейсмологии, квантовой механике и др. областях ^[7]. С точки зрения геометрии катакаустика представляет собой эволюту волнового фронта, а множество линий, моделирующих волновой фронт, является по отношению к ней эвольвентами ^[17].

При исследовании катакаустик в оптических системах исходным источником света, как правило, является либо точечный (центральный) источник, либо бесконечно удаленный (параллельный) ^[8]. С развитием технологического прогресса во многих сферах промышленности, например, в лазерной техники, оптике или компьютерной графике, возникает задача поиска катакаустики, когда источник может быть криволинейной формы и пучок лучей от него является рассеянным ^[9]. Авторами работы предлагаются метод и алгоритм нахождения катакаустик для криволинейного источника и отражателя. В основу метода положено циклографическое отображение пространства R³ на плоскость. Метод циклографического отображения появился в конце девятнадцатого века ^[10]. Современные информационные системы и технологии позволили развить и применить этот метод для решения широкого спектра актуальных научно-технических задач ^[11-14].

Суть циклографического метода заключается в том, что он позволяет отображать точку пространства R³ на плоскость проекций z=0 в виде направленной окружности - цикла. Для пространственной кривой циклографической проекцией будет являться огибающая циклов, центры которых являются ортогональными проекциями точек на исходной пространственной кривой. В общем случае циклографическая проекция кривой линии представляет собой две ветви огибающей и обладает известным оптическим свойством ^[12,15]: если принять одну из ветвей огибающей за источник излучения, а другую за приемник, то лучи света, вышедшие по нормали от линии-источника, отразившись от ортогональной проекции пространственной кривой (отражателя), попадут на линию-приемник по нормали к ней. Таким образом, образуется триада элементов, выполняющих оптическое преобразование, при этом в большинстве случаев возникает задача поиска одного элемента по двум другим ^[16-18]. Метод циклографического отображения находит применение в решение ряда задач, существующих в геометрической оптике ^[12,17,18].

Постановка задачи

В существующих методах получения катакаустик источник рассматривается как точечный с центральным пучком лучей, либо как прямолинейный с параллельным пучком. В работе ставится задача получения обобщенного алгоритма нахождения катакаустики оптической системы при заданных источнике и отражателе, имеющих криволинейную форму. В основу предлагаемого алгорима положено циклографическое отображение пространства на плоскость, а также оптическое свойство циклографической проекции кривой линии.

Описание алгоритма нахождения катакаустики

Пусть на плоскости заданы источник и отражатель. Требуется найти катакаустику этой системы. В циклографической интерпретации задача сводится к получению эволюты приемника ^[17]. Для решения задачи каждому элементу системы на плоскости ставится в соответствие их пространственный циклографический образ. Например, центральному источнику излучения (точечному пучку лучей) ставится в соответствие проецирующий α-конус. Такой конус имеет полуугол при вершине равный α=45°. Параллельному пучку лучей, заданному на плоскости прямой линией, ставится в соответствие α-плоскость, наклоненная к плоскости проекций также под углом α=45°. Для рассеянного пучка, заданного некоторой кривой, строится α-поверхность. Способ формообразования этой поверхности заключается в следующем. Пусть задана кривая a₀ на плоскости, моделирующая источник излучения, в виде уравнений: . Для кривой a₀ находится ее эволюта b₀ по известным формулам ^[19]:

Затем по эволюте b₀ восстанавливается пространственная эволюта b, координата z каждой точки которой равна радиусу кривизны линии a₀. Формула для координаты z имеет следующий вид:

Таким образом, исходная кривая, моделирующая рассеянный пучок, и ее пространственная эволюта образуют α-поверхность, которая рассматривается как пространственный циклографический образ рассеянного пучка с носителем a₀:

Затем заданному криволинейному отражателю ставится в соответствие проецирующая цилиндрическая поверхность, и задача на первом этапе сводится к нахождению пространственной линии l пересечения данных поверхностей . Следующим шагом будет построение циклографической проекции ранее найденой линии пересечения l. Для этого воспользуемся известными в литературе формулами для циклографической проекции ^[11]:

Одна из построенных ветвей циклографической проекции , например линия , совпадет с источником, а другая, - линия , будет искомым приемником. Эволюта линии-приемника и будет искомой катакаустикой оптической системы. На рис. 1 представлен общий алгоритм нахождения катакаустики оптической системы.

Рис. 1. Алгоритм нахождения катакаустики оптической системы

Примеры работоспособности алгоритма

Пример 1. Найдем катакаустику системы, в которой источник излучения задан центральным (точечным) пучком лучей и имеет координаты A(-3;0), а отражатель представляет собой эллипс, расположенный в центре системы координат. Эллипс описывается уравнением:

где . Исходные данные системы «источник-отражатель» представлены на рис. 2.

Поставим исходным элементам в соответствие их циклографические образы. Циклографическим образом центрального пучка лучей является α-конус Ψ с произвольно выбранной координатой z его вершины (в примере она равна 5 ед.). Уравнение α-конуса Ψ имеет вид: .

По отражателю восстанавливается проецирующая цилиндрическая поверхность Φ и определяется линия пересечения l=ΨΦ (рис. 3). Затем, по формулам (3) строится циклографическая проекция линии l. Линия состоит из двух ветвей, для которых по формулам (1) строятся эволюты, которые и представляют собой искомую катакаустику оптической системы.

Рис. 2. Элементы системы: центральный источник (А) и эллиптический отражатель

Рис. 3. Линия пересечения l проецирующей цилиндрической поверхности и α-конуса

Рис. 4. Катакаустика оптической системы: точечный источник - эллиптический отражатель

Пример 2. В качестве более сложной задачи рассмотрим систему элементов (рис. 5 и 6), где источник излучения является рассеянным и его носителем служит кривая линия. В данном случае источник излучения задан сплайном Безье второй степени, состоящим из двух сегментов, а отражатель - параболой.

Последующие вычислительные операции соответствуют вышеприведенному алгоритму, представленному на рис.1. Сегментам сплайна, моделирующим источник излучения, ставятся в соответствие α-поверхности Ψ1 и Ψ2 соответственно, а отражателю – проецирующая цилиндрическая поверхность Φ. Затем находится линия пересечения l=( Ψ1Ψ2)Φ (рис. 5). По формулам (3) получаем циклографическую проекцию линии пересечения l. Одна из ветвей циклографической проекции полностью совпадает с исходной линией источника, а другая является мнимым приемником по причине особого расположения относительно отражателя (рис. 5). Эволюта линии мнимого приемника, полученная по уравнениям (1), и будет искомой катакаустикой. Итоговый результат представлен на рис. 6.

Проведение вычислительных экспериментов показало, что предложенный алгоритм универсален и позволяет решить ранее нерассматриваемые подобные задачи. Тем не менее, алгоритм требует вычислительных ресурсов большого объема в случае, когда исходными кривыми являются кривые высоких порядков. Для решения такой задачи, как правило, придется прибегнуть к численным методам расчета.

Рис. 5. Линия пересечения l проецирующей цилиндрической поверхности и α-поверхности

Рис. 6. Катакаустика в оптической системе с рассеянным источником излучения

Выводы и заключение

В работе показана возможность аналитического определения катакаустики в оптических системах на плоскости. Представлен алгоритм, который основан на методе циклографического отображения пространства. Преимуществом данного алгоритма является возможность определение катакаустики оптических систем с рассеянным источником, ранее не исследованных в научной литературе. Данный алгоритм может быть использован для исследования оптических систем в прикладных областях геометрической оптики.