Error models in a hyperbolic system

Gladkov Igor' Aleksandrovich Doctor of Technical Science Leading Scientific Associate, Federal State Unitary Enterprise Radio Research Development Institute 105064, Russia, Moscow, Kazakova Street 16, office #16-05 gladkov35@mail.ru Other publications by this author

Определение параметров движения летательного (космического) аппарата является ключевой задачей в ходе его позиционирования или управления полетом ^[1-2]. Модели, лежащие в основе алгоритмов траекторных измерений, используют понятие поверхностей (линий) положения – геометрических мест точек угловых координат вероятного местонахождения движущегося объекта. При измерении угловых координат применяются фазовый и амплитудный методы. При фазовом методе измеряется разность фаз сигналов, принятых в разнесённых пунктах. При амплитудном методе сигналы различных элементов антенны суммируются с учётом их фазовых соотношений, в результате чего амплитуда суммарного сигнала на выходе антенны становится функцией направления прихода волны ^[3-6].

В фазовых системах измерения угловых координат непосредственному измерению подлежит разность фаз Δφ сигналов, принятых в точках, разнесённых на расстояние b:

Погрешность определения поверхностей (линий) положения оценивают отрезком нормали l между поверхностями (линиями) положения, соответствующими истинному и измеренному значениям радионавигационных параметров (РНП).

Уравнение, связывающее измеряемые функции с координатами объекта можно записать в виде φ=φ (x,y,z). В пределах рабочих зон радионавигационных станций (РНС) функция φ (x,y,z) непрерывна и дифференцируема, поэтому изменение скалярного поля РНП можно описать его градиентом grad φ, т.е. вектором, показывающим направление наискорейшего роста параметра φ.

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции φ=φ (x, y, z) координат x, y, z называется векторная функция с компонентами

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат

Если φ — функция n переменных x₁, . . . ,x_n, то её градиентом называется n-мерный вектор

компоненты которого равны частным производным φ по всем её аргументам.

Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.

Оператором градиента (обозначаемым обычно grad, или ▽) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения dx дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на dx.

Поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x_i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx^о — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, записанным в обычном базисе.

Градиент функции φ в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности .

Производная функции φ по направлению равняется скалярному произведению градиента φ на единичный вектор :

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Свойства градиента

1. Производная функции φ в точке М₀ по направлению вектора l имеет наибольшее значение, если направление вектора l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно │grad φ │.

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного вектору grad φ,равна нулю.

Для нахождения производной от функции φ = φ (x, y, z) в заданной точке М₀ (x₀, y₀, z₀) по направлению вектора l (l_x , l_y , l_z) используют формулу

Направляющие косинусы вектора l (l_x , l_y , l_z)

Если 1—единичный вектор, направленный вдоль нормали к поверхности (линии) положения в сторону роста φ, то скалярное произведение

Модуль градиента g = │grad φ│= │∂φ/∂l │позволяет связать погрешность измерения радионавигационного параметра Δφс погрешностью фиксации поверхностей (линий) положения Δl:

Из этого уравнения следует, что точность определения поверхностей (линий) положения увеличивается с ростом точности измерения и модуля градиента поля РНП.

Если функции φ = φ(x, y, z) или φ = φ(x, y,) заданы аналитически, то модуль градиента для поверхности положения

для линии положения

В разностно-дальномерных РНС измеряемым параметром является разность расстояний p = D_p = D_A - D_B объекта от антенны А и антенны В с расстоянием между ними (мерной базой) d (рисунок 1). Здесь линия положения—гипербола, которая находится в плоскости, проходящей через точки А, B и M, а Ψ — угол, под которым из точки расположения объекта М видна мерная база.

Рис. 1 Схема определения расстояния

В пространстве линией положения является линия пересечения двух гиперболоидов вращения, образованных двумя взаимно перпендикулярными базами.

Чаще всего ошибку определения местоположения объекта определяют в двух плоскостях. Например, по азимуту и углу места. Найдём модуль градиента линии положения на плоскости.Расстояние от точки М₀ (x₀, y₀,) до пунктов A и B:

В этом случае измеряемая функция φ(x, y,) = D_A – D_B и, соответственно, модуль градиента

Вычисляем частные производные

В этом случае модуль градиента

С учётом того, что

В случае трёхмерного пространства направление на объект определяют с помощью 4 – х антенн, расположенных на двух взаимно перпендикулярных базах (Рис. 2).

Рис. 2. Измерение направления на объект в пространстве

Угол ϑ₁ определяет направление на объект в плоскости ОА₂А₄. Соответственно, угол ϑ₂ определяет направление на объект в плоскости ОА₁А₃. Проекция линии визирования на плоскость А₁А₂А₃А_4, в свою очередь, дает возможность определить азимут (α) и угол места (β) объекта.

Таким образом, продемонстрирована возможность повышения точности определения координат движущихся объектов в гиперболическом приближении, когда поверхности (линии) положения описываются гиперболоидами вращения. Полученные аналитические зависимости точности определения угловых координат от направления на объект при произвольных расстояниях до объекта наблюдения, в частности, позволяют не только получить априорные оценки точности, достоверности и надёжности получения навигационных параметров движущихся объектов, но и рассчитать научно-обоснованные ограничения работы фазометрических комплексов траекторных измерений.