Building a mathematical model of wedge-soil interaction process

Syromyatnikov Yurii Nikolaevich PhD in Technical Science Kharkov National Technical University of Agriculture named after Petr Vasilenko 61002, Ukraine, Khar'kovskaya oblast', g. Khar'kov, ul. Alchevskikh, 44 gara176@meta.ua Other publications by this author

Копир минимальной энергоемкости

Ряд работ как теоретического, так и экспериментального характера посвящен определению рациональных профилей рабочих органов с точки зрения минимизации энергоемкости их рабочих процессов ^{[41, 55, 62, 63, 84]}. Исследования, представленные в этих работах, базируются на применении методов вариационного исчисления, а их результатом является определение профилей минимальной энергоемкости стрельчатой лапы культиватора, лемеха плоскорежущей лапы и др. Процесс копирования копиром корнеплодов также рассмотрен во многих работах ^{[8, 18, 72 и др.]}. В этих работах, в частности, отражен вопрос силового взаимодействия копира с корнеплодом и определены условия, при которых усилие, действующее со стороны копира на корнеплод, не превышает допустимых значений с точки зрения неповреждения корнеплодов и невыворачивания их из почвы. Но практически отсутствуют работы, в которых было бы рассмотрено влияние профиля рабочей поверхности копира на энергетические показатели процесса копирования корнеплодов, в частности на величину работы, которую необходимо выполнить при перемещении копировального устройства во время копирования головок корнеплодов. Поэтому определение профиля рабочей поверхности копира ботвосрезающего аппарата, при котором достигалось бы снижение энергоемкости процесса копирования головок корнеплодов, является актуальным вопросом при усовершенствовании существующих и создании новых рабочих органов свеклоуборочных машин.

Ботвосрезающие аппараты например, машины БМ-6Б, оборудованы пассивными гребенчатыми копирами.  Рабочая поверхность ОD (рис. 4.18) такого копира состоит из прямолинейного участка ОВ, который образует угол a с горизонтальной поверхностью, криволинейного участка ВС и прямолинейного  горизонтального СD, профили каждой из которых вместе составляют профиль рабочей поверхности копира.  Участки ОВ и ВС вместе составляют участок ОС, на котором  происходит подъем копира. На  участке СD, при выходе точки С на верхушку головки корнеплода,  копир осуществляет горизонтальное движение.

Поскольку основной объем взаимодействия копира с корнеплодом, как в силовом измерении, так и за длиной пути контакта приходится на участок подъема ОС, который составляет около 95 % длины

Рис. 4.18. Схема пассивного гребенчатого копира

рабочей поверхности копира OD, то определение профиля рабочей поверхности копира, при котором достигалось бы снижение энергоемкости процесса копирования, практически сводится к определению профиля его участка подъема. Показателем энергоемкости процесса копирования в этом случае может быть величина работы, которую необходимо выполнить на пути О1С (рис. 4.19), где осуществляется подъем копира корнеплодом.

Рис. 4.19. Схема участка подъема рабочей поверхности копира

Для разработки математической модели процесса взаимодействия копира ботвосрезающего аппарата с корнеплодами сахарной свеклы  выбираем подвижную систему координат ХOZ (см. рис. 4.19) с вертикальным положением ее плоскости. Рассмотрим в этой системе координат исследуемый  участок подъема ОС рабочей поверхности копира с прилагаемыми силами.

Введем обозначения:

Для перемещения копирующего устройства на элементарном пути dx выполняется элементарная работа dАх, которую определяем по формуле

.                        (4.72)

Подставив в (4.72) , где

 , ,

будем иметь .

В таком случае энергетический функционал запишется

Для нахождения экстремума функционала (4.73) используем прямой метод вариационного исчисления Ритца ^[62]. Постановка вариационной задачи при этом формулируется следующим образом: среди множественного числа кривых, которые проходят через точки О (х = 0; z = 0) и C (х = хk; z = zk) при заданном начальном угле  найти такую кривую, уравнение которой опишет профиль копира минимальной энергоемкости. Представим уравнение кривой, которое удовлетворяет условия постановки задачи, в виде многочлена ^[62]

где C1 и C2 – коэффициенты, которые определяют профиль рабочей поверхности копира.

После подстановки уравнения (4.74) в функционал (4.73) задача сводится к исследованию функции на экстремум, в результате которого определяются коэффициенты C1 и C2 .

Следовательно, имеем

         (4.75)

где і = 1; 2. Или в окончательном виде:

                     (4.76)

где   

          .

Решение системы интегральных уравнений (4.76) позволило определить значения коэффициентов C1 и C2.

Уравнения (4.73) и (4.74) использовались для проведения исследований по изучению влияния начального угла наклона и длины рабочей камеры, которые определяются значением конечной координаты хk, на энергоемкость процесса копирования. В исследованиях значения начального угла наклона копира и конечной координаты выбирали такими, как и в серийного копира, равными соответственно 22° и 0,3 м. Затраты энергии определяли также для копиров с начальным углом 46° и конечными координатами, ровными 0,3 и 0,15 м. С целью проведения анализа работы копиров с теоретическими профилями рабочих поверхностей, математическая модель также была использована для определения энергозатрат при функционировании копира серийной ботвосрезающей машины БМ-6Б.  

Для нахождения числовых значений коэффициентов C1 и C2 принимаем такие значения параметров копирующего устройства ботвосрезающей машины БМ-6Б: a0 = 22°; хk = 0,3 м; zk = 0,115 м; m = 5 кг; f = 0,5; hc = 0,25 м; L = 0,04 м; сп = 10 000 Н/м.

Коэффициенты С1 и С2 для существующего профиля участка подъема ОС рабочей поверхности серийного копира (a0 = 22°; хk = 0,3 м и zk = 0,115 м) определяли путем аппроксимации соответствующей этому профилю кривой. Получены такие значения коэффициентов: С1 = - 0,954, С2 = -3,249. Тогда уравнение кривой, которое описывает существующий профиль участка подъема копира, имеет вид

или                  

.                             (4.77)

В результате решения системы уравнений (4.76) получены значения коэффициентов C1 и C2, которые соответственно составили 3,181 и 14,809. Тогда уравнение кривой, которое описывает профиль копира минимальной энергоемкости имеет вид

или

                  (4.78)

Графические изображения уравнений (4.77) и (4.78) приведены на рис. 4.20.

Рис. 4.20. Профили копиров: 

1 – серийного, ботвоуборочной машины БМ-6; 2 – минимальной энергоемкости, обоснованного в результате проведения теоретических исследований

Для a0 = 46°, при неизменных  хk и zk, экстремальные значения решения системы уравнений (4.76) будут С1 = 18,156 и С2 = - 40,675, а уравнение кривой, которое описывает профиль копира для данного случая, будет иметь вид:

или                                (4.79)

Графическое изображение уравнения (4.79) приведено на рис. 4.21.

Рис. 4.21. Профиль клина минимальной энергоемкости для случая a0 = 46°,  хk = 0,3 м,  zk  = 0,115 м: 1 – серийного копира; 2 – экспериментального копира

При одновременном изменении двух параметров a0 и хk, а именно для a0 = 46°, хk = 0,15 м, при неизменном zk = 0,115 м, экстремальные значения решения системы уравнений (4.76) будут при С1= - 61,62 и С2 =  350,282, а уравнение, описывающее профиль копира, будет иметь вид:

или             .                (4.80)

Графическое изображение уравнения (4.80) приведено на рис. 4.22.

Рис. 4.22. Профиль копира минимальной энергоемкости

при a0 = 46°,  хk = 0,15 м, zk = 0,115 м.

Расчетные значения работы Ах на перемещение копирующих устройств приведено в табл. 4.3.

Анализ данных табл. 4.3 показывает, что для профиля (4.79), который является профилем минимальной энергоемкости при  a0 = 22°,  хk = 0,3м  и zk = 0,115 м, значение работы Ах, при одинаковых из уравнения (4.78) значениях a0, хk и zk, на 1,44 Нм меньше, то есть имеет место снижения энергоемкости процесса копирования на 5 %. При варьировании параметра  a0 и неизменных хk и zk можно достичь последующего уменьшения значения Ах. Для профиля (4.80), у которого  a0 = 46°, а хk и zk – как в уравнениях (4.78) и (4.79), имеем уменьшение значения  Ах, сравнительно с профилем (4.79) на 1,69 Нм (5,9 %).

Таблица 4.3

Расчетные значения работы Ах

при перемещении копирующих устройств

Сравнение значений Ах профилей (4.79) и (4.80) показывает, что уменьшение параметра хk при неизменных a0 и zk приводит к увеличению значения Ах, а именно: уменьшение параметра хk из 0,3 м для профиля (4.79) до 0,15 м для профиля (4.80) приводит к увеличению значения Ах соответственно с 27,11 Нм до 33,58 Нм, т.е. на 6,47 Нм (23,9 %).

Таким образом, сравнение расчетных значений работы подъема при копировании корнеплодов для существующего профиля рабочей поверхности  серийного копира, а также для профиля минимальной энергоемкости, который имеет одинаковые с существующим значения a0, хk  и zk, показывает, что существующий профиль имеет большую энергоемкость. Увеличение начального угла наклона копира способствует  изменению характера взаимодействия копира с  корнеплодом  в  начальный  момент их контакта. Из анализа результатов  исследований  можно  сделать вывод о том, что рациональным профилем рабочей поверхности копира является профиль минимальной энергоемкости с граничными параметрами серийного копира.