The methods of solving problems with second-order curves

Burlov Vladimir Vasilevich PhD in Technical Science Professor of the Department of Applied Informatics, Penza State Technological University Russia, Penzenskaya oblast', g. Penza, ul. Gagarina, 1a vladimir-burlov@yandex.ru Remontova Lyudmila Viktorovna Associate Professor of Department of Applied Informatics, Penza State Technological University 440039, Russia, Penzenskaya oblast', g. Penza, ul. Gagarina, 1a remontova@mail.ru Kosolapov Vladimir Viktorovich PhD in Technical Science Associate Professor of the Department of Information Systems and Technologies, Nizhny Novgorod State University of Engineering and Economics 606340, Russia, Nizhegorodskaya oblast', g. Knyaginino, ul. Agrokhimikov, 11, kv. 11 Vladimir.kosolapov@mail.ru

Kosolapova Elena Valentinovna senior lecturer of the Department of Technical and Biological Systems, Nizhny Novgorod State University of Engineering and Economics 606340, Russia, Nizhegorodskaya oblast', g. Knyaginino, ul. Agrokhimikov, 11 k-art-inka@ya.ru

Предмет, цель работы.

Развитие современных промышленных и технологических комплексов требует интенсивной и качественной подготовки научных и прикладных кадров технических специальностей, способных в сжатые сроки обеспечить создание новых технологий конструирования и проектирования, обеспечивающих выполнение поставленных производственных задач. Подготовка данных кадров выполняется на каждом образовательном этапе. Основополагающей дисциплиной, направленной на получение студентами навыков пространственного мышления, является начертательная геометрия ^{[7, 8, 17]}. Кроме того, данная графическая дисциплина, изучаемая во всех технических вузах страны, формирует у обучающихся такие качества как ^{[18, 20]}:

- пространственное (трехмерное) воображение;

- умение проецировать изображения пространственных фигур на плоскостях проекций;

- логическое мышление при решении графических задач на плоскости;

- четкое следование алгоритмам решения геометрических задач.

Современные подходы к графическим дисциплинам подразумевают активное применение компьютерных систем отвечающих предъявляемым требованиям ^[10]. Их применение позволяет значительно расширить возможности по усвоению материала обучаемыми и повысить уровень образования, в условиях дефицита учебного времени ^{[1,2,3,16,19]}.

Обзор литературных источников свидетельствует о том, что в разных вузах страны выбирают свою, наиболее освоенную компьютерную графическую программу, принятую за основную в конкретном высшем учебном заведении ^{[4, 5, 9, 11, 12, 13, 14, 15]}. На конечный результат это не влияет, однако в условиях российского образования и сложившейся санкционной политики предпочтение следует уделять отечественному продукту, обеспечивающему надежное импортозамещение, например, графической программе КОМПАС–3D, которая целиком адаптирована под ГОСТ ЕСКД ^[6].

В дисциплинах "Геометрия", "Алгебра" и "Начертательная геометрия" подробно изучаются свойства и способы построения эллипсов. Однако мало кто из обучающихся задумывался об их широком применении в технике, космонавтике и других областях.

Стандартные средства построения эллипса в среде автоматического программирования Компас–3D позволяют создать лишь простые варианты эллипсов, когда известны величины большой и малой его осей.

Как правило при решении большинства сложных технических задач указанных параметров недостаточно, что приводит к поиску новых подходов, позволяющих определить искомый ответ.

Цель данной статьи раскрыть свойства и суть аффинного преобразования и продемонстрировать алгоритм решения различных геометрических задач на основе его применения.

Метод или методология проведения работы. Эллипс, как одна из кривых второго порядка, имеет бесчисленное множество сопряжённых диаметров. При этом только в одной паре сопряжённые диаметры взаимно перпендикулярны (AB⊥CD) (рис. 1, а). Эта пара диаметров является осями эллипса. Относительно осей эллипс обладает свойством симметрии. Если оси эллипса определены, то свойство симметрии упрощает определение точек эллипса при ручной технологии построения.

В родственном (аффинном) преобразовании окружности соответствует эллипс и наоборот. Родственное (аффинное) преобразование определяется осью родства x и парой родственных точек A и A₁ (рис. 1, б). Прямую АА₁, определяющую направление родства, называют линией связи родственных точек.

Рис. 1. Варианты отображения эллипса (а) и его аффинное отображение (б)

В любом аффинном преобразовании можно найти такие две взаимно перпендикулярные прямые, которым соответствуют также взаимно перпендикулярные прямые. Суть построений показана на рис. 1, б. Через середину отрезка АА₁, соединяющего родственные точки, проводим перпендикуляр к АА₁ до пересечения его с осью родства x в точке Т. Проводим окружность с центром в точке Т и радиусом ТА (ТА₁). Она пересечёт ось родства x в двойных точках 1 и 2. Соединив найденные точки соответственно с А и А₁, получим при вершинах А и А₁ прямые углы (90^о). Найденные прямые определяют главные направления созданного родственного преобразования.

В родственном преобразовании окружности в эллипс любым двум взаимно перпендикулярным диаметрам окружности соответствует своя пара сопряжённых диметров эллипса.

Рис. 2. Схема аффинного преобразования окружности в эллипс

На рис. 2 задана ось родства x и пара соответственных точек О и О₁. Пусть О — центр эллипса, а О₁ — центр окружности, родственной эллипсу. ОО₁ — направление родства. Изобразим с центром О₁ какую-либо окружность. Найдём большую AB и малую CD оси родственного ей эллипса с центром О. Для этого по аналогии с рис. 1, б, строим главные направления преобразования. Они определяют направления большой и малой оси эллипса. Вершины эллипса находим с помощью линий связи — А₁А, С₁С. Для вершин B и D линии связи не показаны.

Теперь зададим в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра — K₁L₁ и M₁N₁, при этом зададим M₁N₁⊥ x. Прямая M₁N₁ пересекает ось соответствия x в двойной точке 3. Через точку 3 и О проходит прямая, соответствующая прямой N₁3. Концы M и N сопряжённого диаметра эллипса находим с помощью линий связи (М₁М∥О₁О). Так как K₁L₁∥x, то и KL∥x.

Выполним зеркальное (ортогональное) преобразование относительно x окружности с центром О₁ в окружность с центром О₂. Получим новое родственное соответствие между окружностью с центром О₂ и эллипсом с центром О. В полученном соответствии прямая ОО₂ является направлением нового соответствия. Обратим внимание, что дуги 1–О₁ и 1–О₂ окружностей равны, поэтому вписанные в них углы ∠(1–О–О₁) и ∠(1–О–О₂) равны между собой. Следовательно, ось АВ эллипса является биссектрисой угла между направлениями родства О₁О и О₂О. Это свойство двух преобразований можно использовать для определения большой и малой оси эллипса, заданного двумя сопряжёнными диаметрами.

Результаты работы.

Пример 1. Эллипс задан сопряжёнными диаметрами KL и MN. Центр эллипса О — точка пересечения диаметров. Найти большую и малую оси эллипса.

Через конец М сопряжённого диаметра MN проводим ось родства x параллельно диаметру KL. Через М≡М₁ проводим перпендикуляр к оси x и на нём от точки М₁ задаём положение О₁ из условия М₁О₁=OL. Прямая ОО₁ определяет направление родства между эллипсом и окружностью с центром О₁.

Чертим окружность с центром О₁ и с радиусом О₁М₁, равным размеру OL полуоси сопряженного диаметра эллипса. Зеркально относительно x отображаем точку О₁ в точку О₂. Соединив О и О₂, получим направление родства между эллипсом и окружностью с центром О₂ (окружность не показана).

Как следует из предыдущих рассуждений, одна ось эллипса (АВ) должна лежать на биссектрисе угла между двумя направлениями родства, а вторая (CD) — ей перпендикулярна. Строим биссектрису угла ∠(О₁–О–О₂). Перпендикулярно к ней проводим прямую, на которой должны находиться концы оси CD. Она пересекает ось x в двойной точке 1. Через 1 проводим в окружности диаметр окружности C₁D₁, а перпендикулярно к нему диаметр A₁B₁. Концы осей эллипса находим с помощью линий связи A₁A, B₁B, C₁C, D₁D.

Пример 2. Построить касательные к эллипсу, параллельные заданному направлению n. Эллипс задан своими осями АВ, СD и центром О (рис. 3, а).

Ось родства x проводим через вершину С эллипса параллельно оси АВ эллипса. Согласно рис. 3а центр О₁ окружности, родственной эллипсу, находится на продолжении CD и на расстоянии ∣С₁О₁∣ =∣АВ/2∣.

Известно, что касательная к эллипсу, проведённая через конец одного из сопряжённых диаметров эллипса, будет параллельна второму сопряжённому диаметру эллипса (рис. 2). Используем это свойство на рис. 3, а. Через центр О эллипса проводим его диаметр параллельно заданной прямой n до пересечения с осью родства x в двойной точке 1. Соединив 1 с О₁, получим в окружности диаметр, родственный 1–О. Затем в окружности проводим диаметр K₁L₁⊥O₁1 и удлиняем его до пересечения с осью родства x в двойной точке 2. Соединив 2 с О, найдем диаметр KL эллипса, сопряжённый с О–1. Проводим через K₁ и L₁ линии связи и получаем на сопряжённом диметре эллипса точки касания K и L. Через эти точки параллельно n проводим искомые касательные k и l.

Рис. 3. Пример построения касательных к эллипсу параллельных заданному направлению n

Пример 3. Заданы: эллипс осями AB и CD и точка Т вне кривой эллипса. Провести через точку Т касательные к эллипсу (рис.3, б).

По аналогии с примером 2 создаём родственное соответствие между эллипсом с центром О и окружностью с центром О₁. Ось родства x проходит через вершину В эллипса. Пользуясь родственным соответствием, находим точку Т₁, родственную точке Т.

Для этого проводим прямую ТО до пересечения её с осью x в двойной точке 1. Соединив 1 с О₁, получим прямую, родственную прямой ОТ. С помощью линии связи, проведённой через Т, находим родственную ей точку Т₁. Через точку Т₁ проводим две касательные к окружности. Для этого через середину S₁ отрезка О1Т1 проводим окружность с радиусом S₁O₁. Она пересечет окружность с центром О₁ в точках K₁ и L₁. Прямые T₁K₁ и T₁L₁ — касательные к окружности с центром в точке О₁. Этим точкам касания на окружности соответствуют точки касания K и L на эллипсе. Для их определения проводим прямые K₁O₁ и O₁L₁ до пересечения с осью x в двойных точках 2 и 3. Им соответствуют прямые 2О и 3О. Через K₁ и L₁ проводим линии связи и находим точки K и L эллипса.

Соединив Т с K и T с L, получим искомое решение задачи.

Пример 4. Заданы: эллипс осями АВ и CD и прямая KL (рис. 4). Найти точки M и N пересечения этой прямой с эллипсом.

Задаём, как и в предыдущих примерах, родственное соответствие между эллипсом и окружностью О₁В₁. ОО₁ — направление родства (линия связи между родственными точками). Через центр О эллипса проводим прямую, параллельную KL, до пересечения с осью родства x в двойной точке 1. Соединив 1 с О₁, найдём прямую, родственную О–1. В родственном преобразовании параллельность прямых сохраняется. Поэтому находим точку 2 пересечения прямой KL с осью родства x и проводим через точку 2 прямую параллельно О₁–1. Эта прямая соответствует прямой KL. Точкам M₁ и N₁ окружности соответствуют точки M и N пересечения прямой KL c эллипсом. Точки M и N находим на KL с помощью линий связи, проходящих через M₁ и N₁.

Рис. 4. Схема определения пересечения прямой KL с эллипсом

Результаты работы.

В работе раскрыта суть аффинного преобразования окружности в эллипс и наоборот, что упрощает решение ряда позиционных задач и повышает точность построения. Представлены алгоритмы решения различных геометрических задач с применением свойств родственных преобразований на примере кривой второго порядка эллипса. Продемонстрировано применение нового метода при нахождении большой и малой осей эллипса, построения касательных к эллипсу при различных условиях, а также нахождении общих точек при пересечении двух геометрических объектов.

Представленный в работе метериал позволит расширить ассортимент инструментов решения сложных конструкторских задач, как обучающимися так и профессорско-преподавательсуким составом. Даннаястатья будет интереснга читательской аудитории занимающейся проблемами вычислительных систем и программных методов.