A Variational Model for Historical Systems of Rural Settlement (on the Example of the Derevskaya Pyatina on the Territory of Novgorod)

Shpirko Sergey Associate Professor, Moscow State Historical Archives Institute, Russian State University for the Humanities 119313, Russia, g. Moscow, ul. Leninskii Prospekt, 88 korpus 3, kv. 122 shpirkos@mail.ru Other publications by this author

Введение

Историко-географические исследования появились в России в XIX веке. Их специфика изначально заключалась в использовании комплексного подхода к поиску и обработке исходного материала, привлечении идей и методов смежных наук. Это касается и такого важного направления как изучение региональных систем средневекового расселения. Здесь уже со второй половины XX века традиционный анализ дополняется привлечением количественных и математических методов. В качестве таковых назовем метод анализа ближайшего соседства и вероятностное моделирование.

Идея первого метода заключается в измерении расстояний от каждого поселения до ближайшего к нему. Вычисленное среднее расстояние между ближайшими соседями подставляется в формулу, приводящую к коэффициенту ближайшего соседства. Этот коэффициент принимает значения от 0 до 2,15 и характеризует качественное распределение поселений на изучаемой территории. Если значение коэффициента близко к нулю, то это свидетельствует о скученном расположении поселений (гнездовой тип). Значения, близкие к 2,15, характеризуют равномерное расположение (упорядоченный тип). Наконец, значения коэффициента, колеблющиеся около 1, отражают случайное расположение поселений:

Рис.1 Типы пространственного размещения поселений: гнездовой, случайный, упорядоченный (источник: ^{[1, с. 33]})

Метод ближайшего соседства использовался А.Я. Дегтяревым для анализа поселенческой структуры новгородских пятин конца XV века. Коэффициент ближайшего соседства, вычисленный по материалу карт А.М. Андрияшева, дал значения в пределах от 0,88 до 1,28. Проведенный анализ позволил А.Я. Дегтяреву предположить, что некогда гнездовой тип был господствующей формой сельского расселения на изучаемой территории. В то же время к концу XV века этот этап для изучаемой территории, включая и Деревскую пятину, был давно пройденным: произошло полное срастание существовавших когда-то гнезд ^{[1, с.33]}.

Второй из вышеназванных подходов – вероятностное моделирование – применялся А.А. Фроловым и О.Н. Трапезниковой для анализа поселенческой структуры территории, составлявшей два погоста Деревской пятины (Городенский и Березайский):

Рис.2 Картосхема Городенского погоста (источник: ^{[2, c.48]})

1-поселения возвышенной части, 2-поселения пониженной части, 3-поселения по схеме Генерального межевания в границах бывшего Городенского погоста, 4-реки, 5-границы частей погоста, 5-озера

А.А. Фролов и О.Н. Трапезникова исходят из пуассоновской модели (или вероятности редкого события), согласно которой все поселения на произвольно выбранном участке территории появляются независимо друг от друга, и вероятность их появления зависит лишь от размера самого участка. Методика моделирования состояла в серии испытаний, заключающихся в «набрасывании» случайным образом на карту изучаемой территории одинаковых пробных площадок небольшого размера и подсчете числа поселений, «попавших» на каждую из них. Найденные частоты попаданий по известному критерию сравниваются с теоретическими, и исходя из этого изначальная пуассоновская гипотеза принимается или отклоняется.

Как указывают авторы, пуассоновская гипотеза подтверждается для Березайского и не подтверждается в целом для Городенского погоста. В то же время пуассоновское распределение поселений в целом подтвердилось (исключая измерения с пробными площадками большого размера) по отдельности для двух природных микрорегионов, составляющих в совокупности Городенский погост (возвышенная и пониженная его части). Отсюда авторами делается вывод, что система расселения формировалась стихийно и ее структура определялась в первую очередь природными особенностями территории.

Таким образом, оба вышеназванных метода не позволяют сделать однозначного вывода о характере сельского расселения как в пределах целой пятины, так и отдельного погоста. Если такой вывод и возможен, то только на уровне небольших поселенческих структур с одинаковыми природными условиями. Отсюда весьма актуальной становится проблема разработки универсального подхода, методологии и конкретных методов, учитывающих вышеперечисленные замечания. В соответствии с этим, автором в статье ^[3] была разработана модель, основанная на новаторском вариационном подходе С.М. Гусейн-Заде ^[4], и позволяющая определять факторы процесса расселения, выявлять и описывать его закономерности. Ее апробация на материале Исторического Атласа Деревской пятины ^[5] дала неплохие результаты. Настоящая статья является дальнейшим развитием этого математического подхода, следует его идеологии и духу, в котором предметом исследования выступает моделирование процесса исторического расселения.

I. Основы вариационного подхода к моделированию размещения населения

Согласно вариационному подходу, процесс исторического расселения на территории рассматривается как система, характеризующаяся внутренними параметрами и целями. В качестве параметров системы выступают функции, являющиеся естественными характеристиками этого процесса, например, функция плотности населения, функция плотности обслуживающих центров. В качестве целей выступают имманентно присутствующие тенденции в развитии этой системы, например, концентрация населения вокруг центров, максимальная доступность к ресурсам (контролируемой площади). Заметим, что эти тенденции могут носить противоположный характер. Так, максимизация доступности ресурсов из последнего примера должна вести, по идее, к равномерному распределению населения по всей территории, что противоположно тенденции к его концентрации вокруг ограниченного числа центров. Таким образом, возникает задача нахождения оптимальных соотношений параметров, которые уравновешивали бы все тенденции, присущие системе. Оказывается, вышеперечисленные тенденции можно представить в математических терминах функционалов (то есть величин, зависящих от функций как от своих аргументов), а сам поиск оптимальных соотношений параметров как задачу вариационного исчисления.

Для начала напомним основные понятия и принципы вариационного подхода из ^[1]. Обозначим через D всю рассматриваемую территорию (область) достаточно большого размера. Так, в условиях примера с Деревской пятиной Новгородской земли из Исторического Атласа ^[5] это может быть отдельный погост или совокупность погостов. Система расселения характеризуется параметром – функцией плотности населения p(x), показывающей сколько жителей приходится на единицу площади около точки x области D. Понятно, что это – изменяющаяся от точки к точке величина. Чем больше ее значение, тем гуще сосредоточено население на малой площади около x, и, наоборот, чем оно меньше, тем разреженней население на данном участке территории.

Далее полагаем, что на изучаемой территории располагается одно или несколько центральных поселений, то есть центров, выполняющих фискально-управленческие или церковно-приходские функции для всей округи. Таковыми в условиях того же примера могут выступать погосты-места, которые старались располагать в уже существующих поселениях или в местностях, удобных для сообщения всей округи. Центральные, так же как и остальные поселения, неравномерно распределялись по всей территории. Так, еще А.М. Андрияшевым по данным Шелонской пятины Новгородской земли конца XV в. было отмечено, что местам с плотным проживанием населения соответствует более густая сеть его центров ^{[6, с. XXI-XXIII]}. По аналогии с функцией плотности населения будем считать, что распределение центров характеризуется своей функцией плотности q(x), которая показывает сколько приходится центров на единицу площади около точки x области D. Чем выше значение этой функции, тем плотнее расположены центры друг к другу, и наоборот.

Через эти две функции можно выразить и другие естественные характеристики системы расселения. Так, функция σ(x), обратная к функции плотности центров, характеризует площадь зоны влияния (сферы тяготения) центра, ближайшего к точке x: σ(x)=1/q(x). Если считать форму зон влияния близкой к круговой, то их радиус r(x) можно найти из формулы для площади круга (σ(x) ≈r²(x)), то есть r(x)≈ q^-1/2(x)).

Численность населения n(x), проживающего около x, находится из формулы n(x) ≈ σ(x)p(x) ≈q^-1(x)p(x). Перейдем теперь к непосредственному формулированию нашей модели.

I. Модель одноуровневой иерархии центров

Будем считать, что система расселения формируется под воздействием двух тенденций. Первая, как и в ^[3], состоит в концентрации населения вокруг своих центров. Соответствующий функционал можно формализовать как сумму расстояний, преодолеваемых всеми жителями зоны влияния для достижения своего центра. Не трудно видеть, что расстояние до центра для жителя, располагающегося около точки x области D, пропорционально радиусу r(x) соответствующей зоны влияния. Cумма расстояний до центра для всех жителей, располагающихся на малой площади dS около x, равна r(x)p(x)dS≈q^-1/2(x)p(x)dS. Тогда первый функционал запишется в виде интеграла, взятого по всей области D:

Этот функционал зависит от функции плотности p(x) как от своего аргумента. Тот или иной выбор этой функции изменяет значение функционала. Так, минимальное значение функционала равно нулю, что соответствует концентрации всего населения в своих центрах. Для исключения такого нежелательного эффекта рассмотрим вторую тенденцию, заключающуюся в стремлении к постоянству для площади, контролируемой (обрабатываемой) каждым жителем. Не трудно понять, что эта тенденция противоположна предыдущей и приводит к равномерному распределению населения по всей территории.

По аналогии с формулой для σ(x) получаем, что контролируемая жителем площадь обратно пропорциональна функции плотности населения, а соответствующий функционал представим в виде:

Таким образом, приходим к следующей задаче вариационного исчисления -­ минимизировать величину F₁ при условии, что величина F₂ принимает некоторое постоянное значение:

F₁.->min, где F₂ = const.

Последнее требование вполне естественно, если вспомнить новгородскую фискальную практику, когда единицей обложения являлась обжа («один человек на одной лошади орет»), оцениваемую А.Л. Шапиро от 0,95 до 1,31 обеж на один двор ^{[7, с. 25]}.

Как следует из математической теории, решение последней задачи сводится к нахождению такой функции p(x), которая минимизировала бы линейную комбинацию из обоих функционалов (сбалансировала обе вышеозначенные тенденции): F₁+λF₂ > min, где λ– некоторая постоянная величина.

Решая последнюю задачу (более подробно см. ^[3]), приходим к следующему оптимальному соотношению, связывающему функцию плотности населения и функцию плотности центров: q(x)≈p⁴(x). Таким образом, оптимальное соотношение между обеими функциями носит степенной характер с положительным показателем. Это значит, что с увеличением плотности населения плотность центров также растет, что согласуется с вышеприведенным наблюдением из ^[6].

Далее, из этой формулы можно вывести соотношения, связывающие и остальные характеристики системы. Так, с учетом σ(x)=1/q(x) получаем обратную зависимость между площадью зоны влияния и средней плотностью ее населения: σ(x)=p^-4(x). То есть, чем плотнее проживает население, тем меньше площадь зоны влияния соответствующего центра, что также согласуется с наблюдениями ряда исследователей (^{[8, с. 87],[9, с. 183]}) (ср., например, вывод А.М. Андрияшева на данных по Шелонской пятине о том, что величина погостов в значительной степени зависит «от их близости к экономическим центрам и большим торговым путям(^{[6, с. XXI-XXIII]})).

Наконец, из формулы n(x) ≈ σ(x)p(x) получаем соотношение между численностью населения и площадью зоны влияния его центра: n(x) ≈σ^3/4(x). Отсюда делаем вывод о прямой взаимозависимости этой пары величин: большей площади зоны влияния центра соответствует большая численность проживающего на ней населения, и наоборот. Сравним теперь полученные теоретические результаты модели с эмпирическими из ^[5].

II. Апробация модели одноуровневой иерархии центров

Апробацию модели удобно проводить на данных, переведенных на логарифмическую школу. Так, из последней формулы получаем линейную зависимость, связывающим логарифмы численности населения и площади зоны влияния его центра (угол наклона получившейся прямой к оси абсцисс равен 0,75):

ln(x) = A + ¾ lnσ(x), где A–константа.

Далее, из Исторического Атласа ^[5] возьмем две основные эмпирические характеристики – численность дворов и площадь территориальных округов (погостов и волостей) Деревской пятины, которых насчитывалось 69 (см. Приложение 1, 2). Зависимость между двумя этими величинами можно изобразить в виде облака из точек на двухмерном графике, каждая из которых соответствует отдельному территориальному округу (по оси абсцисс откладывается значение площади, а по оси ординат – соответствующее значение численности дворов).

Переведенная на логарифмическую шкалу, эта зависимость изображается в виде облака, вытянутого вдоль прямой с углом наклона к горизонтальной оси, равным 0,7308:

Рис.3 Диаграмма рассеяния для логарифмов числа дворов (Var2) и площади территориального округа (Var1)

При этом корреляция (сила связи) между обеими величинами предельно высокая (уровень значимости выше 0,95).

Сравнивая полученные результаты с теоретическими (0,7308 и 0,75 соответственно), убеждаемся в их высокой степени соответствия друг другу. Обращаясь к модели из ^[3], видим, что ее теоретические результаты даже несколько уступают по точности настоящей модели (угол наклона ее теоретической прямой равен 0,67).

Заключение

Полученные результаты подкрепляют обобщающие наблюдения и выводы исследователей, изучающих характер и особенности развития поселенческих структур средневекового населения Северо-Запада Руси. Так, на рубеже XV-XVI веков мы можем наблюдать завершение определенного этапа процесса исторического расселения, характеризующегося двумя главными тенденциями.

Первая из них состояла в концентрации расселяющегося населения вокруг своих центров (центральных поселений). Такой центр мог быть и не один, а несколько, если рассматривается территория достаточно большого размера.

Вторая тенденция, противоположная в значительной степени первой, состояла в стремлении населения к максимально свободному доступу к контролируемой площади, что вело к равномерному его распространению по всей территории.

При этом выводы модели справделивы не только для отдельных микрорегионов с однородными условиями, но и для целых макрорегионов.

Возвращаясь к вопросу о типе пространственного размещения, то из вышесказанного скорее следует поддержать точку зрения А.Я. Дегтярева о глубоко зашедшем процессе на изучамой территории разложения изначальных гнезд поселений (центров). В то же время концентрический характер расселения с постепенным уменьшением плотности по мере удаления от центра создает иную картину, чем равномерный тип размещения.

Необходимо подчеркнуть свободный, никем не направляемый и не сдерживаемый характер процесса расселения. Каждый его участник руководствовался в своей деятельности вышеописанными вполне естественными соображениями независимо от других, и это в совокупности приводило к такому синергетическому эффекту самоорганизации населения.

Высокая степень соответствия полученных теоретических и эмпирических данных по одной из новгородских территорий позволяет рассматривать математическое моделирование в качестве адекватного и удобного вспомогательного средства для дальнейшего изучения структуры и динамики системы исторического расселения населения.

Приложение 1

Территория Деревской пятины по писцовым книгам письма 1495-1496 гг. (источник: ^{[5, с. 17]})

Цифрами обозначены погосты: 1-Холынский, 2-Боженский, 3-Бронницкий, 4-Наволоцкий, 5-Понедельский, 6-Тюхолский, 7-Сытинский, 8-Лажинский, 9-Морозовский, 10-Холовский, 11-Листовский, 12-Крестецкий, 13-УстьВоломский, 14-Островский, 15-Черенчевичский, 16-Теребуновский, 17-Оксоцкий,18-Кременичский, 19-Бельский, 20-Никольский в Шереховичах, 21-Язвищский, 22-Полищский, 23-Шегринский, 24-Дмитриевский Кострицкий, 25-Ситенский, 26-Локоцкий, 27-Ручьевский, 28-Семеновский, 29-Налеский, 30-Яжелбицкий, 31-Еглинский, 32-Неретцкий, 33-Ужинский, 34-Туренский, 35-Пиросский, 36-Боровицкий, 37-Великопорожский, 38-Рютинский, 39-Сеглинский, 40-Млевский, 41-Коломенский, 42-Бологовский, 43-Березайский на Березе, 44-Михайловский, 45-Короцкий, 46-Городенский, 47-Вельевский, 48-Жабенский, 49-Посонский, 50-Заборовский, 51-Ясеновичский, 52-Полоновский, 54-Молвятицкий, 55-Деманский, 56-Буховский, 61-Курский, 62-Черенчицкий, 63-Налючский, 64-Борковский, 65-Устьянский, 66-Рамышевский, 67-Петровский, 68-Холмский; волости: 53-Стерж, 57-Морева, 58-Велила, 59-Лопастицы, 60-Буец, 69-Березовец.

Приложение 2

Территориальные округа (погосты и волости) Деревской пятины. Общие характеристики (источник: ^{[5, с. 58-59]}; данные приводятся за вычетом площадей крупных озер (Селигер, Шлино, Велье и др.); в качестве Ln обозначен функция натуральный логарифм)