Thermoelectric coolers and thermal processes in terms of SPICE modeling

Современные задачи симуляции электронных устройств вплотную подошли к необходимости рассмотрения в качестве объектов анализа устройств, которые преобразуют электрические сигналы в сигналы неэлектрической природы, и наоборот. Такая потребность сильнее всего стимулируется стремлением к повышению КПД преобразователей энергии, что само по себе является важнейшим направлением технического прогресса. Проблемы практического использования устройств трансформации энергии подводят к необходимости объединения разработки электрических и неэлектрических узлов, входящих в них. Примером тренда в подобном направлении может служить активное внедрение в SPICE-симуляторы электронных устройств магнитных компонентов, таких как дроссели, трансформаторы, электромагниты и магнитные актюаторы^[1].

В настоящей работе рассматривается симуляционная модель одного из технических устройств, осуществляющих трансформацию электрической энергии в тепловую – термоэлектрического преобразователя (термоэлектрического модуля, элемента Пельтье).

Несмотря на кажущуюся простоту такого физического объекта, как термоэлектрический преобразователь, практика показывает, что управление этим устройством – техническая задача, требующая реализации достаточно сложного алгоритма. Ток термоэлектрического модуля, являясь единственным непосредственно управляемым параметром, задает сложную функцию воздействия на работу всего устройства, что особенно проявляется при совместном решении инженерных задач повышения качества термостабилизации и энергоэффективности.

Некорректное управление током термоэлектрического модуля легко приводит к срыву температурного режима, что часто приводит к перегреву элементов устройства и/или термоэлектрического преобразователя. Другая крайность ошибок управления сводится к энергетической недогруженности термоэлектрического модуля, следствием которой является низкая динамичность устройства и уменьшение рабочего температурного диапазона.

Разработка схемы управления термоэлектрическим модулем, при традиционном подходе, подразумевает реализацию всего двух режимов работы:

• установление заданной температуры в выделенном объеме пространства, путем пропускания через термоэлектрический модуль номинального тока,

и, затем,

• температурная стабилизация того же объема, достигаемая в цикле температурного гистерезиса.

Задачей, приведшей к появлению SPICE-модели термоэлектрического преобразователя, было техническое задание на разработку системы термостатирования, предполагающей:

- переход на повышенную скорость переходных процессов при нагреве и охлаждении;

- высокую точность поддержания температурного режима;

- минимизацию энергетических затрат.

Инженерная проработка проекта показала, что физическое макетирование не позволяет объективно оценить динамику термоэлектрических процессов, особенно вблизи границ применимости входящих в устройство компонентов. Это создает трудности в оптимизации конструкции и характеристик устройства.

Обращение за помощью к производителям термоэлектрических модулей не способствовало приобретению приемлемой расчетной методики, т.к.:

• большинство производителей термоэлектрических модулей предоставляют не расчетную методику, а лишь дополнительные услуги по внедрению своих изделий;
• часть производителей, всё же, предлагает упрощенные расчеты для типовых технических приложений, но без возможностей по оптимизации электронной части устройства;
• применение универсальных математических программных средств для математического моделирования, например Simulink (MATLAB) ^[5], натыкается на сложность стыковки с программой-симулятором электронной части устройства.

Было решено:

использовать для симуляции термоэлектрического преобразователя, как в части электрических, так и в части тепловых процессов, программу LTspice,

применив:

- конвертацию тепловых величин в электрические величины;

- представление тепловых свойств узлов технического устройства в виде электрических элементов;

- объединение процессов симуляции электрических и тепловых процессов;

- топологическое разделение схемы устройства на связанные между собой электрическую и тепловую части, подвергаемые симуляции одновременно.

Во главу угла были поставлены:

• возможность исследования динамических теплоэнергетических характеристик устройств термостатирования;
• получение универсальной модели для симуляции термоэлектрических модулей;
• быстрота перенастройки и низкая затратность симуляционных экспериментов.

Особая ситуация, упрощающая симуляцию исключительно магнитных приборов в SPICE-программах, связана с отсутствием необходимости в расширении списка интегрируемых переменных, таких как ток – напряжение – время (I,U,t). Физическая связанность электрических и магнитных полей позволяет прямым образом включать модели магнитных объектов в симулируемые электрические цепи. Исполнение законов сохранения заряда и энергии обеспечиваются, в таком случае, посредством применения физического понятия «ток смещения».

Прочие переменные, используемые в стандартных SPICE-симуляторах: физические, геометрические и математические, относятся к неинтегрируемым (параметрическим) переменным, т.е. они не являются непосредственными переменными решаемых дифференциальных уравнений.

Принципиальным моментом для SPICE-симуляции неэлектрических, в нашем случае – тепловых процессов, является необходимость включения в качестве дополнительных интегрируемых переменных – температуры Т и тепловой мощности P. При этом возникает необходимость рассмотрения дополнительных дифференциальных уравнений, помимо тех, которые включены в стандартные SPICE-симуляторы в виде краевых задач электропроводности.

Предлагаемое в настоящей работе рассмотрение феномена термоэлектрических процессов сводится к реализации в SPICE-терминах уравнения теплопроводности с конверсией переменных и параметров в соответствии с электростатической аналогией ^[2]. В соответствии с этим предлагаются следующие замены переменных:

I (ток) = P (поток тепла);

U (напряжение) = T (разность температур);

R (электрическое сопротивление) = 1/G (обратная теплопроводность = тепловое сопротивление);

С (электрическая емкость) = С (теплоемкость).

Негативной стороной таких замен является несоответствие физических размерностей в тепловой части схемы, т.к. SPICE-симулятором поддерживаются исключительно электрические величины. Следовательно, в процессе симуляции возникает необходимость для пользователя осуществлять прямые и обратные преобразования размерностей тепловых величин к электрическим.

Полупроводниковые термоэлектрические преобразователи относятся к достаточно простым физическим устройствам, в смысле описания принципов работы:

количество тепла, перенесенного с холодного контакта термоэлектрического модуля на горячий, пропорционально протекшему заряду через этот модуль ^[3],

Q = П I ∆t, (1)

где Q– теплота, П – коэффициент Пельтье для электрической цепи, I – электрический ток, ∆t – время процесса.

Базисная теория термоэлектричества в твердых телах выглядит несколько сложнее и описывается системой уравнений ^[3]:

(1/σ)i = – α grad T – grad (φ–μ/e), (2)

q = –K grad T +Пi + (φ–μ/e) i, (3)

П = α Т. (4)

где σ – удельная электропроводнос ть;

α – коэффициент Зеебека;

(φ–μ/e) – электрохимический потенциал;

К – удельная теплопроводность;

П – коэффициент Пельтье;

Т – температура;

I– вектор плотности электрического тока;

q – вектор плотности теплового потока.

Уравнения (2, 3,4) описывают известные термоэлектрические эффекты: Зеебека, Пельтье и Томсона (Seebeck, Peltier, Thomson).

Сравнение уравнений для тепловых (2) и электрических (3)потоков показывает, что они являются однотипными дифференциальными уравнениями. Следовательно, для решения симуляционной задачи необходимо представить уравнения (2, 3) в терминах SPICE для всех элементов входящих в рассматриваемый объект симуляции.

В качестве базисного объекта для моделирования термоэлектрического преобразователя используем устройство термостатирования, состав которого приведен на Рис. 1:

• Термостатируемая емкость , Termotank;
• Внутренний источник тепла, Heat source;
• Термоэлектрический кулер, работающий на основе эффекта Пельтье, Thermoelectrical Cooler;
• Тепловые кондукторы, Thermoconductors;
• Радиатор для теплообмена с окружающей средой, Radiator;
• Источник питания, Power Supply;
• Окружающее пространство с фиксированной температурой, Tmedia.

Рисунок 1.

Построение симуляционной модели требует прагматичных шагов в сторону упрощения описания процессов, при сохранении максимальной эквивалентности физических моделей и реальных объектов. Радикальное понижение сложности теплоэлектрической модели произведем, считая, что возможно опустить размерность трехмерной модели до двух квази-одномерных задач: теплопроводности и электропроводности, Рис.2.

Рисунок 2.

Для перехода к одномерным моделям, пренебрежем краевыми эффектами и пространственной неоднородностью, проинтегрируем i и q по площади рабочих сторон элемента Пельте. Уравнения (1,2) для горячей и холодной сторон примут вид (5,6):

(1/σ)I = – α ∆T – ∆U, (5)

Q = – K ∆T + П I + ∆U I. (6)

Очевидно, что в уравнениях (2,3) присутствуют только слагаемые, которые описывают диффузионные составляющие электрического заряда и тепловой энергии, и отсутствуют слагаемые учитывающие накопление электрических зарядов (электрическая емкость) и тепловой энергии (теплоемкость элементов устройства). Наличие таких слагаемых необходимо учесть в результирующих выражениях с точки зрения законов сохранения.

Ещё одним шагом упрощения краевой задачи является предположение о пространственной однородности теплотехнических параметров внутри каждого отдельного слоя материалов, что позволяет применение средних и интегральных (суммарных) значений физических параметров для каждого слоя.

Для избавления от пространственных координат для слоев, имеющих некоторую протяженность, оба уравнения (1,2) проинтегрируем по «квази-координате» х. Очевидно, что такая операция поставит каждому элементу в соответствие значение проводимости, тепловой или электрической, а для слагаемого, учитывающего теплоемкость – суммарную теплоемкость соответствующего элемента устройства.

Будем считать, что значения коэффициентов Пельтье, Зеебека, теплопроводности, теплоемкости, слабо зависят от температуры в рассматриваемом температурном диапазоне, и могут быть представлены константами.

Также, будем исходить из того, что тепловые процессы, которые могут происходить в устройстве, позволяют ограничиться рассмотрением только Первого Закона Термодинамики, по причине своей обратимости. Учитывая вышесказанное, тепловые процессы будут соответствовать электростатической модели ^[2] и, благодаря этому, переведены в терминологию SPICE, и далее рассматриваться SPICE-симуляторами в полной аналогии с электрическими процессами.

Математическая модель отдельного термоэлектрического модуля, изложенная в SPICE-терминах, представлена на Рис. 3, где оранжевым цветом выделена термическая часть модели термоэлектрического модуля, а черным цветом – электрическая часть. Интегральные коэффициенты теплопроводности обозначены через «G». С их помощью в SPICE-симуляторе производится вычисления электрических сопротивлений – числовых аналогов термических сопротивлений.

Теплоемкости значимых физических слоев, участвующих в построении термоэлектрического модуля обозначены через «С». Тепловые источники, основанные на эффекте Пельте, представлены генераторами тепловой мощности, обозначаемые символами «Рp» и «Pn», для горячей (p–positive) и холодной (n–negative) сторон термоэлектрического модуля соответственно, а «Pint» – это внутренний (internal) источник тепла в термостате.

Элементы электрической части модели:

• Epn – термо-ЭДС термоэлектрического модуля при разности температур между горячей (Tp) и холодной (Tn) сторонами термоэлектрического модуля.
• Z – коэффициент Зеебека.
• Rpn – суммарное электрическое сопротивление термоэлектрического модуля.

Элементы термической части модели:

• 1/Gsp, 1/Gsn – термосопротивления электрических изоляторов внешних сторон термоэлектрического модуля (Gsp – теплопроводность изолятора горячей стороны термоэлектрического модуля, Gsp – теплопроводность изолятора холодной стороны термоэлектрического модуля).
• 1/Gpn – внутреннее термосопротивление термоэлектрического модуля между горячей и холодной сторонами суммарное для дырочных и электронных полупроводниковых «веточек».
• 1/Gdissp, 1/Gdissp – термосопротивления диссипации тепла в окружающее пространство для горячей и холодной сторон.
• Cpn – суммарная теплоемкость «веточек» термоэлектрического модуля.
• Csp, Csn – суммарные теплоемкости электрических изоляторов внешних сторон термоэлектрического модуля.
• Cpn – суммарная теплоемкость полупроводниковой части термоэлектрического модуля.
• Pn, Pp , Pint– генераторы джоулевого и термоэлектрического тепла.
• П – коэффициент Пельтье.

Отметим, что для симуляции в LTspice теплопроводность G получает размерность [S] (Siemens), теплоемкость С задается размерностью [F] (Faraday), температура измеряется в [V] (Volt), тепловая мощность P эквивалентна [A] (Amper), причем величины при преобразованиях сохраняют свои исходные абсолютные значения.

Рисунок 3.

Построение моделей термостата и радиатора проводится в соответствии с уравнением (3), но в отсутствии слагаемых связанных с электрическим током.

Будем считать, что термокондуктор, включенный как проводник тепла между кулером и термостатом Рис. 2, учтен нами в модели термоэлектрического модуля с определенными параметрами теплоемкости Csn и теплопроводности Gsn, Рис. 3.

Представим термостат в абстрактном виде, полученным методами интегрирования и осреднения уравнения теплопроводности, в виде модели, изображенной на Рис. 4.

Теплопроводность по отношению к окружающей среде термоизолирующей оболочки термостата описывается как Gdisstherm. Суммарная теплоемкость термостата – Ctherm. Внутреннее термосопротивление термостата – 1/Gtherm.

Для обобщения вариантов приложения модели введен произвольный источник тепловой мощности – Pint, имеющий некоторое внутреннее тепловое сопротивление 1/Gint и внутреннюю теплоемкость Cint.

Рисунок 4.

Модель теплообменного радиатора, предназначенного для сброса тепла в окружающее пространство, представлена на Рис.4 в максимально упрощенной форме, не придавая значения тем физическим процессам (радиация, конвекция и диффузия тепла), которые обеспечивают этот сброс. Будем считать его термосопротивление равным 1/Grad, а его теплоемкость – Crad. Окружающее пространство имеет определенную температуру Tmedia и неограниченную теплоемкость, но для учета ограничения теплопередачи радиатора введено интегральное термосопротивление 1/Gmedia.

В настоящей работе не рассматриваются проблемы определения исходных значений электрических, термоэлектрических и тепловых параметров построенной модели, т.к. этот важный вопрос требует отдельного обсуждения. Стоит лишь отметить, что часть из них, в частности параметры термоэлектрического модуля, были взяты из паспортных данных, недостающие – получены экспериментальным путем.

Модель, выполненная в программе LTspice фирмы Linear Technology, позволила симулировать работу реального термостата с термоэлектрическим кулером и радиатором, выполненном на тепловой трубке. Сравнения симуляционных и реальных измерений показали, что погрешность расчетных величин абсолютной температуры в динамических процессах не превысила 2% в температурном диапазоне 263 … 353 K (-10 … +80 ⁰С).

В качестве иллюстрации одного из возможных применений обсуждаемой симуляционной модели рассмотрим задачу:

Оценить диапазон вариации температуры в полости термостата с внутренним источником тепла при включенном и выключенном режиме охлаждения.

Примем, что внутренний источник тепла термостата испытывает периодический нагрев. Длительность одного нагревающего импульса 120 s, период следования импульсов 240 s, мгновенная выделяемая мощность в импульсе 5 W.

Зададим отсутствие режима охлаждения, установив нулевой ток через элемент Пельтье в течение 1500 s, а затем, для симуляции режима охлаждения, на такой же временной интервал – 1500 s, на термомодуль подаётся ток 1 А необходимой полярности.

Графики энергетических и температурных процессов во времени приведена на Рис.5.

Рисунок 5

Диаграмма А: Временная зависимость выделяемой мощности источника тепла в полости термостата.

Диаграмма В: Ток термоэлектрического модуля для задания режима охлаждения.

Диаграмма С: Временная зависимость температуры термостата, стрелками отмечены диапазоны вариации температуры внутри термостата при выключенном и включенном кулере.

Диаграмма D: Временная зависимость температуры на холодной и горячей сторонах термоэлектрического модуля.

Диаграмма E: Тепловая мощность, передаваемая в окружающее пространство через радиатор.

Предложенный метод можно назвать к элементно-узловым способом решения краевой задачи уравнения теплопроводности, решаемого на основании законов сохранения.

Представленные SPICE-модели термоэлектрического кулера и термостата позволяют эффективно проводить динамический анализ тепловых и электрических параметров большого спектра устройств, содержащих, как внутренние, так и пограничные источники тепла и холода, в том числе – тепловые насосы, использующие различные физические принципы.

Получено хорошее совпадение симуляционных результатов с экспериментальными данными.

В практическом применении оказывается полезной даже достаточно грубая симуляционная модель, т.к. она позволяет получить адекватное представление о характере поведения устройства при динамических внешних воздействиях и вариациях внутренних свойств.

Появление тепловой SPICE-модели открывает возможности для совместной разработки тепловых и электрических частей термических устройств.

Применимость представленной модели основывается на широком и повсеместном использовании SPICE-программ симуляции электронных изделий, а также, на простоте пользовательского интерфейса этих программ.

Кроме того, симуляционная модель генерации тепла элементом Пельтье может быть использована для обратной задачи – анализа электрического генератора, основанного на эффекте Зеебека.

В целом, в работе демонстрируется один из начальных шагов к осуществлению концепции единого программного инструмента для компьютерной симуляции широкого спектра электрофизических преобразователей энергии для инженерных и исследовательских целей.

Выражаю признательность компании Linear Technology за предоставленную возможность использования высококачественного программного продукта, коим является программа LTspice и лично Майку Энгельгарду (Mikе Engelhardt), автору программы, за его миссионерскую самоотдачу в улучшении программы LTspice и обучению приемам, повышающих эффективность её использования.

Благодарю генерального директора ADV–Ingeniring, Владимира Абрютина, за чрезвычайно полезные консультации в области технического приложения термоэлектрических преобразователей.