Intuition in mathematics: from intuitivism of Henri Poincaré to intuitionism of L. E. J. Brouwer Hermann Weyl

Poberezhnyi Ivan Aleksandrovich Postgraduate student, the department of Philosophy, Kursk State University 305000, Russia, Kurskaya oblast', g. Kursk, ul. Radishcheva, 33 ivan.poberezhnyy@gmail.com

Допустима ли имплицитность, неявность научного, в частности, математического, знания? Насколько допустима? Какова роль интуиции в формировании математических наук? Эти вопросы, идущие еще со времен античности, остро встали в конце XIX столетия, во время очередного кризиса оснований математики.

Французский ученый А. Пуанкаре в своей работе «Интуиция и логика в математике» замечает, что среди математиков можно заметить два типа мышления, два различных подхода или метода научного исследования – одни «…прежде всего заняты логикой», другие «…вверяют себя интуиции» ^{[11, с. 205]}. По мнению ученого, подход определяется даже не предметом исследования, а природой ума математика. А. Пуанкаре детально обосновывает важность обоих подходов, подчеркивая при этом, что в научном творчестве главную роль играет интуиция, а логика необходима для строгого обоснования интуитивных открытий ^[10]. Однако А. Пуанкаре не предпринял попытки создания непротиворечивой математики на основе интуиции. Такая попытка была осуществлена в математическом интуиционизме.

Интуиционизм можно считать последующим этапом разработки учения об интуиции в математическом познании. Видные представители этого направления — голландский математик Л. Брауэр и швейцарский математик Г. Вейль. В статье мы намерены показать связь идей интуитивизма А. Пуанкаре с идеями интуиционизма Л. Брауэра и Г. Вейля.

В молодом возрасте математик А. Пуанкаре был сторонником теории множеств Г. Кантора, но после кризиса этой теории на рубеже XIX – XX веков разочаровывается в ней, так как для него главным критерием полноценности теории была ее непротиворечивость. Кризис, связанный с обнаруженными в теории множеств противоречиями, к которым приводят логически правильные рассуждения, кризис, связанный с так называемым парадоксом Рассела в теории множеств, стал кризисом оснований математики.

Первым течением философии математики, направленным на преодоление этого кризиса, был логицизм английских математиков Б. Рассела и А.Н. Уайтхеда. Для представителей данного направления основание математики – это не что иное, как логика, а любые интуитивные элементы должны быть исключены. Содержание математической науки формируется на небольшом наборе определений и утверждений, принимаемых без доказательства. Логические отношения выражаются фиксированными символами. Все выводы новых положений производятся согласно строгим законам и правилам логики ^[1]. Логицизм отрицает не только интуитивную трактовку математики, но и кантовское учение о пространстве и времени как априорных формах интуитивного мышления, на которые опираются априорные синтетические суждения в математике. Предвестие гносеологии логицизма его представители видели в математике и в философии Г. Лейбница, в его аналитической теории суждения и истины, в его взгляде на аксиомы.

Попытка обоснования математики понятиями логики встретила серьёзную критику А. Пуанкаре в его работе «Математика и логика». А. Пуанкаре считает, что стремление свести математику к одной лишь логике приведет к значительным трудностям, суть которых состоит в том, что невозможно полностью удалить из математических рассуждений те их элементы и принципы, которые основываются не на логике, а на непосредственном интеллектуальном усмотрении, то есть на интуиции. А. Пуанкаре считает, что «чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке… для того, чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика. Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова "интуиция"» ^{[11, с. 210]}. Только постижение истины непосредственным интеллектуальным восприятием ее содержания, интуитивным, а не логическим путем доказательства позволяет получить новое знание, сделав к нему скачок. По мнению А. Пуанкаре, «…сделавшись строгой, математическая наука получает искусственный характер» ^{[11, с. 213]}.

Он решительно отверг концепцию актуальной бесконечности, которая представляет собой бесконечное множество в качестве математического объекта. Признаёт Пуанкаре только потенциальную, становящуюся бесконечность. Во избежание парадоксов ученый выдвигает требование, чтобы определения в математике не содержали ссылок не только на определяемое понятие, но и на множество, его содержащее, то есть были строго предикативными, — в противном случае при включении нового элемента определение изменит состав этого множества, и таким образом возникает замкнутый круг.

Нужно отметить, что Пуанкаре использует термин «интуиция» в различных смыслах. Так, он говорит об интеллектуальной и чувственной интуиции. «В одних случаях "интуиция" выступает у Пуанкаре как принцип математического рассуждения, как основание и условие математической дедукции. В других же случаях "интуиция" толкуется как синоним математической "догадки", математического вдохновения, как условие творчества в математике» — замечает В.Ф. Асмус ^{[2, с. 243]}. А. Пуанкаре обнаруживает в человеке несколько видов интуиции и считает, что аналитикам для открытий в математике необходима интуиция именно интеллектуальной природы. Интеллектуальная интуиция, интуиция «чистого числа» лежит в основе математического творчества. Она позволяет математикам не только доказывать различные утверждеия, но и получать новое знание. Но при этом ученый не склонен преувеличивать роль интуиции и отвергать значимость логики. «Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства, интуиция есть орудие изобретения» ^{[11, с. 215]}. Если рассматривать работы античных математиков, то, на первый взгляд, их стиль мышления близок к интуитивизму, но, вникнув в ход идей того времени, можно обнаружить, что многие из древних математиков были аналитиками.

Примерно в то же время, когда становился популярным логицизм, группа математиков, называвших себя интуиционистами, предложила диаметрально противоположный подход к обоснованию математической науки. По мнению М. Клайна, «Интуиционизм в широком смысле слова восходит по крайней мере к Декарту и Паскалю» ^{[9, с. 267]}. Декарт в «Правилах для руководства ума» представляет интуицию как прочное понятие ясного ума, как предельно достоверное благодаря своей простоте. Паскаль в своих работах по математике также опирался преимущественно на интуицию. Но интуиционизм Брауэра возник и развился во влиятельное течение не как философское или эпистемологическое направление, а как направление в математике. В этом его принципиальное отличие от философского интуитивизма. В интуиционизме особенным образом разрабатываются такие математические дисциплины, как математическая логика, дифференциальное и интегральное исчисления, теория множеств, топология, теория функций и другие. А. Гейтинг в своей работе «Обзор исследований по основаниям математики» относит к интуиционистам тех математиков, которые приняли два принципа:

«1) Математика обладает не только чисто формальным, но и содержательным значением. 2) Математические предметы непосредственно постигаются мыслящим духом; следовательно, математическое познание не зависит от опыта» ^{[7, с. 9]}.

Первоначально идея интуиционистского истолкования математики была выдвинута в 1907 году голландским ученым Л. Брауэром в его диссертации «Об основаниях математики». Мысль Брауэра заключалась в том, что математику нужно не обосновывать, а строить по-другому. Это был неожиданный, достаточно революционный подход к решению проблемы. Весь математический научный мир в это время искал возможность построения твердого основания классической математики. Эти основания пострадали от того, что был обнаружен упомянутый нами выше парадокс теории множеств Г. Кантора. Той теории, которая многим виделась средством построения фундамента классической математики. Л. Брауэр предложил, наверное, самый радикальный выход. Он предлагает вообще отказаться от какой-либо связи с учением Г. Кантора, то есть построение математических объектов должно основываться не на понятии множества, а на интуитивно ясных умственных построениях. Понятие натурального числа, математическая индукция, операции сложения и умножения считаются базовыми интуитивно ясными понятиями и образуют арифметику натуральных чисел, основывая ее на интуиции времени.

Как направление интуиционизм оформился в научных работах Л. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга. Формализацию интуиционистской теории в 1920-е гг. осуществили наши соотечественники В.И. Гливенко и А.Н. Колмогоров. Заслуга Л. Брауэра прежде всего состоит в том, что он, рассматривая субъект, создающий математическую конструкцию, «…сформулировал свое видение идеального математического объекта как чистой конструкции ума» ^{[8, с. 86]}.

Л. Брауэр считал, что язык, а также наука, в частности математика – это не просто какие-то системы правил и предложений, а формы человеческой деятельности, имеющей практическую направленность. Построение математики как науки, как системы знаний, стало возможным только на высших ступенях культуры через абстракцию высокого уровня. «"Первоинтуиция" математики есть субстрат всех свойств, генезис которых выстраивает бесконечность как реальность. Это приводит, таким образом, сначала к созданию системы натуральных чисел, затем – системы действительных чисел, и, наконец, к созданию всей математики» ^{[8, с. 87]}.

Одним из основных отличий интуиционистской математики от классической является отказ от применения закона исключения третьего к бесконечным множествам, что приводит к невозможности доказательства существования математических объектов методом «от противного», а также отказ от абстракции актуальной бесконечности. Как и А. Пуанкаре, интуиционисты полагают, что абстракция потенциальной осуществимости лучше соотносится с действительностью, чем абстракция актуальной бесконечности. Вместо обоснования классической математики ставится задача формирования математики интуиционистской.

Несмотря на то, что представители интуиционизма пытаются избежать метафизических аспектов оснований математической науки, в интуиционизме можно обнаружить элементы математического реализма. Это, в частности, касается вопросов, связанных с выявлением объективных компонентов природы математических истин.

Русский мыслитель Н.О. Лосский выделял три типа интуиции – чувственную, интеллектуальную и мистическую. Л. Брауэр, как в свое время И. Кант, придает большое значение интуиции времени в математике, но, в отличие от И. Канта, отрицает ее чувственный характер. Интуиция времени, которая у интуиционистов играет ключевую роль в объяснении математической деятельности, представляет собой, как и у А. Пуанкаре, интеллектуальную интуицию. У Брауэра интуиция не опирается на представление. Однако она не относится и к той категории «сверхчувственной» интуиции, которую приписывают мистикам. Брауэр отделяет, отграничивает сферу познания от сферы трансцендентного. Органом познания, органом интуитивного восприятия для Брауэра является интеллект ^[3]. Но при этом он решительно отвергает понимание интуиции как чего-то статического, соответствующего «состоянию покоя». Познание, в том числе и математическое, по Брауэру, – это динамический процесс, и интуиция математического интуиционизма – восприятие становления, процесса, стремление к интуитивно данному.

Рассматривая полемику Л. Брауэра с оппонентами, Г. Вейль в работе «О философии математики» обращает внимание на то, что рассмотрение оснований математики поднимается на общефилософский эпистемологический уровень, переходя к общим вопросам теории научного познания. Эта полемика продолжает античное противостояние между метафизическим бытием Парменида и диалектическим становлением Гераклита. Математический объект в интуиционистской математике – объект становящийся, появляющийся лишь путем построения. «Ледяной покров, однако, разбился вдребезги, – пишет Г. Вейль, – и вскоре момент текучести стал полновластным господином над неизменностью» ^{[4, с. 22]}.

Далее Вейль указывает, что абсолютистская мысль в душе человека восстает против интуиционизма, и «… математик со скорбью смотрит на то, как словно туман расплывается большая часть его высоко вознесшихся теорий» ^{[4, с. 26]}. Сам Г. Вейль связывает восприятие числа с пространственно-временными характеристиками бытия человека в мире. Категорию времени он считает основополагающей предпосылкой для тех действий разума, которые имеют дело с понятием числа. При таком обосновании наиболее существенным является распорядок чисел, то есть числа первоначально выступают как порядковые, занимающие определенное место в ряду. Рассматривая возможность первичности понятия количественного числа, Вейль замечает, что в данном случае необходимо введение «критерия равночисленности», который допустим, если «…акты установления соответствия производятся один за другим в упорядоченной временной последовательности, а значит, если оказываются упорядоченными элементы обоих множеств» ^{[4, с. 62]}.

Связь между арифметикой и временем, с точки зрения интуиционистов, менее фундаментальна, чем между геометрией и пространством. Пространство определяется как бесконечное не только в смысле отсутствия его границ, но и в смысле бесконечного уточнения местоположения точки относительно других точек. Оно «…в любом своем месте бесконечно, так сказать, вовнутрь». Причем это присуще не только пространству, но и «…непрерывной градации качеств вещей внешнего мира» ^{[4, с. 68]}. Одним из базовых понятий математики становится понятие континуума, и Л. Брауэр вводит собственное определение понятия последовательности. Он понимает под этим понятием не такой ряд элементов, который задается некоторым законом, а такой, который формируется свободным выбором каждого члена. Иными словами, математика – это не только тексты и формулы, но прежде всего, деятельность человека, волевая, творческая деятельность. Это личностное знание и конструирующая интуиция человека ^[12].

Таким образом, несмотря на существующие отличия между интуитивизмом А. Пуанкаре и интуиционизмом Л. Брауэра и Г. Вейля, идеи А. Пуанкаре о приоритете интеллектуальной интуиции оказали значительное влияние на возникновение и развитие интуиционизма. Интуиционизм в значительной степени сформирован на этих идеях. В свою очередь, идеи интуиционистов, выражая настроения гуманистически мыслящих ученых, оказали большое влияние на математику и философию математики XX века и на всю современную философию науки. На их основе сформировались математический конструктивизм А.А. Маркова, влиятельное направление в отечественной математике прошлого столетия, а также другие научные школы и направления. Эвристическая ценность этих идей заключается прежде всего в том, что они стали плодотворной почвой для формирования онтологического и гносеологического фундамента математики.