The identification of the parameters of the transforming system of MEMS-accelerometer ADXL345 using the least squares method

Lukyanov Alexander Dmitrievich PhD in Technical Science Associate professor at the Department of production processes automation of Don State Technical University  344000, Russia, Rostov-on-Don, pl.Gagarina, 1, building 6, office 6-401 alexlukjanov1998@gmail.com Goryanina Kseniya Igorevna Engineer at the Department of Production Processes Automation of Don State Technical University 344000, Russia, Rostov-on-Don, pl. Gagarina, 1, building 6, office 6-401 gorianina.k@yandex.ru

Fam Din' Tung Doctor of Technical Science Head of the Department of Technology and Aerospace Equipment of Le Quy Don Technical University of Vietnam 236 Hoang Quoc Viet Street, Bac Tu Liem District, Hanoi, Vietnam phamdinhtung@mail.ru

Введение.

В настоящее время миниатюрные MEMS акселерометры, магнитометры и гироскопы заслуженно завоевали популярность в системах ориентации и управления различных мобильных объектов ^[1]. При этом вопросы повышения точности и стабильности показаний подобных датчиков приобретают первостепенное значение ^{[2, 3]}. Погрешности, возникающие при измерении ускорения MEMS – акселерометрами, можно разделить на имеющие динамическую природу (и возникающие в процессе измерения динамически меняющихся ускорений) и статические, связанные с несовершенством конструкции преобразующей системы MEMS датчика или ошибками калибровки. Вопросам моделирования и анализа динамических погрешностей, в том числе – определению резонансов, посвящен ряд работ ^{[5, 6]}. В то же время, представляется актуальным разработка статистически значимой процедуры идентификации статических характеристик преобразующей системы MEMS – акселерометров.

Модель упругой преобразующей системы 3-х осевого акселерометра.

Рассмотрим типичную конструкцию MEMS-акселерометра на примере 3-х осевого акселерометра ADXL-345. Функциональная схема акселерометра приведена на рис.1

Главным источником статических погрешностей измерений является 3-х осевой чувствительный элемент, представляющий собой микромеханическую структуру. К сожалению, в открытых источниках не удалось найти микрофотографий чувствительного сенсора данного акселерометра, однако сенсоры конкурирующих производителей, как правило, состоят из трех независимых чувствительных элементов с взаимно перпендикулярными осями чувствительности, сформированными на одном основании (рис. 2). Такая конструкция сенсора (в отличие от сенсора с тремя степенями свободы ^[5]) позволяет исключить взаимовлияние чувствительных элементов, возникающих на перпендикулярных каналах при одноосевом смещении инерционного элемента. Данный факт позволить существенным образом упростить процедуру идентификации параметров 3D-акселерометра.

Таким образом, рассматриваем модель преобразующей системы акселерометра как систему из трех независимых инерционных элемента, установленных на общем основании и имеющих только по одной степени свободы во взаимно-перпендикулярных направлениях. Такая система описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

Для анализа статических характеристик, система уравнений (1) вырождается в систему уравнений статики:

Процедура калибровки подобной системы (определение значений смещения нулей , , и коэффициентов усиления , , ) описана достаточно хорошо как в руководствах, предоставляемых производителями [3*, 4*, 8*], так и в работах независимых авторов [9*, 10*]. Например, в работе [9*]

рассматривается вопрос определения матрицы корректирующих коэффициентов для данного датчика по результатам четырех измерений при взаимно-перпендикулярной ориентации силы тяжести (например, когда вектор силы тяжести направлен в сторону векторов , , , ). Применение данного подхода на практике, к сожалению, не всегда дает хороший результат. Например, использование ориентаций акселерометра в сторону векторов , ,приводит к показаниям, отличным от величины ускорения свободного падения . Кроме того, данная процедура осуществляет коррекцию без статистического усреднения результатов измерений, что также отрицательно сказывается на ее точности.

Также известна методика калибровки акселерометра по каждой из осей отдельно, не учитывающая взаимовлияние подвеса [8*]. В этой работе предлагается, используя известное выражение для показаний акселерометра (рассматривается ось ):

провести измерения для углов равных 0, , , , и определить поправочные коэффициенты и как

Безусловным достоинством данного подхода является его простота. Однако отсутствие статистической обработки данных в процессе расчета корректирующих коэффициентов может приводить к значительным ошибкам. Кроме этого, как упоминалось ранее, не учитывается ситуация возможного поворота собственных осей базы акселерометра относительно осей , , прибора.

Постановка задачи калибровки MEMS-акселерометра в стохастической формулировке.

Рассматривая стохастическую интерпретацию процедуры идентификации погрешностей, присущих акселерометру, удобно отталкиваться от концепции «эллипсоида чувствительности», когда реакция акселерометра на эталонное ускорение (ускорение свободного падения ) в зависимости от угла ориентации платформы, представляется как точка в трехмерном пространстве. Облако точек, в случае идеальной калибровки акселерометра, должно образовывать сферу (рис. 3 «а»), однако в реальном случае, из-за наличия смещения нуля, различных коэффициентов усиления по осям, а также возможного поворота платформы, облако точек образует трехосный эллипсоид (рис. 3 «б»). Таким образом, задачей калибровки становится определение коэффициентов в уравнении преобразования эллипсоида в сферу ^[12]:

На первом этапе идентификации целесообразно разделить погрешности на погрешность угловой ориентации, погрешность смещения нуля и погрешность усиления по осям. Оценка погрешности смещения нуля, как правило, не представляет трудности, поэтому опустим ее из рассмотрения.

а	б
Рис. 2 Поверхности чувствительности калиброванного и не калиброванного акселерометра.

Погрешность ориентации может быть обнаружена по ориентации главных осей эллипсоида (в том числе – с помощью МНК), однако на данном этапе исследования также рассматриваться не будет.

Идентификация параметров эллипсоида чувствительности

Остановимся на процедуре идентификации коэффициентов усиления по осям акселерометра, что эквивалентно идентификации величин полуосей трехосного эллипсоида, задаваемого уравнением:

Согласно уравнению (8) сформируем облако точек на поверхности эллипсоида и визуализируем его (рис. 3). При этом зададим полуоси эллипсоида следующими величинами: = 1.0, = 0.5, =0.5. Облако точек описывается вектором размерностью , где - число точек в облаке.

Стохастическая постановка задачи идентификации подразумевает формирование облака точек экспериментальных измерений, полученных в при повороте акселерометра на различные углы по всем трем осям.

В случае имитационного моделирования, сформируем имитацию облака точек экспериментальных измерений по имеющемуся облаку точек «эталонного» эллипсоида, добавив к нему аддитивный белый шум различной интенсивности (0.05, 0.1, 0.4) и получив, соответственно облака точек , и .

Задача идентификации полуосей эллипсоида может быть сформулирована как задача минимизации функционала по параметрам , и :

Вектор оценок, который сводит к минимуму сумму квадратов отклонений всех экспериментальных точек от теоретических, можно определить с помощью метода наименьших квадратов ^[11]:

где - матрица объясняющих переменных; - вектор экспериментальных результатов (для данного случая – единичный вектор); - вектор оценок параметров.

На рисунке 4 приведена визуализация облака точек на фоне эталонного эллипсоида. При расчетах использовался массив из 441 точки.

Таблица 1

Оценки полуосей эллипсоида для различного уровня шума, 441 точка

Результаты моделирования представлены и в Табл. 1. В строках таблицы приведены оценки величин полуосей эллипсоида в зависимости от уровня шума, добавленного к координатам точек исходного эллипсоида. Результаты имитационного моделирования показывают, что для коэффициента шума порядка 0.1 метод дает приемлемую погрешность порядка 2-3%. Увеличение числа измерений будет снижать погрешность как .

Достаточно интересным для практике представляется случай идентификации при неполных данных, когда облако точек не покрывает все квадранты эллипсоида. Имитационно моделирование и идентификация подобного случая (отсутствует ) покрытие поверхности эллипсоида в полупространстве «», показало работоспособность метода (рисунок 4 «б»). Полученные оценки составили: = 1.0069, = 0.5119, = 0.5009, что соответствует по точности оценкам с полным облаком точек.

Заключение.

Рассмотренная процедура идентификации параметров эллипсоида чувствительности MEMS – акселерометра позволяет оценить параметры эллипсоида чувствительности, и на этой основе – осуществить коррекцию коэффициентов усиления чувствительного элемента по взаимно перпендикулярным осям. Показана возможность идентификации параметров эллипсоида по неполному облаку точек. В дальнейшем предполагается провести экспериментальную проверку метода на реальных MEMS-акселерометрах, а также продолжить исследование алгоритма идентификации на его устойчивость к неполным данным и его доработку для использования во встроенных устройствах.