Computer Two-Component Probability Model for Studying Academic Disciplines

Maier Robert Valerievich Doctor of Pedagogy Professor, the department of Physics and Didactics of Physics, Glazov State Pedagogical Training Institute 427628 Russia, The Udmurt Republic, Glazov, Kalinina Street 8A, unit #79 robert_maier@mail.ru Other publications by this author

Анализ современного состояния системы образования позволяет утверждать, что проблема повышения эффективности процесса обучения является актуальной. Дальнейшее развитие дидактики предполагает применение современных методов исследования процесса обучения, основанных на комплексном использовании гуманитарных и точных наук ^{[2, 4]}. Одним из таких методов является метод имитационного (или компьютерного) моделирования, заключающийся в построении сначала математической, а затем и компьютерной модели процесса обучения и проведении серии вычислительных экспериментов ^{[1, 3, 5–7]}. Эта проблема многократно обсуждалась в научной литературе. Например, в диссертации В.Е.Фирстова ^[6] дидактическая система “учитель–ученик” моделируется с помощью двух автоматов, задаваемых массивами входной и выходной информации, множеством внутренних состояний, функциями переходов и выходов. В книге ^[4] представлен целый ряд качественных и количественных моделей учебного процесса, обсуждается вопрос согласования компьютерной модели и результатов тестирования.

Основная задача математической теории обучения может быть сформулирована так: исходя из параметров учащихся (коэффициентов усвоения, забывания и т.д.), характеристик используемых методов и учебной программы, задающей распределение учебной информации, определить уровень знаний у учащихся в процессе обучения и после его окончания [3–5]. Преимущество использования имитационных моделей при анализе системы “учитель–ученик” заключается в исчерпывающем перечислении всех факторов, влияющих на ее поведение. При этом необходимо указать: 1) систему математических уравнений; 2) коэффициенты усвоения, забывания и другие параметры ученика; 3) последовательность изучаемых вопросов, которая задается учебной программой; 4) их сложность и ее зависимость от уровня усвоения ранее изученных вопросов.

Результаты компьютерных имитаций процесса обучения дополняют качественные рассуждения, повышают их объективность и обоснованность. Этот метод целесообразно использовать, если проведение педагогического эксперимента может дать отрицательный результат или сопряжено с большими затратами. Варьируя параметры ученика, длительность занятий и последовательность рассмотрения различных элементов учебного материала (ЭУМ), можно изучить влияние наиболее существенных факторов на результат обучения в том или ином случае. Иногда применяют мультиагентное моделирование, при котором учитель и каждый ученик заменяются программным агентом, функционирующим по определенным правилам независимо от других агентов. Для получения статистически значимых результатов используют метод статистических испытаний. Для этого осуществляют большое количество реализаций исследуемого процесса, вычисляют среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение контролируемой величины, изучают характер распределения.

Настоящая статья является развитием идей, сформулированных автором в других работах. Например, в статье ^[3] предложена непрерывная двухкомпонентная модель “знания–навыки” в которой учитывается, что: 1) курс состоит из нескольких тем, причем сложность каждой темы зависит от уровня изученности учеником предыдущих тем; 2) при выполнении учащимся учебных заданий увеличивается его коэффициент усвоения, характеризующий способность усваивать новую информацию. В книге ^[4] проанализированы различные примеры использования имитационных моделей для изучения дидактических систем. При этом обсуждаются следующие вопросы: 1) дискретная однокомпонентная модель обучения; 2) стратегии взаимодействия учителя и ученика; 3) непрерывная однокомпонентная модель обучения; 4) многокомпонентная модель обучения; 5) учет изменения работоспособности ученика; 6) поиск оптимального пути обучения с помощью дискретной и непрерывной моделей; 7) моделирование изучения вопросов, связанных генетической связью; 8) согласование результатов имитационного моделирования процесса обучения с результатами тестирования. В статье ^[5] предлагается компьютерная модель обучения с изменяющимся коэффициентом забывания, которая учитывает, что при увеличении числа обращений ученика к данному элементу учебного материала: 1) время его использования уменьшается, стремясь к некоторому пределу; 2) коэффициент забывания уменьшается, стремясь к нулю. Работа ^[6] посвящена решению оптимизационной задачи, состоящей в нахождении наиболее эффективного пути изучения элементов учебного материала различной важности путем многократной имитации учебного процесса на компьютере.

При изучении процесса обучения обычно предполагают, что все элементы учебного материала (ЭУМ) имеют одинаковую дидактическую сложность, усваиваются и забываются одинаково прочно и быстро ^{[1, 2, 7]}. Из экспериментальной психологии хорошо известно, что это не так: те ЭУМ, к которым ученик обращается многократно, запоминаются более прочно и забываются существенно медленнее, чем ЭУМ, которые практически не используются. Поэтому предположим, что знания ученика состоят из нескольких (в простейшем случае двух) компонентов, имеющих различные прочность усвоения и скорость забывания [3­–5]. В основе предлагаемого подхода лежит двухкомпонентная модель знаний, согласно которой вся воспринимаемая учеником информация может быть разделена на две категории: 1) непрочные или быстро забывающиеся знания; 2) прочные или медленно забывающиеся знания (навыки), формирующиеся как результат использования данного ЭУМ в деятельности учащегося.

Пусть ученик изучает совокупность из N ЭУМ. Уровень Zn_i изученности i–того ЭУМ складывается из: 1) уровня непрочных знаний z_i, имеющих высокую скорость забывания; 2) уровня прочных знаний или навыков n_i, которые забываются медленно. Можно записать, что Zn_i=z_i+n_i. Кроме того, будем считать, что при работе ученика с i–тым ЭУМ, уровень знаний Zn_i возрастает до 1, и часть непрочных знаний становятся прочными знаниями (или навыками). Одновременно с этим происходит забывание прочных и непрочных знаний всех остальных ЭУМ.

Состояние анализируемой нами дидактической системы в каждый момент времени t определяется двумя одномерными матрицами z_i и n_i (i = 1, 2, …, N), элементы которых лежат в интервале от 0 до 1. Если i–тый вопрос усвоен учеником полностью, то Zn_i=z_i+n_i=1; а если не усвоен совсем, то Zn_i=z_i+n_i=0. В результате работы с i–тым ЭУМ его уровень изученности возрастает до Zn_i=1, z_i и n_i увеличиваются. Практически сразу после окончания работы ученика с i–тым ЭУМ начинается его забывание. С течением времени величины z_i и n_i снижаются по экспоненциальному закону.

В самом грубом приближении можно считать, что коэффициент научения, определяющий скорость увеличения знаний ученика, остается постоянным. Из психологии известно, что чем больше человек знает, тем проще ему усвоить новую информацию. Поэтому логично предположить, что коэффициент усвоения i–того ЭУМ, тем выше, чем больше уровень S_zn знаний учеником всего учебного материала и уровень Zn_i=z_i+n_i изученности данного ЭУМ. Также учтем, что при работе с i–тым ЭУМ (например, решение простой задачи, перевод слова или предложения) ученик затрачивает время dt_i, которое по мере увеличения уровня Zn_i усвоения i-ого ЭУМ снижается до некоторого предела. Коэффициенты предлагаемой модели подбирают так, чтобы получающиеся результаты соответствовали реальному учебному процессу. Используемые формулы представлены ниже.

Допустим, изучаемый курс содержит 400 элементов учебного материала (ЭУМ) и состоит из 4 тем, каждая из которых содержит по 100 ЭУМ. Изучение тем разделяется перерывами длительностью 200 УЕВ (усл. ед. времени). Степень изученности курса определяется количеством j ранее изученных ЭУМ. При этом изучаемый учебный материал содержит как новые (или плановые, из изучаемой темы) ЭУМ, так и ранее изученные ЭУМ, которые необходимы для понимания новой темы, решения задач, выполнения заданий. Например, изучая иностранный язык, ученик работает с текстом, содержащим как новые для него слова, так и слова, изученные на предыдущих уроках. При прохождении n-ой темы ученик в каждый момент времени работает с одним ЭУМ, при этом он либо знакомится с новыми вопросами из n-ой темы, либо обращается к уже ранее изученному вопросу из n-ой или предыдущей темы. Обозначим вероятность изучения нового вопроса n-ой темы через p_n с верхним индексом “новый”, а вероятность повторения (повторного обращения) к уже изученному вопросу из m-той темы (m не больше n) через p_nm с верхним индексом “повтор”. Для рассматриваемой дисциплины в принципе можно построить таблицу (рис. 1.1), в которой указаны вероятности обращения ученика к вопросам изучаемой и предыдущих тем. Такая таблица будет отражать связи между темами дисциплины. Так как учащийся обязательно работает с тем или иным ЭУМ то сумма вероятностей в каждой строке таблицы равна 1:

Данная таблица может быть представлена в виде стохастической матрицы (рис. 1.2), которая позволяет учесть степень связи n-ой и m-той тем (n>m). Чем больше вероятность p_nm, тем чаще при изучении n-ой темы ученик вынужден обращаться к какому-то ЭУМ из предыдущей m-той темы. По-прежнему предполагается, что при каждом обращении к i-тому ЭУМ, ученик повышает уровень своих знаний Z_i до 1, а часть непрочных знаний становится прочными.

Для имитационного моделирования анализируемой дидактической системы применяется компьютерная программа ПР–1. Она содержит цикл по времени, в котором: 1) с помощью генератора случайных чисел и заданной матрицы вероятностей осуществляется выбор номера s “изучаемого” ЭУМ; 2) исходя из уровней усвоения s–того ЭУМ (переменные z_s и n_s), вычисляется коэффициент усвоения ученика alfa_s и время работы dt_s с этим ЭУМ (операторы a:=0.16*(1.3+z[s]+n[s]-exp(-Sz/100)) и dt:=abs(0.1/(z[s]+n[s]+0.02))); 3) определяются уровни знаний s–того ЭУМ (операторы n[s]:=n[s]+a*(1-n[s]) и z[s]:=1-n[s]); 4) рассчитываются уровни знаний всех остальных не изучаемых в данный момент ЭУМ, которые уменьшаются за счет забывания (операторы z[i]:=(1-gz*dt)*z[i] и n[i]:=(1-gn*dt)*n[i]); 5) результаты расчетов выводятся на экран в графическом виде. После этого все повторяется снова. Когда переменная obuch равна 1, моделируется обучение (оно начинается в моменты 0, t_1, t_2, t_3), а когда obuch равна 0 – перерыв длительностью 200 УЕВ.

На рис. 2 представлены: 1) график зависимости от времени уровня усвоения учеником 50-ого ЭУМ (рис. 2.1); 2) графики зависимостей от времени суммарного уровня знаний S_zn и уровня прочных знаний (навыков) S_n по каждой теме и по всей дисциплине (рис. 2.2). Точки на рис. 2.2 соответствуют номерам изучаемых ЭУМ, которые выбираются случайным образом, исходя из стохастической матрицы на рис. 1.2. Видно, что во время занятия суммарный уровень знаний S_zn ученика и уровень сформированности навыка S_n увеличиваются; во время перерывов и после обучения происходит их снижение вследствие забывания. При этом непрочные знания быстро забываются, остаются только прочные. Из верхнего графика видно, как в обозначенные моменты времени, когда ученик обращается к 50–ому ЭУМ, происходит быстрое увеличение уровня Zn_50 знаний до 1, сменяющееся экспоненциальным убыванием. В эти же моменты резко увеличивается уровень сформированности навыка n_50, который затем очень медленно снижается.

В настоящей статье представлен пример решения основной задачи теории обучения для некоторой гипотетической дисциплины. Предлагаемая имитационная модель изучения дисциплины учитывает: 1) связи между темами курса (через вероятности обращения ученика к ЭУМ из предыдущих тем); 2) повышение доли прочных знаний при увеличении числа обращений ученика к данному ЭУМ; 3) уменьшение времени работы с данным ЭУМ при увеличении числа обращений к нему; 4) увеличение коэффициента научения для данного ЭУМ по мере увеличения суммарного количества знаний и/или знаний этого ЭУМ. Этот подход позволяет проследить динамику роста у ученика суммарных знаний (прочных и непрочных), а также знаний каждой темы. Рассмотренная двухкомпонентная вероятностная модель обучения позволит в общих чертах решить оптимизационную задачу: найти характеристики учебного процесса (распределение учебного материала, длительности занятий и т.д.), при которых уровень знаний учащихся в конце обучения достигнет заданного значения, а сам процесс обучения будет удовлетворять наложенным на него ограничениям. Понятно, что применение подобных моделей для компьютерной симуляции реального процесса обучения требует определения основных характеристик конкретной учебной дисциплины и входящих в нее тем, учета параметров учеников, длительности и количества занятий и т.д.