Mathematical Model of the Strike Movement in Russia in the Late 19th – Early 20th Centuries

В работе Андреева А. Ю. и Бородкина Л. И. ^[1] предпринята «попытка показать с помощью методов математического моделирования, при каких условиях процессы самоорганизации в рабочей среде могут приводить к взрывному характеру конфликтов, к нелинейным эффектам в их развитии в силу действия внутренних факторов» ^[1]. Точнее рассматривается следующая математическая модель взаимодействия властей («элиты»), «агитаторов» (контрэлиты) и трудящихся:

(1) `quad quad(dX)/dt=-pX+rXY,`

` `

(2) `quad quad(dY)/dt=qY-kXY+aY^2-nYZ, `

(3) `quad quad (dZ)/dt=-c_0Z+mXZ+b, `

где X = X(t) — активность властей в подавлении стачек, Y = Y(t) — число «агитаторов» и Z = Z(t) — число бастующих рабочих, b — положительный параметр, отражающий скорость роста стачечной активности при отсутствии сдерживающего фактора; p, r, q, k, a, n, c₀, m — положительные константы.

Описание модели стачечного движения. Подобные уравнения можно также получить на основе модели коллективных решений ^[2] или модели взаимодействия социальных групп ^{[3, 4]}, несколько изменив интерпретацию искомых функций. Положим, что P₁ = P₁(t) — напряженность властей (пропорциональна активности властей X); P₂ = P₂(t) — степень влияния «агитаторов» (зависит от числа агитаторов Y и эффективности их дестабилизирующего воздействия); P₃ = P₃(t) — напряженность трудящихся (пропорциональна числу бастующих рабочих Z). Можно считать, что функции P₁, P₂ и P₃ меняются в диапазоне от нуля до единицы (этого всегда можно добиться соответствующей нормировкой). Дифференциальные уравнения, описывающее изменение каждой из функций P₁, P₂ и P₃ имеют вид:

(4) `quad quad(dP_i)/dt=gamma_i (sum_(j=1)^4 F_(ij)(U_j,P_i)-P_i), qquad i=1, 2, 3, `

где U_j — факторы, влияющие на изменение функции P_i, причем U_j =P_j при j = 1, 2, 3, U₄=U_e(t) — влияние изменения экономической ситуации на P_i. Функция F_ij = F_ij(U_j,P_i) определяется следующим образом:

`F_(ij)=k_(ij)([1- mu_(ij)(1- beta_(ij))]U_j+ mu_(ij)(1-2 beta_(ij))U_jP_i+mu_(ij) beta_(ij)P_i.`

Постоянный множитель k_ij характеризует степень влияния каждого из внешних факторов U_j на i-ую социальную группу. Считаем, что входящие в уравнения (4) константы, меняются в определенном диапазоне ^[2]

(5) `quad quad 0<=mu_(ij)<=1; qquad -1<= beta_(ij)<=1; qquad gamma_i>=0; qquad k_(ij)>0. `

Покажем, что система (1)–(3) есть, в некотором смысле, частный случай системы (4).

Для того чтобы уравнение, описывающее изменение напряженности властей P₁ с точностью до обозначений, совпало с уравнением (1), примем

`k_(11)=k_(13)=k_(14)=0,`

`1-mu_(12)(1-beta_(12))=0.`

(Отметим, что последнее равенство приводит к уменьшению диапазона возможных значений константы `beta_(12):` `-1<=beta_(12)<=0.`) В результате получаем уравнение

(6) `quad quad (dP_1)/dt=(gamma_1 k_(12)mu_(12)beta_(12)-gamma_1)P_1+gamma_1k_(12)mu_(12)(1-2beta_(12))P_1P_2,`

в котором коэффициент при P₁ отрицательный, а при произведении P₁P₂ — положительный. Из уравнения (6) видно, что при слабом влиянии «агитаторов» (т.е. малом значении P₂) напряженность властей с течением времени стремится к нулю; если же влияние «агитаторов» превысит определенное критическое значение равное

`hat(P)_(21)=(1-k_(12) mu_(12) beta_(12))/(k_(12) mu_(12)(1-2 beta_(12))` ,

то напряженность властей P₁ начинает неограниченно расти.

Аналогично, принимая

(7) `quad quad k_(31)=k_(33)=0; qquad 1-mu_(32)(1-beta_(32))=0, qquad mu_(34)=0,`

получим уравнение для напряженности трудящихся P₃:

(8) `quad quad (dP_3)/dt=gamma_3k_(34)U_e+gamma_3k_(32) mu_(32)(1-2beta_(32))P_2P_3+(gamma_3k_(32) mu_(32)beta_(32)-gamma_3)P_3.`

` `

Условия (5) и (7) дают ограничения на коэффициент `beta_(32)` : `-1<=beta_(32)<=0`, что обеспечивает в уравнении (8) положительность коэффициента при произведении P₂P₃ и отрицательность коэффициента при P₃. Первое слагаемое в уравнении (8) описывает рост напряженности трудящихся под влиянием экономических причин; второе — рост напряженности под влиянием «агитаторов», третье — скорость адаптации трудящихся к ситуации. И в этом случае имеется критическое значение влияния «агитаторов»

`hat(P)_(23)=(1-k_(32)mu_(32)beta_(32))/(k_(32)mu_(32)(1-2beta_(32)))` .

При `P_2>hat(P)_(23)` сумма второго (положительного) и третьего (отрицательного) слагаемых в (8) становиться положительной и напряженность трудящихся P₃ начинает неограниченно расти.

Получим теперь из (4) при i = 2 аналог уравнения (2), которое будет описывать изменение влияния «агитаторов» с течением времени. Пусть k₂₄ = 0 и, кроме того, потребуем выполнения следующих условий:

(9) `quad quad 1-2beta_(21)<0; qquad 1-2beta_(23)<0;`

(10) `quad quad 1-2beta_(22)>0.`

Уравнение, описывающее изменение влияния «агитаторов», имеет вид

(11) `(dP_2)/dt=tilde(b)_2P_2+tilde(b)_(22)P_2^2+tilde(b)_(21)P_1P_2+tilde(b)_(23)P_2P_3+tilde(b)_1P_1+tilde(b)_3P_3,`

где

`tilde(b)_2=gamma_2(k_(21)mu_(21)beta_(21)+k_(22)(1-mu_(22))+2k_(22)mu_(22)beta_(22)+k_(23)mu_(23)beta_(23)-1), `

`tilde(b)_(22)=gamma_2k_(22)mu_(22)(1-2beta_(22)), `

`tilde(b)_(23)=gamma_2k_(23)mu_(23)(1-2beta_(23)), `

`tilde(b)_(21)=gamma_2k_(21)mu_(21)(1-2beta_(21)), `

` tilde(b)_1=gamma_2k_(21)[1-mu_(21)(1-beta_(21))],`

`tilde(b)_3=gamma_2k_(23)[1-mu_(23)(1-beta_(23))].`

Условие (10) обеспечивает положительность слагаемого, содержащего`P_2^2`; а условия (9) — отрицательность коэффициентов при произведениях P₁P₂ и P₁P₂. Отметим также, что первое слагаемое в правой части уравнения (11) в зависимости от значений коэффициентов может быть как положительным, так и отрицательным.

Для того чтобы уравнение (11) с точностью до обозначений совпадало с уравнением (2) необходимо потребовать, чтобы выполнялись условия

(12) `quad quad 1-mu_(21)(1-beta_(21))=0,qquad 1-mu_(23)(1-beta_(23))=0.`

Но эти условия приводят к нарушению условий (9), поэтому целесообразно отбросить условия (12) и в уравнении (11) возникают члены пропорциональные P₁ и P₃.

Логично предположить, что при слабом влиянии «агитаторов» репрессивная деятельность властей приводит к их подавлению. Это означает, что в уравнении (11) коэффициент `tilde(b)_1` должен быть отрицательным, т.е. дополнительно нужно потребовать выполнения условия `1-mu_(21)(1-beta_(21))<0.` Рост напряженности трудящихся, как правило, способствует росту влияния «агитаторов», и поэтому коэффициент при `tilde(b)_3` нужно брать положительным.

Воздействие властей на влиятельность «агитаторов» проявляется по-разному в зависимости от уровня этого влияния. Если это влияние невелико, то увеличение напряженности властей и, соответственно, их репрессивной активности, приводит к ослаблению «агитаторов». Если же влияние «агитаторов» достигло критического уровня

`bar(P)_(21)=(1-mu_(21)(1-beta_(21)))/(-mu_(21)(1-2beta_(21))),`

то репрессии властей только усиливают влияние «агитаторов». Заметим, что критическое значение `bar(P)_(21),` меняется в диапазоне от 0 до 0,33.

Согласно уравнению (11) напряженность трудящихся может по-разному отражаться на влиятельности «агитаторов»: при малом влиянии «агитаторов» рост напряженности трудящихся ускоряет рост влияния «агитаторов», но при достижении критического уровня влияния «агитаторов»

`bar(P)_(23)=(1-mu_(23)(1-beta_(23)))/(-mu(1-2beta_(23)))`

рост напряженности трудящихся начинает замедлять рост влияния «агитаторов».

Пример использования модели. Воспользуемся системой уравнений (6), (8), (11) для описания динамики стачечного движения в России в конце XIX — начале XX вв. Положим в уравнении (6) `gamma_1=0,3,quad beta_(12)=0,quad mu_(12)=1,` а `k_(12)~~5.` Тогда уравнение для изменения напряженности властей примет вид

(6') `quad quad (dP_1)/dt=-0,3 P_1+1,5 P_1 P_2.`

Критическое значение влиятельности агитаторов `hat(P)_(21),` после превышения которого напряженность властей `P_1` начинает неограниченно расти, равно 0,2. В уравнении для напряженности трудящихся (8) примем `gamma_3=0,4,` `k_(34)~~1, ` `k_(32)~~6,` `beta_(32)=0.` Тогда `mu_(32)=1` и

(8') `quad quad (dP_3)/dt=-0,4 P_3+2,4 P_2 P_3+0,4U_e.`

Напряженность трудящихся P₃ начинает неограниченно расти, когда влиятельность агитаторов`P_2>bar(P)_(23)~~0,167,` что и наблюдалось в 1903 г. (см. рис. 1). В уравнении (11), описывающем изменение влияния «агитаторов», положим `gamma_3=0,3,quad beta_(22)=-1, quad mu_(22)=1.` Считая, что воздействие властей на влияние «агитаторов» должно быть значительнымпримем `beta_(21)=-1,quad mu_(21)=1.` Для того чтобы при имеющихся ограничениях на P₂ `(0<=P_2<=1)` рост напряженности трудящихся не замедлял рост влияния «агитаторов» (т.е. `bar(P)_(23)=1`), примем `beta_(23)=1,quad mu_(23)=1.`

Выбор значений коэффициентов k_2j менее очевиден. От соотношения между этими коэффициентами зависит степень влияния на «агитаторов» властей и трудящихся, а также самовоздействие «агитаторов». Возьмем k₂₁ = 7, k₂₂ = 0,5, k₂₃ = 4. Тогда уравнение описывающее изменение влияния «агитаторов» примет вид

(11') `quad quad (dP_2)/dt=-1,5 P_2+0,45 P_2^2+6,3P_1 P_2-2,1P_1-1,2P_2P_3+1,2P_3.`

Для численного решения системы уравнений (6'), (8'), (11') необходимо задать числовые значения управляющего параметра U_e. Для этого используем выражение ^[5]

(13) `quad quad U_e(t)=(1/2[1-2/pi arctg (b T_E(t-1))])^n,`

где `T_E (t)=(E(t)-E(t-1))/(E(t-1))` — темп прироста ВВП России в году t, E(t) — ВВП России в году t, b = 10, n = 2. Заметим, что в формулу (13) темп прироста ВВП входит с лагом в один год. Данные о темпах роста экономики России ^{[6, с. 5]} и рассчитанные по ним значения U_e, приведены в таблице 1.

Таблица 1

Темпы роста экономики в России в конце XIX — начале XX вв.

Результаты численного решения системы уравнений (6'), (8'), (11') при начальных условиях P₁(0) = 0,05, P₂(0) = 0,1, P₃(0) = 0,1 приведены ниже в таблице 5. Для проверки возможности применения модели к анализу стачечного движения в России в конце XIX — начале XX века сравним результаты расчетов с сопоставленными им статистическими индикаторами. Под статистическими индикаторами мы понимает нормированные значения статистических показателей, которые, на наш взгляд, наиболее точно характеризуют исследуемые величины P₁, P₂ и P₃. Для нормировки рядов статистических показателей используем следующую формулу:

(14) `quad quad tilde(F)_t=a+b (f_t-f_(min))/(f_(max)-f_(min)),`

где f_t — значение соответствующего статистического показателя в году t, а f_min и f_max — минимальное и максимальное значения этого же показателя за весь рассматриваемый период. В таблице 2 приведены статистические данные о количестве стачек и числе участников стачек ^{[7, с. 68-69]}. Эти данные нормировались по формуле (14) c a = 0,1 и b = 0,45.

Таблица 2

Динамика стачечного движенияв России в конце XIX — начале XX вв.

Для расчета статистического индикатора `tilde(X)_t,`характеризующего напряженность властей, используем суммарную долю стачек с арестами или вызовом войск и полиции ^{[7, с. 128]}. В этом случае нормировка производилась также по формуле (14), но c a = 0,01 и b = 0,04.

Таблица 3

Изменение репрессивной активности властей

Изменение влияния агитаторов можно оценить, хотя и, весьма приблизительно, по изменению числа партийных, рабочих и др. организаций ^{[7, с. 228]} или числа рабочих в социал-демократических организациях ^{[7, с. 199]}. Для нормировки данных использовалась формула (14) c a = 0,04 и b = 0,18. Исходные данные и их нормированные значения приведены в таблице 4.

Таблица 4

Динамика активности «агитаторов»

В таблице 5 приведены расчетные значения напряженности властей P₁, влиятельности агитаторов P₂, напряженности трудящихся P₃. Кроме того, была рассчитана напряженности трудящихся P₃₀ при отсутствии влияния агитаторов, т.е. при P₂=0. Вычисления проводились методом Эйлера с шагом по времени равным 1/12. За единицу времени принимался один год. В течение года величина U_e считалась постоянной.

Таблица 5

Сравнение расчетных значений P_i (i = 1, 2, 3) и статистических индикаторов

Полученные результаты (табл. 5 и рис. 1—3) показывают, что модель неплохо описывает изменение стачечной активности в России конца XIX — начале XX вв. Согласно предложенной модели,влиянием агитаторов объясняется от 10 до 20 % стачечной активности при малой влиятельности агитаторов (1895–1899), при приближении влияния агитаторов к критическому значению `hat(P)_(23)` их роль в интенсификации стачечного движения существенно увеличивается, а после превышения этого значения в 1902 г. становится определяющей. Общая тенденция снижения репрессивной активности властей (рис. 1) и рост влияния агитаторов (рис. 2) правильно отражается моделью. В 1904 г. началась Русско-Японская война, что резко уменьшило число стачек. Предложенная модель не учитывает этот фактор, и поэтому становиться неадекватной и результаты расчетов для 1904 г. явно не соответствуют действительности.

Рис. 1. Динамика активности властей.

Рис. 2. Динамика влиятельности агитаторов.

Рис. 3. Напряженность трудящихся.

` `

Понятно, что выбор констант и начальных условий в какой-то мере произволен и, не исключено, что можно получить не менее удовлетворительные результаты при других значениях констант и других начальных условиях. В то же время, диапазон изменения констант и начальных условий, при котором решение не расходится и не приводит к отрицательным значениям искомых функций, ограничен.